Parameter in der Mathematik
Parameter in der Mathematik sind gleichzeitig veränderlich und fest und werden in Funktionen genutzt. Erforsche, wie sie Kurven und Gleichungen beeinflussen und in welcher Hinsicht sie sich von Variablen und Konstanten unterscheiden. Mach mit interaktiven Übungen neue Erkenntnisse! Interessiert? Lies weiter für weitere Informationen.
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Grundlagen zum Thema Parameter in der Mathematik
Parameter in der Mathematik
Hast du schon einmal den Begriff Parameter in der Mathematik gehört? Parameter spielen in vielen Bereichen eine Rolle, zum Beispiel
- bei der Darstellung von Kurven und Flächen,
- als Koeffizienten in algebraischen Gleichungen und
- bei statistischen Berechnungen.
Aber was sind Parameter nun genau? Das wollen wir uns im Folgenden anschauen.
Parameter Mathematik – Definition
Als Parameter wird in der Mathematik eine Variable bezeichnet, die zusammen mit anderen Variablen auftritt. Ein Parameter kann beliebig gewählt werden, ist dann aber für den betrachteten Fall fest. Er unterscheidet sich von einer Konstanten dadurch, dass er nur für den betrachteten Fall konstant ist. Ein Parameter unterscheidet sich von einer Variablen dadurch, dass er beliebig gewählt werden kann, aber im jeweils betrachteten Fall fest und nicht variabel ist.
Parameter Mathematik – Erklärung
Wir betrachten ein einfaches Beispiel, um die Definition des Parameters besser zu verstehen. Du kennst bereits lineare Gleichungen. In ihrer allgemeinen Form kann man die Gleichung linearer Funktionen wie folgt aufschreiben:
$f(x) = mx + n$
In dieser Gleichung ist $x$ die unabhängige Variable. Die abhängige Variable ist $y = f(x)$. Die Buchstaben $m$ und $n$ sind die Parameter der linearen Funktion. Wenn wir unterschiedliche Werte für $m$ und $n$ einsetzen, erhalten wir unterschiedliche Funktionsgleichungen – aber es sind immer lineare Funktionen. In jeder einzelnen Funktion $f$ haben die Parameter $m$ und $n$ jeweils einen festen Wert, während die Variablen $x$ und $y$ unendlich viele verschiedene Werte des Definitions- bzw. Wertebereichs annehmen. Wir können auch Funktionsscharen mithilfe von Parametern darstellen. Funktionsscharen sind Mengen verschiedener Kurven, die sich in mindestens einem Parameter unterscheiden. Wir betrachten zum Beispiel die folgende Gleichung:
$f(x) = 5x + n$
Diese Gleichung beschreibt Geraden mit der Steigung $m=5$. Für den y-Achsenabschnitt können beliebige Werte eingesetzt werden. Wir erhalten dann immer eine zu dem jeweiligen Wert für $n$ gehörige Funktion. Die Funktionsgraphen bilden eine Schar paralleler Geraden.
Parameter vs. Variable – Unterschied
Wir sehen hier auch, was der Unterschied zwischen Parametern und Variablen ist. Wenn wir für $n$ eine beliebige Zahl einsetzen, zum Beispiel eins, erhalten wir eine Funktionsgleichung:
$f(x) = 5x + 1$
In dieser Gleichung können wir beliebige Werte für $x$ einsetzen, solange sie aus dem Definitionsbereich kommen. Die Wertepaare $(x|f(x))$ liegen alle auf derselben Kurve. Wenn wir den Wert für den Parameter $n$ ändern, erhalten wir zwar wieder eine lineare Funktion, aber eine andere Funktion. Wir haben bereits gesehen, dass die Funktionen für unterschiedliche $n$ eine Schar paralleler Kurven bilden.
Parameter können also beliebig gewählt werden, sind dann für den betrachteten Fall aber festgelegt. Die Variable hingegen bleibt in der Funktionsgleichung frei wählbar.
