Periodische Vorgänge – Periodenlänge bestimmen

Periodische Vorgänge – Periodenlänge bestimmen Übung

• Berechne die Periodenlänge (Periodendauer) für den Weg des Sessellifts.

  Tipps

  Beachte, dass die periodische Bewegung erst beendet ist, wenn der Sessellift wieder am Ausgangspunkt angelangt ist. Von dort wiederholt sich die Bewegung.

  Stell dir vor, du markierst einen Sessellift, der gerade losfährt. Wie lange musst du warten, bis der Sessellift wieder bei dir angekommen ist.

  Lösung

  Wenn ein periodischer Vorgang anhand eines Graphen dargestellt ist, kann die Periodenlänge abgelesen werden.

  Die Periodenlänge des Graphen entspricht bei einem zeitlichen Beispiel dann der Periodendauer des Vorgangs.

  Wird ein periodischer Vorgang jedoch beschrieben, so wie in diesem Beispiel mit dem Sessellift, muss die Periodenlänge berechnet werden.

  Da eine Strecke $8~min$ dauert, dauert der Weg von Bodetal zur Rosstrappe und zurück

  $2\cdot 8~min=16~min$.

  Die Periodenlänge beträgt somit $16~min$.

• Ermittle die Periodenlänge (Periodendauer).

  Tipps

  Die Periodenlänge ist die Zeit, die vergeht, bis eine Gondel nach dem Losfahren wieder am Ausgangspunkt angekommen ist.

  Verwende die Umfang-Formel für einen Kreis

  $U=2\cdot \pi\cdot r=\pi\cdot d$,

  wobei $d$ der Durchmesser und $r$ der Radius des Kreises ist.

  Es gilt $d=2r$.

  Die Geschwindigkeit ist das Verhältnis von zurückgelegtem Weg zur dafür benötigten Zeit:

  $v=\frac st$.

  Beachte, dass bei der Gondel deren Mittelpunkt betrachtet wird.

  Achte beim Verwenden der Formel für die Geschwindigkeit die Maßeinheiten.

  Du erhältst ein Ergebnis in Sekunden. Wenn du durch $60$ dividierst, erhältst du das Ergebnis in Minuten.

  Lösung

  Das London Eye ist eines der größten Riesenräder der Welt:

  Es hat einen Durchmesser von $120~m$. Jede Gondel hat einen Durchmesser von $4~m$.

  Die Geschwindigkeit beträgt $v=0,26\frac{m}{s}$.

  Die benötigte Zeit für eine volle Umdrehung einer Gondel ist die Periodendauer.

  Der Mittelpunkt einer Gondel bewegt sich auf einem Kreis mit dem Durchmesser $120~m+2\cdot2~m=124~m$.

  Damit kann der zurückgelegte Weg berechnet werden. Dieser ist der Umfang des obigen Kreises

  $U=\pi\cdot d=\pi\cdot 124~m\approx390~m$.

  Da die Geschwindigkeit und auch der Weg bekannt sind, kann die Formel

  $v=\frac st$

  nach $t$ umgestellt werden

  $t=\frac sv$.

  Die bekannten Werte können nun eingesetzt werden:

  $t=\frac{390~m}{0,26\frac{m}{s}}=1500~s=25~min$.

  Die Periodenlänge beträgt also $25$ Minuten.

• Entscheide, ob ein periodischer Vorgang vorliegt.

  Tipps

  Ein periodischer Vorgang ist ein Vorgang, der sich in immer gleicher Weise wiederholt.

  Wenn ein Ereignis einmal eintritt, kann es nicht periodisch sein.

  Bei einem periodischen Vorgang kannst du auch die Periodenlänge angeben.

  Lösung

  Da Marie und Paula sich immer am selben Tag zur gleichen Uhrzeit treffen, liegt ein periodischer Vorgang vor.

  Auch der Geburtstag kehrt periodisch wieder. Das ist auch gut so: Dann kann man sich immer darauf freuen.

  Wenn Tante Hedwig am kommenden Sonntag zu Besuch kommt, dann ist dies einmalig und kann also nicht periodisch sein.

