Periodische Vorgänge modellieren

Periodische Vorgänge modellieren Übung

• Gib die Bedeutung der Parameter Sinusfunktion wieder.

  Tipps

  Die Amplitude ist die Hälfte der Differenz der Extremwerte.

  Die trigonometrische Funktion $\sin$ ist $2\pi$-periodisch.

  Du kannst dir die Verschiebungseigenschaften der Sinusfunktion anschauen.

  Lösung

  Periodische Vorgänge können durch eine Sinusfunktion modelliert werden:

  $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$.

  Wofür stehen die Parameter?

  • $a$ steht für die Amplitude, also die Hälfte der Differenz von maximalem und minimalem Wert.
  • $b$ steht für die Veränderung der Periodenlänge.
  • $d$ steht für die Stelle, an welcher das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird.
  • $e$ ist das arithmetische Mittel der Extremwerte.

• Bestimme die Funktionsgleichung für die Anzahl der Sonnenstunden pro Tag.

  Tipps

  Bestimmte die $x$- und $y$-Werte des Maximums und Minimums.

  Das arithmetische Mittel zweier Werte ist die Hälfte der Summe.

  Die Periodenlänge beim Lauf der Sonne beträgt $365$ Tage.

  Es gelten:

  • $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
  • $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
  • $d=b \cdot 80$
  • $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$

  Lösung

  Um die Funktion herzuleiten, muss man sich die Bedeutung der einzelnen Parameter klarmachen:

  • $a$ ist die Amplitude, der Ausschlag, der Funktion. Diese lässt sich berechnen als die Differenz von Maximal- und Minimalwert geteilt durch $2$, also ist $a=\frac{16,7-8}2=4,35$.
  • $b$ verändert die Periodenlänge der Funktion. Da trigonometrische Funktionen die Periode $2\pi$ haben und das Jahr $365$ Tage, ist $b=\frac{2\pi}{365}\approx0,0172$.
  • $d$ gibt an, wie die Funktion entlang der $x$-Achse verschoben wird, oder an welcher Stelle das arithmetische Mittel von Maximal- und Minimalwert vor dem Maximum angenommen wird. So wird der mittlere Wert an Sonnenstunden zum Beispiel am 21.03, das entspricht $31+28+21=80$ Tage, erreicht. Somit ist $d=b\cdot 80\approx1,376$.
  • $e$ ist das arithmetische Mittel aus Maximal- und Minimalwert, also $e=\frac{16,7+8}2=12,35$.

  Damit kann die Funktion aufgestellt werden:

  $f(x)=4,35\cdot(0,0172x-1,376)+12,35$.

• Ermittle den maximalen und minimalen Wert sowie die Periodenlänge.

  Tipps

  Zeichne die Werte in ein Koordinatensystem ein.

  An der Skizze im Koordinatensystem kannst du den maximalen und minimalen Wert ablesen.

  Lösung

  1. In diesem Beispiel ist die maximale Anzahl an Gästen der Maximalwert: $y_{max}=60$,
  2. und die minimale Anzahl an Gästen der Minimalwert: $y_{min}=0$ sowie
  3. $p=14$ Stunden die Periodenlänge.

• Leite die Funktion $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$ her.

  Tipps

  Es gelten:

  • $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
  • $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
  • $d=b \cdot$ $x$-Wert, an dem das arithmetische Mittel angenommen wird vor dem Maximum.
  • $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$

  Die Periodenlänge geht von $x=0$ bis $x=14$. Der maximale Wert wird bei $x=7$ angenommen. Wo liegt dann der $x$-Wert, an dem das arithmetische Mittel angenommen wird vor dem Maximum?

  Lösung

  Um die Gleichung der Funktion

  $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$

  herzuleiten, müssen die Parameter berechnet werden. Die Periodenlänge geht von $x=0$ bis $x=14$. Der maximale Wert wird bei $x=7$ angenommen. Der $x$-Wert, an dem das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird, liegt dann also bei $x=3,5$.

  1. $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2=\frac{60-0}2=30$.
  2. $b=\frac{2\pi}{14}=\frac{2\pi}{3,5}\approx 0,45$.
  3. $d=3,5\cdot b=1,575$.
  4. $e=\frac{x_{max}+y_{min}}2=\frac{60+0}2=30$.

