Proportionale Zuordnungen

Proportionale Zuordnungen Übung

• Vervollständige die Tabelle der proportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert von $x$ der $n$-fache Wert von $y$ zugeordnet wird. Das heißt:

  • Bei einer Verdopplung des einen Werts verdoppelt sich auch der andere Wert.
  • Bei einer Halbierung des einen Werts halbiert sich auch der andere Wert.

  Hier siehst du eine Tabelle zu einer proportionalen Zuordnung.

  Lösung

  Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert einer Größe der $n$-fache Wert der anderen Größe zugeordnet wird. Das heißt:

  • Bei einer Verdopplung des einen Werts verdoppelt sich auch der andere Wert.
  • Bei einer Halbierung des einen Werts halbiert sich auch der andere Wert.

  Wir berechnen in unserem Beispiel zunächst die Anzahl der Gehirne für einen Tag und rechnen dann ausgehend von diesem Wertepaar die übrigen Paare:

  • $3$ Tage $\quad\Longleftrightarrow\quad$ $6$ Gehirne

  Wir teilen beide Seiten durch $3$:

  • $3$ Tage $:\color{#669900}{3}=1$ Tag $\quad\Longleftrightarrow\quad$ $6$ Gehirne $:\color{#669900}{3}=2$ Gehirne

  Nun können wir mit der Zuordnung $1$ Tag $\hat{=}$ $2$ Gehirne die übrigen Werte berechnen:

  $\begin{array}{l|l} \text{Tage} & \text{Gehirne} \\ \hline 1 & 2 \\ 1\cdot \color{#669900}{2}=2 & 2\cdot \color{#669900}{2}=4 \\ 1\cdot \color{#669900}{4}=4 & 2\cdot \color{#669900}{4}=8 \\ 1\cdot \color{#669900}{5}=5 & 2\cdot \color{#669900}{5}=10 \end{array}$

• Bestimme den Proportionalitätsfaktor $k$.

  Tipps

  Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung ist allgemein wie folgt definiert:

  • $y=kx$

  Bei einer proportionalen Zuordnung gilt:

  Wenn sich die eine Größe verkleinert, verkleinert sich auch die andere Größe. Die Veränderung läuft gleichmäßig ab. Es gilt also:

  • Halbieren wir die eine Größe, halbiert sich auch die andere Größe.

  Lösung

  Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert von $x$ der $n$-fache Wert von $y$ zugeordnet wird. Daher gilt bei einer proportionalen Zuordnung:

  • Je mehr, desto mehr.
  • Je weniger, desto weniger.

  Das heißt also:

  • Bei einer Verdopplung des $x$-Werts verdoppelt sich der $y$-Wert.
  • Bei einer Halbierung des $x$-Werts halbiert sich der $y$-Wert.

  Eine daraus folgende besondere Eigenschaft ist die Quotientengleichheit von $\frac yx$. Das heißt, dass der Quotient $y$ geteilt durch $x$ für alle Wertepaare gleich groß ist. Man bezeichnet diesen Quotienten als Proportionalitätsfaktor $k$. Die Wertepaare heißen dann quotientengleich.

  Nun betrachten wir das Beispiel:

  Da die Zombies als Nahrung $6$ Gehirne ($y$) für $3$ Tage ($x$) benötigen und es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung handelt, beträgt der Proportionalitätsfaktor:

  • $k=\frac yx=\frac 63=2$

  Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung ist allgemein wie folgt definiert: $~y=kx$

  Damit kann man folgende Gleichung für die Berechnung der Anzahl der Gehirne ($y$) in Abhängigkeit von den Tagen ($x$) aufstellen:

  • $y=2x$

• Bestimme die Strecken ausgehend von einer proportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Du kannst die Wertepaare in einer Tabelle berechnen:

  $\begin{array}{c|c} \text{Stunden} & \text{Strecke in km} \\ \hline 4 & 160 \end{array}$

  Du musst nun links und rechts jeweils mit demselben Faktor multiplizieren, um die gewünschten Stunden und die zugehörigen Strecken zu erhalten.

  Du kannst auch eine Gleichung der Form $y=kx$ aufstellen. Dabei steht $x$ für die Stunden, $y$ für die Strecke und $k$ ist der Proportionalitätsfaktor $\frac yx$.

