Primfaktorzerlegung – Übung
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Grundlagen zum Thema Primfaktorzerlegung – Übung
Einleitung zum Thema Primfaktorzerlegung
Die Primfaktorzerlegung ist eine wichtige Methode in der Mathematik, um eine Zahl in ihre kleineren Bausteine, die Primzahlen, zu zerlegen. Diese Technik hilft dir, die Struktur von Zahlen besser zu verstehen und ist nützlich für viele weitere mathematische Themen. Sie ist ein grundlegendes Konzept, das du in der 6. Klasse kennenlernst. In diesem Text übst du, wie du Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen kannst.
In unserer Einführung zur Primfaktorzerlegung findest du die wichtigsten Regeln und Beispiele einfach erklärt.
Unter den Aufgaben findest du jeweils Lösungen und Erklärungen.
Merke
Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist die Darstellung einer Zahl als Produkt aus Primzahlen. Jede Zahl, die größer als $1$ ist und keine Primzahl ist, besitzt diese Darstellung.
Für die Bestimmung der Primfaktorzerlegung sind die Teilbarkeitsregeln der ersten Primzahlen essentiell. Falls du dich nicht mehr erinnerst, kannst du hier nachschauen:
Teste dein Wissen zum Thema Primfaktorzerlegung
Bestimme die Primfaktorzerlegung – kleine Zahlen
Bestimme die Primfaktorzerlegung – große Zahlen
Prüfe die Teilbarkeit mithilfe der Primfaktorzerlegung
Ausblick – so kannst du weiterlernen
Als Nächstes kannst du lernen, wie dir die Primfaktorzerlegung in der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers oder dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen helfen kann. Beide Themen sind zentral in der Mathematik der 6. Klasse und bereiten dich darauf vor, noch besser mit Zahlen umzugehen!
Transkript Primfaktorzerlegung – Übung
Der Escape Room ist fast geschafft! Um die letzte Tür zu öffnen, müssen wir nur noch diese Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen? Na Klasse, wie kriegen wir das denn jetzt hin? Am Besten legen wir nochmal eine kurze Übungseinheit zur „Primfaktorzerlegung“ ein. Okay, wir müssen uns fokussieren! Primfaktorzerlegung – was war das noch gleich? Bei einer Primfaktorzerlegung geht es darum, eine natürliche Zahl in ein Produkt aus Primzahlen zu zerlegen. Dazu ein erstes, einfaches Beispiel: Gegeben ist die Zahl achtzehn, die in ihre Primfaktoren zerlegt werden soll. Dafür müssen wir Teiler der achtzehn finden. Da achtzehn gerade ist, können wir durch zwei teilen. Achtzehn ist also gleich zwei mal neun. Wir können den Faktor neun nochmal aufteilen, denn neun ist gleich drei mal drei. Und schon sind wir fertig! Für die Zahlen zwei und drei finden wir keinen weiteren Teiler mehr, da es Primzahlen sind. Zur Erinnerung: Primzahlen, sind Zahlen die nur zwei Teiler haben – die eins und sich selbst. Die ersten Primzahlen siehst du hier auf einen Blick. Du solltest sie dir gut merken! Wir haben die achtzehn also in ihre Primfaktoren zerlegt. Genauso können wir auch bei anderen Zahlen vorgehen. Jede natürliche Zahl größer eins, die selbst keine Primzahl ist, lässt sich mit der Primfaktorzerlegung eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Dabei helfen uns die Teilbarkeitsregeln. Eine Zahl ist teilbar durch zwei, wenn es sich um eine gerade Zahl handelt. Gerade Zahlen enden auf die Ziffern null, zwei, vier, sechs oder acht. Außerdem ist jede Zahl die auf null oder fünf endet, durch fünf teilbar. Bei der drei ist die Teilbarkeitsregel etwas komplizierter. Sie ist aber mindestens genauso wichtig. Hier merken wir uns, dass jede Zahl, deren Quersumme durch drei teilbar ist, auch selbst durch drei teilbar ist. Wir nennen diese Regel daher auch die „Quersummenregel“. Dazu zwei Beispiele: Die Zahl vierhundertsechsundfünfzig ist durch drei teilbar, da die Quersumme gleich fünfzehn ist und fünfzehn durch drei teilbar ist. Die Zahl dreihundertsiebenundsiebzig hat die Quersumme siebzehn und ist somit nicht durch drei teilbar, weil auch die siebzehn nicht durch drei teilbar ist. Alles klar, dann können wir uns ja jetzt ein paar Übungsaufgaben anschauen! Rechnen wir zunächst noch einmal gemeinsam: Wir wollen die Zahl zweihundertsechzehn in ihre Primfaktoren zerlegen: Da die Zahl gerade ist, ist ein Primfaktor die zwei. Und auch hundertacht sowie vierundfünfzig können wir ein weiteres mal durch zwei teilen. Siebenundzwanzig ist durch drei teilbar und das gilt auch