Teilbarkeit bei Summen und Produkten

Teilbarkeit bei Summen und Produkten Übung

• Berechne die Quotienten.

  Tipps

  Um eine gerechte Verteilung des Futters sicherzustellen, muss Schweinemama Sybille das Futter durch die Anzahl ihrer Ferkel dividieren.

  $24$ rote und $64$ gelbe Rüben verteilt Sybille auf ihre $8$ Ferkel, indem sie teilt:

  $24 : 8 = 3$ und $64:8=8$.

  Jedes Ferkel bekommt dann $3$ rote und $8$ gelbe Rüben oder $(24+64):8 = 88:8=11$ Rüben insgesamt.

  Zur Probe rechnet Sybille nach, dass $8$ Ferkel mit je $8$ gelben Rüben genau $64$ Rüben ergeben:

  $8 \cdot 8 = 64$.

  Lösung

  Schweinemama Sibylle verteilt auf ihre $8$ hungrigen Ferkel $40$ rote und $16$ grüne Äpfel. Jedes Ferkel bekommt von jeder Sorte gleich viele Äpfel. Sybille teilt daher die $40$ roten Äpfel durch $8$ und erhält:

  $40 : 8= 5$.

  Um sicher zu sein, dass das Ergebnis stimmt, multipliziert sie die $5$ wieder mit $8$ und rechnet:

  $5 \cdot 8 = 40$.

  Mit den $16$ grünen Äpfel macht Sibylle es genauso. Sie teilt sie durch 8:

  $16 : 8 = 2$,

  und überprüft das Ergebnis:

  $2 \cdot 8 =16$.

  Jedes Ferkel bekommt also $7$ Äpfel, nämlich $5$ rote und $2$ grüne. Wenn es auf die Sorten und Farben nicht ankommt, kann Sibylle die Äpfel auch alle auf einmal teilen. Sie rechnet dann:

  $(40 + 16) : 8 =56:8= 7$.

  Man kann also eine Summe auf zwei Arten teilen:

  • Man addiert zunächst die Zahlen in der Klammer und dividiert sie dann.
  • Wenn alle Summanden denselben Teiler haben, so kann man auch erst die einzelnen Summanden dividieren und anschließend erst die Quotienten addieren.

• Beschreibe das Teilen aus Summen, Differenzen und Produkten.

  Tipps

  $12$ ist durch $2$ teilbar, aber $12+3$ ist nicht durch $2$ teilbar.

  Das Produkt kann mehr Teiler haben als die beiden Faktoren.

  Zum Beispiel ist $3\cdot4=12$ auch durch $2$ und $6$ teilbar.

  $(12+16):4 = (12:4) + (16:4)$

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Ist eine natürliche Zahl Teiler zweier Zahlen, so ist sie auch Teiler der Summe dieser Zahlen.“ Die Division der Summe hat als Quotienten die Summe der Quotienten der beiden Summanden.

  • „Die Differenz zweier durch $8$ teilbarer Zahlen ist wieder durch $8$ teilbar.“ Zur Division kannst du entweder zuerst die Differenz bilden und dann teilen oder zuerst teilen und dann die Differenz der Quotienten ausrechnen.

  • „Teilt eine natürliche Zahl die Summe zweier Zahlen nicht, so teilt sie mindestens einen der Summanden nicht.“ Denn wenn sie beide Summanden teilt, so teilt sie auch die Summe.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Eine Summe kann man durch jede Zahl teilen, die genau einen der Summanden teilt.“ Die Summe aus $12$ und $15$ ist nicht durch $5$ teilbar, obwohl $15$ durch $5$ teilbar ist.

  • „Ein Produkt ist nur dann durch eine natürliche Zahl teilbar, wenn alle einzelnen Faktoren durch diese Zahl teilbar sind.“ Ist nur ein Faktor durch eine natürliche Zahl teilbar, so ist das Produkt auch durch diese Zahl teilbar.