  Die Funktionsgleichung lautet demnach:

  $f(x)= 30\sin(0,45x-1,575)+30$.

• Definiere, was ein periodischer Vorgang ist.

  Tipps

  Ein Beispiel für einen periodischen Vorgang ist das Füllen und Entleeren der Lunge.

  Wie lange kann man an einem Tag die Sonne sehen?

  • Es gibt einen längsten Tag im Jahr, dies ist der 21.06. mit 16,7 Stunden, und
  • einen kürzesten Tag, dies ist der 21.12. mit 8 Stunden.

  Das ist in jedem Jahr so.

  Lösung

  Was sind periodische Vorgänge?

  Der Verlauf der Sonne, also die Dauer, in welcher sie zu sehen ist, wiederholt sich.

  Weitere Beispiele sind das Ein- und Ausatmen von Luft in der Lunge oder die Lage des Ventils bei einem sich drehenden Rad.

  Periodische Vorgänge sind Vorkommnisse in Natur und Technik, die sich ständig auf die gleiche Art und Weise in gleichen Abständen wiederholen.

• Prüfe, in welchem Zeitraum mehr als drei Angestellte im Restaurant arbeiten müssen.

  Tipps

  Du kannst auch eine Wertetabelle für den Zeitraum von $10:00$ Uhr bis $24:00$ Uhr erstellen. Setze dafür die passenden $x$-Werte in die Funktionsgleichung ein.

  Hier kannst du eine solche angefangene Wertetabelle sehen.

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c} x&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline f(x)&0&&&23&&&57& \end{array}$

  Es ist die Information $f(x)=40$ gegeben. Setze dieses in die Funktionsgleichung ein und löse nach $x$ auf. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD eingestellt ist und nicht auf DEG.

  Hier ein kleines Zwischenergebnis der Rechnung.

  $0,45x-1,575 \approx 0,3398$

  Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD eingestellt ist und nicht auf DEG.

  Lösung

  Anhand einer Wertetabelle kann man die Anzahl der Gäste zu bestimmten Zeitpunkten erkennen. Dabei ist $x=1$ der Zeitpunkt $11:00$ Uhr usw.

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c} x&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline f(x)&0&3&11&23&37&49&57&60 \end{array}$

  Aufgrund der Symmetrie-Eigenschaften der Sinusfunktion nimmt die Zahl der Gäste in gleicher Form, gespiegelt, vom Maximum $(7|60)$ ausgehend wieder ab, wie sie zugenommen hat.

  Das bedeutet, dass bis zur vierten Stunde nach $10:00$ Uhr noch bis zu drei Angestellte reichen. Ebenso ab der zehnten Stunde nach $10:00$ Uhr wieder.

  Das bedeutet, dass das Restaurant in dem Zeitraum von $14:00$ bis $20:00$ Uhr mehr als drei Angestellte im Restaurant haben müssen.

  Du kannst auch alternativ so vorgehen. Es ist die Information $f(x)=40$ gegeben. Setze dieses in die Funktionsgleichung ein und löse nach $x$ auf. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD eingestellt ist und nicht auf DEG.

  $\begin{align} && f(x)&=40 \\ &\Leftrightarrow& 30 \cdot \sin(0,45x-1,575)+30&=40 &|& -30 \\ &\Leftrightarrow& 30 \cdot \sin(0,45x-1,575)&=10 &|& :30 \\ &\Leftrightarrow& \sin(0,45x-1,575)&=\frac13 &|& \sin^{-1}(~) \\ &\Leftrightarrow& 0,45x-1,575&=\sin^{-1}\left(\frac13\right) &|& +1,575 \\ &\Leftrightarrow& 0,45x&=\sin^{-1}\left(\frac13\right)+1,575 &|& :0,45\\ &\Leftrightarrow& x &\approx4,255 \end{align}$

  Also sind um ca. $14:15$ Uhr $40$ Gäste im Restaurant. Um $17$ Uhr ist das Maximum von ungefähr $60$ Gästen erreicht. Zwischen diesen Zeitpunkten liegen $2:45$ Stunden. Daher sind um ca. $19:45$ Uhr wieder $40$ Gäste in dem Restaurant. Danach sind es wieder weniger. Daher müssen die Restaurant-Besitzer gerundet zwischen $14:00$ Uhr und $20:00$ Uhr mehr als drei Angestellte haben.