Parameter – Einfluss auf die Funktion
Wir wollen uns anschauen, welchen Einfluss Parameter auf Funktionen haben können. Dabei können wir insbesondere vier verschiedene Fälle für den Einfluss eines Parameters $p$ auf eine beliebige Funktion $f(x)$ betrachten:
- $g_p(x) =f(x) + p$
- $g_p(x) = f(x+p)$
- $g_p(x) = f(x) \cdot p $
- $g_p(x) = f(x \cdot p)$
1. Fall: $g_p(x) =f(x) + p $
Wenn ein Parameter $p$ zu dem Funktionswert $f(x)$ addiert wird, führt das zu einer Verschiebung des Funktionsgraphen um $p$ Einheiten im Vergleich zu $p=0$ in Richtung der y-Achse.
2. Fall: $g_p(x) = f(x+p) $
Wenn der Parameter $p$ zum Argument $x$ der Funktion addiert wird, verschiebt sich der Funktionsgraph um $-p$ Einheiten entlang der x-Achse, relativ zur Lage für $p=0$.
3. Fall: $g_p(x) = f(x) \cdot p $
Wird der Funktionswert $f(x)$ mit einem Parameter $p$ multipliziert, müssen wir drei Fälle unterscheiden. Wenn $|p|>1$ ist, wird der Funktionsgraph entlang der y-Achse gestreckt. Ist $|p|<1$, wird der Funktionsgraph entlang der y-Achse gestaucht. Und wenn $p$ negativ ist, wird der Funktionsgraph entlang der y-Achse gestreckt oder gestaucht und zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
4. Fall: $g_p(x) = f(x \cdot p) $
Auch wenn das Argument $x$ der Funktion mit dem Parameter $p$ multipliziert wird, müssen wir drei Fälle unterscheiden. Ist $|p|>1$, wird der Funktionsgraph entlang der x-Achse gestaucht. Ist $|p|<1$, wird er entlang der x-Achse gestreckt. Wenn $p$ negativ ist, wird der Funktionsgraph zusätzlich an der y-Achse gespiegelt.
Dieses Video
Was bedeutet Parameter in der Mathematik? Und welche Parameter gibt es in der Mathematik? Diese und andere Fragen werden dir in diesem Video einfach erklärt. Du erfährst, was Parameter von Variablen und Konstanten unterscheidet. Text und Video werden durch interaktive Übungen ergänzt, mit denen du dein neues Wissen gleich testen kannst.
Transkript Parameter in der Mathematik
Hallo, des öfteren begegnen dir in der Mathematik Parameter. In diesem Video erkläre ich dir, was man als Parameter in der Mathematik bezeichnet. Zunächst gebe ich dir einen Überblick über Gebiete der Mathematik in denen dir Parameter begegnen können. In diesem Abschnitt werde ich dir zeigen, dass du bereits bewusst oder unbewusst Parameter verwendet hast. Danach erhältst du eine Definition des Begriffes Parameter. Im Anschluss erkläre ich dir den Unterschied zwischen einem Parameter und einer Variablen. Im vierten Kapitel betrachten wir mit Hilfe einiger Beispiele den Einfluss der Veränderung von Parametern auf Funktionen. Und zum Schluss fassen wir das Gelernte zusammen. In der Mathematik begegnen dir in verschiedenen Themengebieten Parameter. Sie tauchen beispielsweise als veränderliche, für gewisse Überlegungen konstant gehaltene, Größen, bei der Darstellung von Kurven oder Flächen, als Koeffizienten in algebraischen Gleichungen oder bei statistischen Berechnungen auf. Was sind nun Parameter? Und wo bist du ihnen schon begegnet? Als Parameter wird in der Mathematik eine Variable bezeichnet, die gemeinsam mit anderen Variablen auftritt. Ein Parameter kann beliebig gewählt werden, unterscheidet sich jedoch von einer Konstanten dadurch, dass er nur für einen betrachteten Fall konstant ist. Auch du bist ihm bereits im Unterricht begegnet. du kennst bereits Funktionsgleichungen wie f(x)=3x+4, g(x)=2x–2 sowie h(x)=3x+1. Sie gehören zu den bereits bekannten linearen