  • „Um eine Differenz zu teilen, genügt es, die größere der beiden Zahlen zu teilen.“ Um eine Differenz zu teilen, musst du sowohl den Minuenden als auch den Subtrahenden dividieren und dann die Differenz der Quotienten bilden.

  • „Das Produkt aus $18$ und $12$ ist nicht durch $8$ teilbar, weil beide Faktoren nicht durch $8$ teilbar sind.“ Die Faktoren sind nicht durch $8$ teilbar. Dennoch ist das Produkt durch $8$ teilbar, denn $18 \cdot 12 = 216$ und $216 : 8 = 27$. Die Aussagen gelten somit nur in eine Richtung. Es gibt nämlich oft mehrere Varianten, Zahlen durch Faktoren oder Summanden darzustellen. Stellt man die Gleichung $8 \cdot 27 =216$ auf, so kann unsere Regel wieder angewendet werden. Gleichermaßen verhält es sich mit den Aussagen zu den Summen. Ein Beispiel ist die $20$. Stellen wir die $20$ als Summe von $5 + 15$ dar, so sind beide Summanden durch $5$ teilbar und somit die $20$ auch. Wir können die $20$ aber auch als Summe aus $16 +4$ darstellen. Weder die $16$ noch die $4$ haben die $5$ zum Teiler. Die $20$ hingegen lässt sich immer noch durch die $5$ teilen.

  Fazit: Haben alle Summanden denselben Teiler, so ist dieser auch Teiler der Summe. Andersherum jedoch gilt dies nicht. Eine Summe kann auch einen Teiler besitzen, den die einzelnen Summanden nicht haben. Ähnlich verhält es sich mit dem Produkt, welches die gleichen Teiler besitzt wie die einzelnen Faktoren. Jedoch kann das Produkt auch Teiler besitzen, die keine Teiler der einzelnen Faktoren sind.

• Erschließe den Quotienten.

  Tipps

  Rechne zuerst die Summen oder Differenzen aus und dividiere das Ergebnis durch den Divisor.

  Überprüfe die Divisionen, indem du den Quotienten mit dem Divisor multiplizierst.

  $(82-31):3 = 51:3 = 17$

  Lösung

  Um die Summen (oder Differenzen) zu dividieren, kannst du entweder zuerst die Addition (oder Subtraktion) in der Klammer ausführen und dann dividieren oder beide Summanden (bzw. Minuend und Subtrahend) dividieren und dann die Summe (oder Differenz) der Quotienten ausrechnen. Zur Probe kannst du das Ergebnis wieder mit dem Divisor multiplizieren. Wenn du richtig gerechnet hast, kommt dabei wieder die ursprüngliche Summe (oder Differenz) heraus.

  Für die Division $(33+22):11$ kannst du entweder zuerst die Summe ausrechnen und dann dividieren:

  $(33+22):11 = 55:11 = 5$.

  Oder du dividierst die Summanden und summierst dann die Quotienten:

  $(33+22) : 11 = 33:1 + 22:11 = 3 + 2 = 5$.

  Die Ergebnisse beider Rechnungen stimmen überein. Zur Probe kannst du auch das Ergebnis $5$ wieder mit dem Divisor $11$ multiplizieren. Du erhältst dann:

  $5 \cdot 11 = 55 = (33+22)$.

  Die beiden Divisionen waren also richtig, denn die Probe liefert wieder die ursprüngliche Summe.

  Auf diese Weise erhältst du folgende Gleichungen:

  • $(33+22):11 = 55 : 11 = 5$ oder $(33+22):11 = 33:11 +22:11= 3+2$

  • $(33 - 24):3 = 9:3=3$ oder $(33-24):3 = 33:3 - 24:3 = 11-8 = 3$

  • $(3 \cdot 20) : 5 = 60 : 5 = 12$ oder $(3 \cdot 20) :5 = 3 \cdot 4 =12$

  • $(15 + 24):3 = 39:3 = 13$ oder $(15 + 24):3 =15 : 3 + 24 :3 = 5 + 8 = 13$

  • $(85-34):3 = 51:3 = 17$, hier funktioniert nur diese Rechnung, da weder $85$ noch $34$ die $3$ als Teiler haben.