  Lösung

  Im Folgenden betrachten wir eine proportionale Zuordnung. Dabei gehen wir von folgendem Wertepaar aus:

  • $4$ Stunden $\rightarrow$ $160$ Kilometer

  Für die Berechnung der weiteren Strecken ist es sinnvoll, zunächst die Strecke für eine Stunde zu bestimmen. Dazu teilen wir beide Zahlen durch $4$. Es folgt dann:

  • $1$ Stunde $\rightarrow$ $40$ Kilometer

  Nun kannst du dieses Wertepaar mit $2$ multiplizieren und erhältst so die Strecke für zwei Stunden. Genauso gehst du auch bei den anderen Zeiten vor. So erhältst du folgende Strecken:

  $\begin{array}{cc|c} & \text{Zeit in Stunden} & \text{Strecke in Kilometern} \\ \hline & 2 & 80 \\ & 3 & 120 \\ & 6 & 240 \\ & 8 & 320 \end{array}$

  Du kannst aber auch die Gleichung $y=kx$ aufstellen, dabei ist $k=\frac yx$ der Proportionalitätsfaktor. Es folgt:

  • $y=\frac {160}{4}x=40x$

  Nun kannst du die $x$-Werte $2$, $3$, $6$ und $8$ einsetzen und die zugehörigen $y$-Werte berechnen.

• Prüfe, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

  Tipps

  Ist eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor.

  Du kannst Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem du wie folgt die Quotienten der Wertepaare bildest:

  $\begin{array}{ccc|c} x && y & \frac yx \\ \hline 0,1 & \rightarrow & 4 & \frac 4{0,1}=40 \\ 0,3 & \rightarrow & 12 & \frac {12}{0,3}=40\\ 0,2 & \rightarrow & 8 & \frac 8{0,2}=40 \end{array}$

  Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, da Quotientengleichheit vorliegt.

  Lösung

  Ist eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor. Wir können Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem wir die Quotienten der Wertepaare bilden. So erhalten wir folgende Lösungen:

  Beispiel 1

  $\begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 4 & \rightarrow & 9 & \frac 9{4}=2,25 \\ 3 & \rightarrow & 8 & \frac 8{3}=2,\overline{6} \\ 2 & \rightarrow & 7 & \frac 7{2}=3,5 \end{array}$

  Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.

  Beispiel 2

  $\begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 3 & \rightarrow & 3 & \frac 3{3}=1 \\ 2 & \rightarrow & 2 & \frac {2}{2}=1\\ 1 & \rightarrow & 1 & \frac 3{3}=1 \end{array}$

  Da hier Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.

  Beispiel 3

  $\begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 6 & \rightarrow & 3 & \frac 3{6}=\frac 12 \\ 4 & \rightarrow & 2 & \frac 24=\frac 12 \\ 2 & \rightarrow & 1 & \frac 12 \end{array}$

  Da wieder Quotientengleichheit vorliegt, ist auch dies eine proportionale Zuordnung.

  Beispiel 4

  $\begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 1 & \rightarrow & 3 & \frac 31=3 \\ 2 & \rightarrow & 2 & \frac 22=1 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13=\frac 13 \end{array}$

  Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.

  Beispiel 5

  $\begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 9 & \rightarrow & 3 & \frac 3{9}=\frac 13 \\ 6 & \rightarrow & 2 & \frac 26=\frac 13 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13 \end{array}$

  Hier liegt noch einmal Quotientengleichheit vor, und damit auch eine proportionale Zuordnung.

• Erstelle den Graphen der proportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Koordinatenursprung.

  Du kannst mit dem Proportionalitätsfaktor $k=\frac yx$ eine Gleichung der Form $y=kx$ aufstellen und für verschiedene $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte bestimmen.

  Lösung

  Wir können mit dem Proportionalitätsfaktor $k=\frac yx$ eine Gleichung der Form $y=kx$ aufstellen und für verschiedene $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte bestimmen. Dann können wir unsere Wertepaare mit den Punkten der gegebenen Geraden vergleichen.

  Allerdings genügt es für das Zeichnen einer Geraden schon, nur zwei Punkte zu kennen. Ein Punkt ist mit $x=3$ und $y=6$ bereits gegeben. Aber wir kennen noch einen weiteren Punkt, nämlich den Koordinatenursprung, denn der Graph jeder proportionalen Funktion verläuft durch den Punkt $(0\vert 0)$.

  Damit sind die Geraden 1, 4 und 5 korrekt. