Potenzgleichungen – Übungsaufgaben

Potenzgleichungen – Übungsaufgaben Übung

• Ergänze die Probe zur Überprüfung der Ergebnisse.

  Tipps

  Bei einer Potenzgleichung mit geraden Exponenten kann es eine, zwei oder gar keine Lösung geben.

  Zur Probe werden die Werte in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt. Danach gilt erst das Auflösen von Klammern bzw. Potenzen und schließlich Punkt-vor-Strich-Rechnung.

  Lösung

  Man führt die Probe durch, um zu überprüfen, ob die zuvor ermittelten Werte für $x$ (oder jede andere Variable einer Gleichung) stimmen.

  Dazu setzt man die möglichen Lösungen in die Gleichung ein und rechnet solange, bis man zu einer wahren Aussage oder zu einem Widerspruch kommt.

  Eine wahre Aussage ist zum Beispiel $7=7$.

  Einen Widerspruch stellt $3=6$ dar.

  Setzen wir zunächst die positive und dann die negative Lösungsmöglichkeit in die Gleichung ein und sehen was passiert:

  $\begin{array}{lrl} &5\cdot (1)^2 &= 5 \\ \Leftrightarrow&5\cdot 1 &=5 \\ \Leftrightarrow&5 &=5 \end{array}$

  $\begin{array}{lrl} &5\cdot (-1)^2 &=5 \\ \Leftrightarrow&5\cdot 1 &=5 \\ \Leftrightarrow&5 &=5 \end{array}$

  Beide Ergebnisse führen zu einer wahren Aussage.

  Die Probe hat also die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-1;1\}$ bestätigt.

• Gib die Lösung der Potenzgleichung an.

  Tipps

  Ist der Exponent gerade, kann die Gleichung eine, zwei oder gar keine Lösung haben.

  Beim Wurzelziehen erhält man immer zwei Ergebnisse.

  Lösung

  Beim Lösen dieser Potenzgleichung bringen wir zunächst alle Summanden ohne $x$ auf die eine und Summanden mit $x$ auf die andere Seite der Gleichung.

  Durch einige kleine Äquivalenzumformungen erhalten wir nach dem Wurzelziehen zwei Ergebnisse für $x$:

  $\begin{array}{lrll} &3x^2 + 100 &= 10x^2 -75 &|-3x^2 \\ \Leftrightarrow&100 &=7x^2 -75 &|+75 \\ \Leftrightarrow&175 &=7x^2 &|~:7 \\ \Leftrightarrow&25 &=x^2 &|\sqrt{~} \\ \Leftrightarrow&\pm 5 &= x & \end{array}$

  Wir erhalten als Lösungsmenge also $\mathbb{L}=\{-5;5\}$.

  Setzen wir diese zur Probe in die Gleichung ein, erhalten wir sowohl für die positive als auch für die negative $5$ den Wert $25$ – das liegt daran, dass das $x$ zuerst quadriert wird:

  $\begin{array}{lrl} &3\cdot (25) + 100 &=10\cdot (25) -75 \\ \Leftrightarrow&175 &= 175 \end{array}$

  Wir erhalten eine wahre Aussage, beide Ergebnisse stimmen.

• Bestimme die Lösung der Potenzgleichung.

  Tipps

  Bei einem geraden Exponenten sind eine, zwei oder keine Lösung möglich.

  Um den Exponenten am Ende der Rechnung zu eliminieren, ist die vierte Wurzel notwendig.

  Runde auf die vierte Nachkommastelle wie in diesen beiden Fällen $x=\sqrt{8}=2,828427125...\approx 2,828$ und $x=\sqrt{3}=1,732050808... \approx 1,7321$.

  Lösung

  In diesem Beispiel muss man zunächst versuchen, alle Summanden mit der Variable $x$ auf die eine und alle Summanden ohne Variable auf die andere Seite der Gleichung zu bringen.

  Danach führt man einige Umformungen durch, sodass die Variable keinen Vorfaktor mehr hat.

  $\begin{array}{lrll} &2x^4 + 16 &= 5x^4 - 8 &|-5x^4 \\ \Leftrightarrow&-3x^4 +16 &= -8 &|-16 \\ \Leftrightarrow&-3x^4 &= -24 &|~:(-3) \\ \Leftrightarrow&x^4 &= 8 &|\sqrt[4]{~} \\ \Leftrightarrow&x &\approx \pm 1,6818 & \end{array}$

  Durch Ziehen der vierten Wurzel erhalten wir einen positiven und einen negativen Wert für $x$.

• Entscheide, welche der Potenzgleichungen eine leere Lösungsmenge besitzen.

  Tipps

  Eine Potenzgleichung mit einem ungeraden Exponenten hat genau eine Lösung.

  Eine Potenzgleichung mit einem geraden Exponenten kann eine, zwei oder gar keine Lösung besitzen.

  Äquivalenzumformungen werden auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt.

  Ein Exponent kann mit der entsprechenden Wurzel eliminiert werden.

  Lösung

  Eine Gleichung hat eine leere Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\}$, wenn sich ein Widerspruch ergibt oder die Variable im Laufe der Rechnung ganz aus der Gleichung verschwindet.

  Um zu überprüfen, welche der vorliegenden Gleichungen eine leere Lösungsmenge besitzt, müssen wir sie eine nach der anderen lösen.

  Gleichung $I$

  $x^2 = -9 \to$ Widerspruch, denn man kann aus negativen Zahlen keine einfache Wurzel ziehen.

