Parameter bei quadratischen Funktionen

Parameter bei quadratischen Funktionen Übung

• Beschreibe, was ein Parameter ist.

  Tipps

  In der Gleichung $f(x)=3x+2$ ist $m=3$ und $n=2$. Für die Variable $x$ können verschiedene Werte eingesetzt werden.

  Eine Variable ist eine Veränderliche.

  Anstatt die Funktionen

  • $f(x)=3x+2$
  • $f(x)=4x+2$
  • $f(x)=5x+2$
  • ...

  zu betrachten, kann man auch allgemein $f(x)=m\cdot x+2$ betrachten.

  Lösung

  Die Werte $m$ und $n$ sind beliebig, allerdings im Gegensatz zur Variablen $x$ für eine Funktionsgleichung festgelegt:

  • $m$ steht für die Steigung und
  • $n$ für den y-Achsenabschnitt.

  Ein Parameter ist eine besondere Variable, er wird auch als „Formvariable“ bezeichnet.

  Man kann Parameter wie folgt definieren:

  Parameter (Formvariablen) treten gemeinsam mit anderen Variablen wie $x$ und $y$ auf. Sie sind beliebig frei wählbar, aber für konkrete Funktionsgleichungen fest.

• Gib die Bedeutung des Parameters $a$ an.

  Tipps

  Hier ist eine Normalparabel zu sehen: $f(x)=x^2$.

  Überlege dir für $a=0,5$, $a=2$ und $a=-2$ den Funktionswert zu $x=1$.

  Erstelle eine Wertetabelle und prüfe die Funktionswerte.

  Dies ist die Parabel zu $f(x)=-x^2$.

  Wenn eine Parabel gestreckt ist, verläuft sie schmaler als die Normalparabel.

  Wenn eine Parabel gestaucht ist, verläuft sie weiter als die Normalparabel.

  Lösung

  Hier sind drei verschiedene Parabeln zu sehen. Die jeweilige Funktionsgleichung lautet $f(x)=ax^2$.

  Der Faktor $a$ heißt auch Streckfaktor. Man kann daran erkennen, ob die Parabel gestreckt (schmaler als die Normalparabel) oder gestaucht (breiter als die Normalparabel) ist. Weiter kann man daran erkennen, ob die Parabel nach oben ($a>0$) oder nach unten ($a<0$) geöffnet ist.

  Die hier zu sehenden Parabeln gehören zu $a=1$, $a=2$ und $a=0,5$:

  • $a=1$ gehört zu der blauen Parabel, der sogenannten Normalparabel.
  • $a=0,5$ gehört zu der grünen Parabel. Sie verläuft weiter als die Normalparabel, ist also gestaucht. Allgemein kann man feststellen: Für $0<a<1$ ist die Parabel gestaucht.
  • $a=2$ gehört zu der gelben Parabel. Sie verläuft schmaler als die Normalparabel, sie ist gestreckt. Allgemein kann man feststellen: Für $a>1$ ist die Parabel gestreckt.

  Was passiert eigentlich bei negativen $a$. Dies ist hier nicht zu sehen. Die Parabel wird an der x-Achse gespiegelt. Das kann man sich mit einer Wertetabelle klar machen: Die Funktionswerte werden jeweils mit einer negativen Zahl multipliziert.

  Damit ergibt sich:

  • Für $a<-1$ wird die Parabel gespiegelt und gestreckt.
  • Für $-1<a<0$ wird die Parabel gespiegelt und gestaucht.

• Entscheide, welcher Parameter zu der Parabel gehört.

  Tipps

  Beachte: Die Scheitelpunktform lautet

  $f(x)=a(x-d)^2+e$

  und der Scheitelpunkt ist $S(d|e)$.

  Der Scheitelpunkt ist der tiefste (höchste) Punkt einer nach oben (unten) geöffneten Parabel.

  Durch Veränderung von $a$ wird die Parabel gestreckt oder gestaucht.

  Durch Veränderung von $e$ wird die Parabel nach oben oder unten verschoben.

  Lösung

  Alle Parabeln in dieser Aufgabe sind entlang der x-Achse verschobene Normalparabeln.

  Somit ist bereits klar, dass $a=1$ sein muss. Wenn $e\neq 0$ ist, dann wird die Parabel nach oben oder unten verschoben. Somit muss $e=0$ sein.

  Die Gleichung lautet demnach $f(x)=(x-d)^2$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|0)$.

  Es muss jeweils die x-Koordinate des Scheitelpunktes in die Funktionsgleichung eingesetzt werden. Dies führt zu folgenden Funktionsgleichungen (von oben nach unten):

  • $f(x)=(x-1)^2$
  • $f(x)=(x-2)^2$
  • $f(x)=(x-1,5)^2$
  • $f(x)=(x-(-1))^2=(x+1)^2$
  • $f(x)=(x-(-2))^2=(x+2)^2$

• Gib an, wo sich der Scheitelpunkt der Funktion befindet und ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist.

  Tipps

  Gestreckt bedeutet, dass die Parabel enger verläuft als die Normalparabel. Dies ist für $a>1$ oder $a<-1$ der Fall.

  Achte auf das Vorzeichen bei der x-Koordinate des Scheitelpunktes: Dieses ist umgekehrt zu dem in der Scheitelpunktform.