für die neun. Jetzt haben wir die zweihundertsechzehn in ihre Primfaktoren zerlegt. Wir können das Ergebnis aber noch übersichtlicher aufschreiben, wenn wir die Faktoren zwei und drei jeweils mit Hilfe der Potenzschreibweise zusammenfassen. Jetzt bist du an der Reihe! Hier siehst du einige Zahlen, die du in ihre Primfaktoren zerlegen sollst. Pausiere das Video und rechne selbst! Die Ergebnisse gibt es in drei, zwei, eins. Hier siehst du die Primfaktorzerlegungen. Du solltest jeweils auf die gleichen Primfaktoren gekommen sein. Die Reihenfolge kann bei dir natürlich anders sein. Es ist aber hilfreich, die Primfaktoren ihrer Größe nach zu ordnen. Außerdem können wir mehrfach vorkommende Faktoren wieder mit der Potenzschreibweise zusammenfassen. Hast du die Primfaktoren erfolgreich bestimmen können? Klasse, dann kommt auch schon Runde zwei! Dieses Mal ist es schon etwas schwieriger. Pausiere erneut das Video und rechne selbst. Die Lösungen gibt es in drei, zwei, eins. Hier sind sie. Gar nicht so einfach oder? Hast du die Primfaktorzerlegungen richtig berechnet? Du hast bestimmt gemerkt, dass die elf und die einunddreißig auch Primzahlen sind, die nicht weiter in Primfaktoren aufgeteilt werden können. Prima, na dann sind wir bereit für die Tür zur Freiheit! Vorher fassen wir aber nochmal kurz zusammen: Wir können die Primfaktorzerlegung einer Zahl bestimmen, indem wir ihre Primfaktoren ermitteln. Dabei helfen uns die Teilbarkeitsregeln. Anschließend ist es hilfreich die Primfaktoren zu sortieren... und mit der Potenzschreibweise zusammenzufassen. Alles klar, jetzt sind wir bestens vorbereitet. Damit sich die Tür öffnet, muss die Primfaktorzerlegung von eintausenddreihundertfünfundsechzig bestimmt werden. Ganz schön tricky. Findest du die Lösung? Schreib es uns doch gerne in die Kommentare! Du erfährst sie in drei, zwei, eins. Die Zahlen, die wir eingeben müssen lauten: Drei, Fünf, Sieben und Dreizehn. Ahh, endlich frei!
Primfaktorzerlegung – Übung Übung
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Gib die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen $2$, $3$ und $5$ an.
TippsDie Zahl $25$ ist durch $5$ teilbar.
Die Quersumme von $27$ ist $2+7=9$.
LösungWollen wir eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen, so ist es wichtig, die Teilbarkeitsregeln zu kennen. Wir betrachten die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen $2$, $3$ und $5$ an Beispielen:
- Eine Zahl ist durch $\mathbf{2}$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
- Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $\mathbf{0}$ oder $\mathbf{5}$ endet.
- Eine Zahl ist durch $\mathbf{3}$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $\mathbf{3}$ teilbar ist.
Die Zahl $731$ hat die Quersumme $7+3+1=11$. Da $11$ nicht durch $3$ teilbar ist, ist auch die Zahl $731$ nicht durch $3$ teilbar. -
Bestimme die Primfaktorzerlegungen der gegebenen Zahlen.
TippsBei der Primfaktorzerlegung schreibst du eine Zahl als Produkt aus Primzahlen.
Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.Beispiel:
$135 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$
LösungWir bestimmen die Primfaktorzerlegung mithilfe der Teilbarkeitsregeln:
- Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
- Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
- Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
Beispiel 1:
Die Zahl $24$ ist durch $2$ teilbar:
$24 = 2 \cdot 12$
Auch die Zahl $12$ ist durch $2$ teilbar:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 6$
Und auch die Zahl $6$ ist durch $2$ teilbar:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
Weil die Zahl $3$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.Beispiel 2:
Die Zahl $150$ ist durch $2$ teilbar:
$150 = 2 \cdot 75$
Die Zahl $75$ ist durch $3$ teilbar:
$150 = 2 \cdot 3 \cdot 25$
Die Zahl $25$ ist durch $5$ teilbar:
$150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$
Weil die Zahl $5$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.Beispiel 3:
Die Zahl $441$ ist durch $3$ teilbar:
$441 = 3 \cdot 147$
Auch die Zahl $147$ ist durch $3$ teilbar:
$441 = 3 \cdot 3 \cdot 49$
Die Zahl $49$ ist durch $7$ teilbar:
$441 = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$
Weil die Zahl $7$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen. -
Entscheide, wodurch die Zahlen teilbar sind.