Funktionen. Wie ihr schon wisst, ist f(x)=mx+n die allgemeine Funktionsgleichung für lineare Funktionen. Dabei ist x die Variable und y die von x abhängige Variable, daher setzt man für y auch f(x). Die Parameter in unserer Geradengleichung sind die Steigung m und der y-Achsenabschnitt n. Jede lineare Funktion lässt sich in diese Form bringen. Wir sehen also, dass wenn die Parameter m und n variieren, wir unterschiedliche lineare Funktionen erhalten. Diese Funktionen haben jedoch eins gemeinsam, sie sind lineare Funktionen. Das heißt, ändert man den Parameter einer Funktionsgleichung, so erhält man eine neue Funktion. Wir setzen beispielsweise in der allgemeinen Funktionsgleichung f(x)=mx+n den Parameter m gleich fünf und erhalten f(x)=5x+n. Diese lineare Funktionsgleichung beschreibt somit die Menge aller linearen Funktionen mit konstanter Steigung fünf, z.B. f1(x)=5x+1, f2(x)=5x+2 usw. Mit Hilfe von Parametern können wir somit eine Menge verschiedener Kurven, deren Funktionsgleichung sich in mindestens einem Parameter unterscheidet, darstellen. Diese Menge der verschiedenen Kurven wird als Kurvenschar bezeichnet. Was ist nun der Unterschied zwischen den Parametern und den Variablen? Betrachten wir f(x)=2x+1 mit der Steigung zwei und dem y-Achsenabschnitt eins als Parameter. Die Parameter sind fest gewählt, das heißt sie dürfen sich nicht mehr verändern, da wir ansonsten eine andere lineare Funktion betrachten würden. Die Variable x dagegen ist weiterhin variabel. Wir setzen für x Zahlen aus dem Definitionsbereich ein und erhalten die zu den x-Werten gehörenden Funktionswerte f(x). Auf diese Weise können wir eine Wertetabelle aufstellen und unsere Gerade im Koordinatensystem darstellen. Ein Parameter ist also eine spezielle Art der Variablen. Denn während die Variable x in der Funktionsgleichung frei wählbar bleibt, wird ein Parameter einmal frei gewählt und steht dann fest. Kommen wir nun zu dem Einfluss von Parametern auf Funktionen. Die Frage, die wir uns stellen, ist, was bewirkt so ein Parameter eigentlich? Eine beliebige Funktion f(x), egal ob es eine Gerade, eine Parabel oder eine andere Art von Funktion ist, kann durch Hinzunahme eines Parameters abgeändert werden. Im Folgenden betrachten wir vier Fälle, dabei steht der Buchstabe klein p für den Parameter, also eine beliebige jedoch feste Zahl. Erstens: wir addieren einen Parameter p zur Funktion f(x) und erhalten so eine neue Funktion. gp(x)=f(x)+p. Zweitens: wir addieren zum Argument der Funktion f(x) den Parameter p und erhalten gp(x)=f(x+p). Drittens: wir multiplizieren einen Parameter p zur Funktion f(x) und erhalten die Funktion gp(x)=f(x)p. Der vierte und letzte Fall: wir multiplizieren das Argument der Funktion f(x) mit dem Parameter p und erhalten gp(x)=f(xp). Schauen wir uns nun den ersten Fall an: Was passiert, wenn zu der Funktion f(x) ein Parameter addiert wird? Am besten sieht man dies an einem Beispiel. Wir nehmen für f(x)=x2. Als Parameter wählen wir p=1 und p=-2. Wir erhalten g1(x)=x2+1 und g2(x)=x2-2. Du siehst, dass die Parabel entlang der y-Achse verschoben wird, und zwar um genau p Einheiten. Ist p positiv, wird der Graph nach oben verschoben und bei negativem p nach unten. Schauen wir uns nun den zweiten Fall an: Wir addieren zum Argument der Funktion f(x) den Parameter p und erhalten gp(x)=f(x+p). Ach hier wählen wir für f(x) die quadratische Funktion. Und für p wählen wir zwei und minus eins. Was erkennst du an diesen Graphen? Genau, die Parabel wird entlang der x-Achse verschoben. Und zwar für positive p nach links und für negative p nach rechts. Kommen wir nun zum dritten Fall: Wir multiplizieren einen Parameter p zu der Funktion f(x) und erhalten die Funktion gp(x)= f(x)*p. Wieder nehmen wir für f(x)=x2 und diesmal die Parameter 0,5 und zwei und schauen uns an, welche Auswirkungen das auf den Funktionsgraphen hat. Du siehst, die quadratische Funktion wir für Parameterwerte über eins gestreckt und für p kleiner eins gestaucht. Und nun zum vierten Fall: Was passiert, wenn wir das Argument der Funktion f(x) mit dem Parameter p multiplizieren? Auch das schauen wir uns an dem Beispiel der Normalparabel an. f(x) ist also wieder x2. Für p wählen wir drei und 0,5. Wieder wird der Graph an der y-Achse gestaucht oder gestreckt. Je nachdem, ob p größer oder kleiner eins ist. Puh, jetzt haben wir ganz schön viel gelernt. Kommen wir nun zur Zusammenfassung: Erstens, du weißt nun, was ein Parameter ist. Ein Parameter ist eine beliebig gewählte Zahl, unterscheidet sich jedoch von einer Konstanten dadurch, dass er nur für einen betrachteten Fall konstant ist. Zweitens, du hast gelernt, welchen Einfluss Parameter auf Funktionen haben. Die Addition eines Parameters p zur Funktion f(x) bewirkt eine Verschiebung gegenüber p=0 in Richtung der y-Achse um p Einheiten. Eine Addition eines Parameters p zum Argument der Funktion f(x) bewirkt gegenüber des Parameters p=1 eine Verschiebung in Richtung der x-Achse um p Einheiten. Die Multiplikation eines Parameters p zur Funktion f(x) bewirkt gegenüber des Parameters p=1 eine Streckung bzw. Stauchung um den Faktor p in Richtung der y-Achse. Die Multiplikation eines Parameters p mit dem Argument der Funktion f(x) bewirkt gegenüber des Parameters p=1 eine Streckung bzw. Stauchung um den Faktor p in Richtung der x-Achse. Ich hoffe, das Video hat euch gefallen. Bis zum nächsten Mal!
Parameter in der Mathematik Übung
-
Beschreibe den Einfluss des Parameters auf die Funktion $f$.
TippsBei Geraden wird der hintere Parameter auch y-Achsenabschnitt genannt.
Verändert man bei einer Gerade den hinteren Parameter, also verändert man den y-Achsenabschnitt, so verschiebt sich die Gerade im Koordinatensystem, ihre Steigung aber bleibt dieselbe.
LösungSchauen wir uns ein Beispiel an, in dem eine Gerade verschoben wurde (Bild).
Die graue Gerade ist die Ausgangsgerade mit der Funktionsgleichung $f(x)=x$.
Sie hat die Steigung $1$ und verläuft durch den Ursprung. Die grüne Gerade ist parallel zur grauen. Sie wurde nur nach oben verschoben. Ihre Funktionsgleichung lautet $g_1(x)=x+1$. Hier wurde der Parameter $p=1$ hinzuaddiert.
Bei der gelben Gerade $g_{-2}(x)=x-2$ kommt der Parameter $p=-2$ hinzu. Hier wurde die Ausgangsgerade nach unten verschoben.
Der Graph unserer Ausgangsfunktion $f(x)=x$ wird durch Addieren des Parameters $p=1$ bzw. $p=-2$ entlang der y-Achse nach oben bzw. nach unten verschoben.
-
Bestimme die Auswirkungen der Parameter auf den Graphen der Ausgangsfunktion $f(x)=x^2$.
TippsDer Ausgangsgraph zu der Funktion $f(x)=x^2$ ist immer blau markiert.
Die Funktionen, zu denen ein Parameter hinzumultipliziert wird, verlaufen alle durch den Ursprung, denn:
$g_p(0)=f(0) \cdot p=0$
$g_p(0)=f(0 \cdot p) = 0$
Der Graph von $f(x\cdot p)= p^2\cdot x^2$ wird stärker in y-Richtung gestreckt bzw. gestaucht als der Graph von $p\cdot f(x)=p\cdot x^2$.
LösungJedes Bild zeigt den Graphen der quadratischen Funktion $f(x)=x^2$ in blau und zwei Beispiele für das Hinzufügen eines Parameters $p$.
Beim ersten Bild wird der Graph immer nur um $p$ Einheiten auf der y-Achse verschoben, wenn der Parameter zur Funktion hinzuaddiert wird:
- $g_p(x)=f(x)+p$
- grün: $g_1(x)=x^2+1$
- gelb: $g_{-2}(x)=x^2-2$
Das zweite Bild zeigt auf der x-Achse verschobene Parabeln.
Hier ändert sich der Scheitelpunkt. Das heißt, dass der Parameter direkt zum Argument der Funktion hinzuaddiert wird:
- $g_p(x)=f(x+p)$
- grün: $g_1(x)=(x+1)^2$
- gelb: $g_{-2}(x)=(x-2)^2$
$g_p(0)=f(0) \cdot p=0$
$g_p(0)=f(0 \cdot p) = 0$
Der Graph von $f(x\cdot p)= p^2\cdot x^2$ (Bild 4) wird stärker in y-Richtung gestreckt bzw. gestaucht als der Graph von $p\cdot f(x)=p\cdot x^2$ (Bild 3). Das liegt an dem Vorfaktor $p^2$ im Vergleich zum Vorfaktor $p$.
Für Bild 3 gilt:
- grün: $g_{0,5}(x)=0,5 \cdot x^2$
- gelb: $g_2(x)=2\cdot x^2$
- grün: $g_{0,5}(x)= (0,5\cdot x)^2$
- gelb: $g_2(x)= (2\cdot x)^2$
-
Bestimme die Auswirkung des Parameters auf den Graphen der Funktion $f$.
TippsFür $f(x)=x^3$, $g_p(x)=f(p\cdot x)$ und $p=6$ gilt $g_6(x)=(6\cdot x)^3=216\cdot x^3$.
Für $g_p(x)=f(x+p)$ sieht die Kurvenschar folgendermaßen aus:
Für $g_p(x)=f(x)+p$ sieht die Kurvenschar folgendermaßen aus:
LösungGehen wir die Funktionen der Reihe nach durch.
Bei der ersten wird ein Parameter $p$ einfach hinzuaddiert:
$g_p(x)=f(x)+p$
Der Parameter $p=6$ bewirkt, dass der Graph von $f$ um $p$ Einheiten verschoben wird; in diesem Fall wird er um $6$ Einheiten entlang der y-Achse verschoben.
Die zweite Funktion ist $g_p(x)=f(x+p)$.
Hier wird der Parameter direkt zum Argument der Funktion addiert, was eine Verschiebung um $-p$ Einheiten entlang der x-Achse zur Folge hat. In diesem Beispiel würde der Funktionsgraph von $f$ um $6$ Einheiten nach links verschoben werden.
Die nächste Funktion ist $g_p(x)=f(x) \cdot p$.
Hier wird mit der konkreten Funktion $f(x)=3x$ gerechnet. Bei ihrem Graphen handelt es sich um eine Gerade mit der Steigung $m=3$.
Wird nun der Parameter $p=6$ dazumultipliziert, erhalten wir $g_6(x)=3x\cdot 6$.
Das können wir zu $f(x)=18x$ zusammenfassen. Damit ist die Steigung der Geraden jetzt $m=18$. Somit hat sich die Steigung von $m$ auf $m \cdot 6$ geändert.
Die letzte Funktion ist $f(x)=x^3$ mit der Veränderung $g_p(x)=f(x\cdot p)$.
Das bewirkt allgemein eine Stauchung bzw. Streckung entlang der x-Achse mit dem Streckungsfaktor $\frac{1}{p}$. Hier gilt aber:
$g_p(x)=(x \cdot 6)^3=216\cdot x^3$,
was gleichbedeutend mit einer Streckung um den Faktor 216 in y-Richtung ist.
-
Ermittle die Parameter der Funktion $f$.
TippsSetze geeignete Paare $(x|y)$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Parameter zu bestimmen.
Der Parameter $b$ gibt die Verschiebung entlang der y-Achse an.