• Arbeite die Gesetzmäßigkeiten für die Division aus Summen, Differenzen und Produkten heraus.

  Tipps

  Überprüfe die vervollständigten Sätze, indem du Beispiele rechnest.

  $12 + 15$ ist nicht durch $5$ teilbar, obwohl $15$ durch $5$ teilbar ist.

  Lösung

  Für die Division von Differenzen und Summen einerseits und Produkten anderseits gelten verschiedene Regeln: Teiler aller Summanden einer Summe sind Teiler der Summe. Teiler mindestens eines Faktors sind auch Teiler des Produktes.

  Hier sind die korrekten Sätze:

  • „Teilt eine natürliche Zahl jeden Summanden, ... so teilt sie auch die Summe.“

  Beispiel: Die $3$ teilt die $9$ und die $18$, da $9:3=3$ und $18:3=6$. Dennoch teilt die $3$ auch $9+18=27$ und wir erhalten: $(9+18):3=27:3=9$.

  • „Teilt eine natürliche Zahl einen Faktor, ... so teilt sie auch das Produkt.“

  Beispiel: Die $3$ teilt die $9$, aber nicht die $5$, da $9:3=3$ und $5:3$ keine natürliche Zahl ist. Dennoch teilt die $3$ auch $9\cdot 5$ und wir erhalten: $(9\cdot 5):3=45:3=9$.

  • „Teilt eine natürliche Zahl ein Produkt nicht, ... so teilt sie auch keinen der Faktoren.“

  • „Eine Summe natürlicher Zahlen ... ist durch jeden gemeinsamen Teiler aller Summanden teilbar.“

  • „Ein Produkt natürlicher Zahlen ... ist durch jeden Teiler jedes Faktors teilbar.“

• Zeige die korrekten Gleichungen auf.

  Tipps

  Um eine Summe zu dividieren, kannst du zuerst die Summe ausrechnen und dann teilen.

  Um eine Division zu überprüfen, kannst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren. Wenn du den Dividenden erhältst, war die Division richtig, andernfalls war sie falsch.

  $(12-3):3 = 4$ ist falsch, denn $4 \cdot 3 = 12 \neq (12-3)$.

  Lösung

  Wenn bei einer Summe alle Summanden denselben Teiler haben, so ist dieser automatisch auch ein Teiler der Summe. Eine Summe ist demnach durch jeden gemeinsamen Teiler ihrer Summanden teilbar. Ein Produkt ist durch alle Teiler der einzelnen Faktoren teilbar. Daher genügt es, bei einer Division eines Produktes durch eine natürliche Zahl lediglich den Faktor zu dividieren, der diese natürliche Zahl als Teiler hat. Die restlichen Faktoren können anschließend einfach multipliziert werden.

  Beispiel: $(15 \cdot 2 \cdot 3) : 5 = (15 :5 ) \cdot 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$

  Hier ist $15$ der einzige Faktor, der $5$ zum Teiler hat.

  Zum Überprüfen der Division kannst du jeweils den Quotienten wieder mit dem Divisor dividieren.

  Folgende Divisionen sind richtig:

  • $(18 \cdot 4):9=8$, denn $(18 \cdot 4):9=72$ und $72 : 9 =8$.

  • $(40-16):8 = 3$, denn $(40-16) = 24$ und $24:8=3$.

  • $(40+16):8=7$, denn $(40+16):8 = 56$ und $56:8 =7$.

  Diese Divisionen dagegen sind falsch:

  • $(40+16):8 =8$, denn $8 \cdot 8 = 64$, aber $40+16 = 56$.