TippsEine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
Die Zahl $342$ ist durch $2$ teilbar, da ihre letzte Ziffer eine $2$ ist.
Sie ist außerdem durch $3$ teilbar, denn ihre Quersumme ist $3+4+2=9$. Und $9$ ist durch $3$ teilbar:
$9:3=3$LösungWir verwenden die beiden folgenden Teilbarkeitsregeln:
- Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
- Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
Folgende Zahlen sind durch $2$, aber nicht durch $3$ teilbar:
- $64$ (endet auf $4$)
- $446$ (endet auf $6$)
- $58$ (endet auf $8$)
Folgende Zahlen sind durch $3$, aber nicht durch $2$ teilbar:
- $93$ (Quersumme: $12$)
- $21$ (Quersumme: $3$)
- $1\,995$ (Quersumme: $24$)
Folgende Zahlen sind durch $2$ und $3$ teilbar:
- $1\,776$ (endet auf $6$, Quersumme: $21$)
- $8\,832$ (endet auf $2$, Quersumme: $21$)
- $6$ (endet auf $6$, Quersumme: $6$)
-
Vervollständige die Primfaktorzerlegung.
TippsBeachte die Teilbarkeitsregeln:
- Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
- Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
- Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
Beginne mit der kleinsten Primzahl: Ist die Zahl durch $2$ teilbar?
Wenn ja, schreibe als Produkt:
$2 \cdot x$
Fahre dann fort: Ist $x$ durch $2$ teilbar?
Wenn nicht, überprüfe, ob $x$ durch $3$ teilbar ist, etc.Du kannst die Zahl auch in beliebiger Reihenfolge in ihre Primfaktoren zerlegen und diese anschließend ordnen:
$45=5\cdot 15 = 5 \cdot 3 \cdot 5 = 3 \cdot 5 \cdot 5$
LösungWir bestimmen die Primfaktorzerlegung mithilfe der Teilbarkeitsregeln:
- Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
- Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
- Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
Beispiel 1:
Die Zahl $60$ ist durch $2$ teilbar:
$60 = 2 \cdot 30$
Auch die Zahl $30$ ist durch $2$ teilbar:
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 15$
Die Zahl $15$ ist durch $3$ teilbar:
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$
Weil die Zahl $5$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.Beispiel 2:
Die Zahl $270$ ist durch $2$ teilbar:
$270 = 2 \cdot 135$
Die Zahl $135$ ist durch $3$ teilbar:
$270 = 2 \cdot 3 \cdot 45$
Auch die Zahl $45$ ist durch $3$ teilbar:
$270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15$
Auch die Zahl $15$ ist durch $3$ teilbar:
$270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$
Weil die Zahl $5$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.Beispiel 3:
Die Zahl $12\,375$ ist durch $3$ teilbar:
$12\,375 = 3 \cdot 4\,125$
Auch die Zahl $4\,125$ ist durch $3$ teilbar:
$12\,375 = 3 \cdot 3 \cdot 1\,375$
Die Zahl $1\,375$ ist durch $5$ teilbar:
$12\,375 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 275$
Auch die Zahl $275$ ist durch $5$ teilbar:
$12\,375 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 55$
Auch die Zahl $55$ ist durch $5$ teilbar:
$12\,375 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$
Weil die Zahl $11$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen. -
Bestimme die Primzahlen.
TippsEine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.
Überprüfe jeweils, ob die Zahlen durch $2$, $3$, $5$ usw. teilbar sind.
Die Zahl $21$ ist keine Primzahl, da sie durch $3$ und durch $7$ teilbar ist:
$21:3=7$ und $21:7=3$
LösungEine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist. Wir überprüfen dies an den Beispielen und erhalten:
keine Primzahlen:
- $15$ ist durch $3$ und durch $5$ teilbar.
- $6$ ist durch $2$ und $3$ teilbar.
- $9$ ist durch $3$ teilbar.
- $14$ ist durch $2$ und durch $7$ teilbar.
- $2$
- $5$
- $13$
- $7$
-
Bestimme die Primfaktorzerlegung in Potenzschreibweise.
TippsDu kannst ein Produkt wie folgt als Potenz zusammenfassen:
$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$
Beispiel:
$500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^3$
LösungWir bestimmen die Primfaktorzerlegung mithilfe der Teilbarkeitsregeln:
- Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
- Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
- Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
Anschließend fassen wir gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen:
Beispiel 1:
Die Zahl $72$ kann wie folgt zerlegt werden:
$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2 $Beispiel 2:
Die Zahl $2\,700$ kann wie folgt zerlegt werden:
$2\,700 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 $Beispiel 3:
Die Zahl $31\,752$ kann wie folgt zerlegt werden:
$31\,752 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7^2 $
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