Der Parameter $a$ sorgt für eine Stauchung bzw. Streckung in y-Richtung.
Das ist der Graph zur Funktion $f$.
LösungAnhand der Wertetabelle können wir ablesen, dass der Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0\big\vert -5)$ liegt.
Das bedeutet, dass der hintere Parameter der quadratischen Funktion $b=-5$ sein muss, da die Parabel um diese Einheiten nach unten verschoben wurde.
Nun müssen wir noch den Parameter $a$ ermitteln. Dazu können wir einen beliebigen Punkt aus der Wertetabelle nehmen, in die Funktionsgleichung einsetzen und nach $a$ auflösen.
Für dieses Beispiel nehmen wir den Punkt $(1\big\vert -1)$ aus der Wertetabelle. Wir setzen alle uns bekannten Werte in die Funktionsgleichung $f(x) = a \cdot x^2 + b$ ein:
$\begin{align} -1&=a \cdot 1^2 + (-5) &|& +5 \\ 4&=a \cdot 1 \end{align}$
Also ist Parameter $a=4$. Dieser Parameter sorgt für eine Streckung der Normalparabel in y-Richtung.
Somit sieht die Funktionsgleichung so aus:
$f(x)=4x^2-5$.
-
Gib die Parameter in der allgemeinen Geradengleichung an.
TippsVariablen sind immer frei wählbar.
Parameter werden einmal frei gewählt und stehen dann fest.
Parameter unterscheiden sich von Konstanten, da sie nur für den betrachteten Fall konstant sind.
LösungIn diesem Fall betrachten wir die allgemeine Geradengleichung.
$f(x)=m\cdot x + n$
Hier ist $x$ die Variable, da sie frei wählbar ist. Die Parameter sind hier die
- Steigung $m$ und
- der y-Achsenabschnitt $n$.
-
Deute die Auswirkung des Parameters $p$ auf die Funktion $f$ bzw. $\hat{f}$.
TippsDu siehst hier die Graphen für $g_p$ (in grün) und $\hat{g}_p$ (in gelb) mit dem Parameter $p=2$.
Wie sieht die Funktion $\hat{g}_{-2}$ bei der Wahl $p=-2$ aus?
LösungGehen wir verschiedene Parameter für die Funktionen $g_p$ und $\hat{g}_p$ durch.
Fangen wir mit der Geraden $g_p$ an.
Statt durch den Parameter zu teilen, können wir die Gleichung auch einfach als Produkt schreiben:
$g_p(x) = mx \cdot \frac{1}{p} =\frac{m}{p} \cdot x$.
Die Steigung bei Geraden wird in diesem Fall also in $\frac{m}{p}$ bzw. $m \cdot \frac{1}{p}$ geändert.
Das heißt auch gleichzeitig, dass die Steigung nicht immer, wie bei Aussage $1$ behauptet, umgekehrt wird.
Für unseren Fall hat der Parameter auch keinen Einfluss auf den y-Achsenabschnitt der Gerade. Sie verläuft für alle $p$ immer durch den Ursprung.
Betrachten wir jetzt die Parabel $\hat{f}(x)=x^2$. Auch hier teilen wir nicht, sondern multiplizieren mit dem Kehrwert des Parameters. Wir setzen wieder $p=2$ und erhalten:
$\hat{g}_2(x)=\frac{1}{2}x^2$.
Betrachtet man den dazugehörigen Graphen, so wird dieser in y-Richtung gestreckt oder gestaucht.
In speziellen Fällen wird die Parabel auch an der x-Achse gespiegelt (Bild). Dieses Beispiel siehst du im Bild für die Funktion $\hat{g}_{-2}(x)=-\frac{1}{2} \cdot x^2 $ mit dem negativen Parameter $p=-2$.
Eine Spiegelung an der y-Achse wird so allerdings nicht bewirkt.
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ich glaube, dass sie damit gemeint hat, dass der inhalt zu oberflächlich behandelt wurde.
Hallo Anjamail2003,
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Liebe Grüße aus der Redaktion.
Echt total schnell
Nicht verstanden
😦😦😦😦😟
Ja echt😦
Viel zu schnell 😣🙄