  • $(40+16):8=46:8$. Hier ist die Summe falsch: $40+16 = 56 \neq 46$.

  • $(18 \cdot 4):9 = 4$, denn $18 \cdot 4 = 72$ und $72:9=8$.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  $29-11$ ist durch $9$ teilbar, obwohl weder $29$ noch $11$ durch $9$ teilbar sind.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „$x - 6 = 33$ Der Minuend $x$ ist durch $3$ teilbar, weil Subtrahend und Differenz durch $3$ teilbar sind.“ Sind Minuend und Subtrahend durch dieselbe Zahl teilbar, so auch die Differenz. Sind Subtrahend und Differenz durch dieselbe Zahl teilbar, so ist der Minuend die Summe aus der Differenz und dem Subtrahenden und ebenfalls durch diese Zahl teilbar. Sind Minuend und Differenz durch dieselbe Zahl teilbar, so ist der Subtrahend die Summe aus dem Minuenden und dem Negativen der Differenz und ebenfalls durch diese Zahl teilbar.

  • „$(21 + 7 + 77 + 63 +140) :7 $ Die Summe innerhalb der Klammer ist durch $7$ teilbar, da alle einzelnen Summanden auch durch $7$ teilbar sind.“

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Summe aus $32$ und $58$ ist nicht durch $5$ teilbar, weil die einzelnen Summanden auch nicht durch $5$ teilbar sind.“ Die Summe ist $90$ und somit trotzdem durch $5$ teilbar. Es kann somit nur auf den Teiler der Summe geschlossen werden, wenn alle einzelnen Summanden denselben Teiler haben. Ein weiteres Gegenbeispiel: $17$ und $4$ sind beide nicht durch $3$ teilbar, aber $17 +4= 21$ ist durch $3$ teilbar.

  • „Die Differenz $(37 - 16)$ ist nicht durch $7$ teilbar.“ Auch bei den Differenzen gibt die Teilbarkeit der einzelnen Minuenden und Subtrahenden ausschließlich Aufschluss über die Teilbarkeit der Differenz, wenn alle denselben Teiler haben. Ein weiteres Gegenbeispiel: $24$ und $10$ sind beide nicht durch $7$ teilbar, aber $24-10 = 14$ ist durch $7$ teilbar.

  • „$x \cdot 25 = y$ Nur wenn $x$ durch $5$ teilbar ist, so ist auch $y$ durch $5$ teilbar.“ Bei einer Multiplikation reicht es, wenn ein Faktor Teiler einer bestimmten Zahl ist. Daher ist $y$ durch $5$ teilbar, unabhängig davon, ob auch $x$ durch $5$ teilbar ist. Ein weiteres Gegenbeispiel: $18 \cdot 4 = 72$ ist durch $8$ teilbar, obwohl keiner der beiden Faktoren durch $8$ teilbar ist.

  • „$(75 \cdot 35) : 5 = (75:5) \cdot (35 : 5) = 15 \cdot 7 $“ Hier muss nur ein Faktor durch $5$ geteilt werden. $(75 \cdot 35) : 5 = 2625 :5 = 525$. Eine andere Rechnung wäre demnach $(75 : 5) \cdot 35 = 15 \cdot 35 = 525$. Somit ist die obere Rechnung falsch.

  • „$(30 + 13 - 5 - 5 + 6) : 3 $ Um sich die Rechnung zu vereinfachen, kann man alle Zahlen innerhalb der Klammern zunächst durch $3$ teilen. Anschließend können die Quotienten zusammengerechnet werden.“ Da nicht alle Zahlen innerhalb der Klammer $3$ als Teiler haben, bringt dies hier nichts. Daher muss erst die Rechnung innerhalb der Klammern durchgeführt werden, um anschließend durch $3$ zu teilen. Dies funktioniert, da $39$ die $3$ zum Teiler hat.