  Gleichung $II$

  $\begin{array}{lrll} &7x^3 +18 &= -3 &|-18 \\ \Leftrightarrow&7x^3 &= -21 &|~:7 \\ \Leftrightarrow&x^3 &= -3 &|\sqrt[3]{~} \\ \Leftrightarrow&x &\approx -1,44 & \end{array}$

  Diese Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\sqrt[3]{-3}\}$

  Gleichung $III$

  $\begin{array}{lrll} &3x+6 &=3x-4 &|-3x \\ \Leftrightarrow&6 &= -4 & \end{array}$

  Widerspruch, da $6 \ne -4$. Die Lösungsmenge ist leer.

  Gleichung $IV$

  $\begin{array}{lrll} &2x^2 - 5 &= x-10 &|-x \\ \Leftrightarrow&x^2 -5 &=-10 &|+5 \\ \Leftrightarrow&x^2 &=-5 &|\sqrt{~} \end{array}$

  Widerspruch, da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann.

  Gleichung $V$

  $\begin{array}{lrll} &-24 &= 8x^3 &|~:8 \\ \Leftrightarrow&-3 &= x^3 &|\sqrt[3]{~} \\ \Leftrightarrow&x &\approx -1,44 & \end{array}$

  Ähnlich wie bei Gleichung $I$ ist auch hier die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\sqrt[3]{-3}\}$.

  Gleichung $VI$

  $\begin{array}{lrll} &4x^4 &= 40 &|~:4 \\ \Leftrightarrow&x^4 &=10 &|\sqrt[4]{~} \\ \Leftrightarrow&x &\approx \pm 1,78 & \end{array}$

  Diese Gleichung besitzt die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-\sqrt[4]{10};\sqrt[4]{10}\}$.

  Die gesuchten Gleichungen mit einer leeren Lösungsmenge sind also die Gleichungen $I, III$ und $IV$.

• Nenne die korrekte Lösungsmenge der Potenzgleichung.

  Tipps

  Eine Äquivalenzumformung wird auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt.

  Ist der Exponent ungerade, so besitzt die Gleichung nur eine Lösung.

  Lösung

  Es gibt zwei Wege, um die korrekte Lösungsmenge herauszufinden.

  Der erste, schnellere Weg ist der, die Gleichung zu lösen. Dazu führen wir einige kleine Äquivalenzumformungen durch:

  $\begin{array}{lrll} &0,5\cdot x^3 &=-108 &|~:0,5 \\ \Leftrightarrow&x^3 &=-216 &|\sqrt[3]{~} \\ \Leftrightarrow&x &=-6 & \end{array}$

  Wir erhalten $-6$, was auch in einer der Antwortmöglichkeiten vorgegeben ist.

  Das müssen wir jedoch überprüfen, dazu setzen wir diesen Wert in die Gleichung ein:

  $\begin{array}{lrl} &0,5\cdot (-6)^3 &=-108 \\ \Leftrightarrow&0,5 \cdot (-216) &= -108 \\ \Leftrightarrow&-108 &= -108 \end{array}$

  Dies führt zu einer wahren Aussage, die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-6\}$ ist also korrekt.

  Diese Probe mit allen anderen möglichen Lösungsmengen durchzuführen wäre der zweite aber weitaus umständlichere Lösungsweg.

• Ermittle die Lösungen der Gleichung.

  Tipps

  Die Gleichung hat gerade und ungerade Exponenten.

  Somit hat sie in diesem Fall genau zwei Lösungen.

  Die Gleichung muss in diese Form gebracht werden.

  Ist die Gleichung in der passenden Form, kann man sie mit Hilfe dieser Formel lösen.

  Man nennt sie die p-q-Formel.

  $p$ ist $-2$ und $q$ ist $-8$

  Die Ergebnisse sind ganze Zahlen.

  Lösung

  Beim Lösen dieser Gleichung wendet man ein etwas anderes Verfahren an als bei den Gleichungen davor.

  Zuerst muss man die Gleichung so umformen, dass auf der rechten Seite der Gleichung eine Null steht. Außerdem darf das $x^2$ keinen Vorfaktor mehr besitzen.

  Ist das gegeben, kann man die p-q-Formel anwenden.

  $\begin{array}{lrll} &3x^2 -6x -21 &= 3 &|-3 \\ \Leftrightarrow & 3x^2 -6x -24 &= 0 &|~:3 \\ \Leftrightarrow & x^2 -2x -8 &= 0 &|p-q-Formel \end{array}$

  Dies sind unsere benötigten Parameter $p$ und $q$:

  • $p=-2$

  • $q=-8$

  Es ist wichtig, dass man die Vorzeichen mitnimmt, also nicht bloß die Werte von $p$ und $q$, sondern auch ein eventuelles negatives Vorzeichen.

  Diese beiden Werte setzen wir nun in die Formel ein und lösen so die Gleichung. Wir werden zwei Ergebnisse erhalten:

  $\begin{array}{lrl} &x_{1/2} &=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 -q} \\ &x_{1/2} &=-\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - (-8)} \\ \Leftrightarrow & x_{1/2} &= 1 \pm \sqrt{9} \\ \Leftrightarrow & x_{1/2} &= 1 \pm 3 \end{array}$

  Wir erhalten als Ergebnisse:

  $x_1=1-3 =-2$ oder $x_2=1+3 =4$.

  Durch eine entsprechende Probe kann man nachweisen, dass dies tatsächlich die zwei Lösungen der Gleichung sind.