  Ein periodischer Vorgang ist ein Vorgang, der sich in gleichen Zeitabständen immer in gleicher Weise wiederholt.

  Somit ist auch Paul's Sportschau-Schauen periodisch und auch die Bewegung der Minutenzeigers.

  Da das Licht bei der Familie Glasbachtal zufällig an- und ausgeht, kann dies nicht periodisch sein.

• Ordne jedem der Vorgänge seine Periodenlänge (Periodendauer) zu.

  Tipps

  Jeder der beschriebenen Vorgänge ist periodisch.

  Eine Minute dauert $60$ Sekunden.

  Die Periodenlänge ist die immer gleiche Zeitspanne, die vergeht, bis sich ein Vorgang wiederholt.

  Lösung

  In dieser Aufgabe kann die jeweilige Periodenlänge entweder direkt oder durch eine Berechnung angegeben werden:

  • Die Wochentage kommen immer nach einer Woche wieder.
  • Da das Abkühlen der Temperatur $10~min$ und das wieder Erhöhen der Temperatur $2~min$ dauert, ergibt sich eine Periodenlänge $10~min+2~min=12~min$.
  • Der Sessellift benötigt für den Hinweg $6~min$ und für den Rückweg $8~min$, also benötigt er für den gesamten Weg $6~min+8~min=14~min$.
  • Die Atmung ist periodisch. Wenn ein Mensch pro Minute ($60$ Sekunden) $20$-mal ein- und wieder ausatmet, dauert eine Periodenlänge $60~s:20=3~s$.

• Beschreibe, wie man die Periodenlänge (Periodendauer) bestimmen kann.

  Tipps

  Du hast einmal im Jahr, immer am gleichen Tag, Geburtstag. Die Periodenlänge ist $1$ Jahr.

  Ein periodischer Vorgang kann auch so beschrieben werden: Auf deiner Lieblingsplaylist befinden sich $6$ Lieder. Jedes dieser Lieder dauert $3~min$.

  Wenn alle Lieder durch sind, fängt dein Player wieder von vorne an.

  Lösung

  Wenn ein periodischer Vorgang in Form eines Graphen dargestellt ist, kann man die Periodenlänge ablesen.

  Man schaut, wann der Vorgang sich in gleicher Weise wiederholt.

  Die nebenstehende Grafik zeigt das Aufwärmen und Abkühlen von Wasser in einem Heißwasserbehälter an.

  Startend bei einer anfänglichen Temperatur von $60^\circ$ wird diese auf $80^\circ$ erhöht und sinkt dann wieder auf $60^\circ$ ab. Dieser Vorgang wiederholt sich alle $10~min$ in gleicher Weise.

  Wenn ein periodischer Vorgang beschrieben wird, muss man die Periodenlänge berechnen.

• Arbeite die Periodenlänge (Periodendauer) heraus.

  Tipps

  Für den Umfang verwendest du $U=\pi\cdot d$,

  wobei $d$ der Durchmesser ist.

  Wie können $\frac{km}{h}$ in $\frac{cm}{s}$ umgerechnet werden?

  Multipliziere mit

  $\frac{250}{9}$.

  Stelle die Gleichung

  $v=\frac st$

  nach der Zeit $t$ um.

  $v$ steht für die Geschwindigkeit und $s$ für den zurückgelegten Weg.

  Lösung

  Paul bewegt das Vorderrad (oder auch das Hinterrad) wirklich sehr langsam:

  $0,36\frac{km}h=10\frac{cm}{s}$.

  Er möchte sich wohl sein Fahrrad erst einmal sehr genau anschauen und dabei periodische Vorgänge üben.

  Die Periodenlänge ist die Zeit, die das Rad benötigt, um sich einmal zu drehen. Man kann sich dabei auch einen Punkt auf dem Rad vorstellen.

  Es muss also der Umfang des Rades $U=\pi\cdot 70\approx220$ [cm]$ berechnet werden.

  Nun kann der Umfang, also die Strecke, und auch die bekannte Geschwindigkeit in der Formel

  $t=\frac sv$

  eingesetzt werden. Dies führt zu der Periodenlänge

  $t=\frac{220~cm}{10\frac{cm}{s}}=22~s$.