  Die y-Koordinate wird aus der Gleichung übernommen.

  Bei dieser Funktion ist der Scheitelpunkt $S(-3|3)$. Die Parabel ist gestreckt. Dies erkennt man an $a=3>1$.

  Lösung

  Der Riesenvorteil dieser Scheitelpunktform liegt darin, dass

  • der Scheitelpunkt $S(d|e)$ abgelesen sowie
  • die Öffnung (nach oben oder unten) und Streckung oder Stauchung

  abgelesen werden kann.

  Dies soll nun an einigen Beispielen geübt werden.

  1. $f(x)=\frac12(x+2)^2+3$ Der Scheitelpunkt ist $S(-2|3)$. Die Parabel ist gestaucht. Dies erkennt man an $a=\frac12<1$.
  2. $f(x)=-(x-2)^2+3$ Der Scheitelpunkt ist $S(2|3)$. Dies ist eine nach unten geöffnete Normalparabel ($a=-1$).
  3. $f(x)=-2(x-2)^2-3$ Der Scheitelpunkt ist $S(2|-3)$. Die Parabel ist gespiegelt, also nach unten geöffnet, und gestreckt. Hier ist $a=-2<-1$.
  4. $f(x)=-0,2(x+2)^2-3$ Der Scheitelpunkt ist $S(-2|-3)$. Die Parabel ist gespiegelt, also nach unten geöffnet, und gestaucht. Hier ist $-1<a=-0,2<0$.

• Bestimme, welche Terme Parameter darstellen.

  Tipps

  Merke dir:

  Parameter treten gemeinsam mit anderen Variablen wie $x$ und $y$ auf. Sie sind beliebig frei wählbar, aber für konkrete Funktionsgleichungen fest.

  Parameter sind keine festen Zahlen.

  $x$ und $y$ sind Variablen und keine Parameter.

  Lösung

  Hier ist eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform zu sehen. $a$, $d$ und $e$ sind Parameter. $f(x)$ ist der Funktionswert zu der Variablen $x$.

  Wenn man $d=e=0$ wählt, erhält man

  $f(x)=a(x-0)^2+0=ax^2$

  mit dem Parameter $a$.

  Wenn man $a=1$ und $e=0$ wählt, erhält man

  $f(x)=1(x-d)^2+0=(x-d)^2$

  mit dem Parameter $d$.

  Für $a=1$ und $d=0$ erhält man

  $f(x)=1(x-0)^2+e=x^2+e$

  mit dem Parameter $e$.

  Bei $f(x)=x^2+2$ gibt es keinen Parameter mehr.

• Ermittle die Gleichungen der quadratischen Funktionen.

  Tipps

  Liegt der Scheitelpunkt

  • auf der x-Achse, dann ist $e=0$,
  • auf der y-Achse, dann ist $d=0$.

  Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, dann ist $a<0$.

  Die violette sowie die blaue Parabel sind verschobene Normalparabeln.

  Parabeln können gestreckt oder gestaucht sein:

  • Die gelbe Parabel ist gestreckt ($a>1$) und
  • die grüne gespiegelt und gestaucht ($-1<a<0$).

  Lösung

  Allgemein lautet die Scheitelpunktform

  $f(x)=a(x-d)^2+e$

  mit den Parametern $a\neq 0$, $d$ und $e$.

  Die rote Parabel ist eine Normalparabel ($a=1$) mit dem Scheitelpunkt im Koordinatenursprung. Die zugehörige Gleichung lautet $f(x)=x^2$.

  An dieser Parabel kann man sich orientieren, um die übrigen Funktionsgleichungen herzuleiten.

  • Die violette Parabel ist eine um $2$ Einheiten nach oben verschobene Normalparabel. Die zugehörige Gleichung lautet $f(x)=x^2+2$, also $a=1$, $d=0$ und $e=2$.
  • Die blaue Parabel ist eine um $1$ Einheit nach links verschobene Normalparabel. Die zugehörige Gleichung lautet $f(x)=(x+1)^2$, also $a=1$, $d=-1$ und $e=0$.

  Die beiden übrigen Parabeln sind zusätzlich gestreckt beziehungsweise gestaucht.

  • Die gelbe Parabel ist eine um $2$ Einheiten nach rechts verschobene, gestreckte Parabel. Wie kann man den Streckfaktor erkennen? Zunächst ist dieser positiv, da die Parabel nach oben geöffnet ist. Der Scheitelpunkt ist $S(2|0)$ und wenn man sich den Funktionswert für $x=1$ anschaut, erkennt man, dass dieser $2$ ist. Somit ist $a=2$. Die zugehörige Gleichung lautet $f(x)=2(x-2)^2$, also $a=2$, $d=2$ und $e=0$.
  • Die grüne Parabel ist eine um $1$ Einheit nach rechts verschobene, gespiegelte und gestauchte Parabel. Wie kann man hier den Streckfaktor erkennen? Zunächst ist dieser negativ, da die Parabel nach unten geöffnet ist. Der Scheitelpunkt ist $S(1|0)$ und wenn man sich den Funktionswert für $x=0$ anschaut, erkennt man, dass dieser $-\frac12$ ist. Somit ist $a=-\frac12$. Die zugehörige Gleichung lautet $f(x)=-0,5(x-1)^2$, also $a=-0,5$, $d=1$ und $e=0$.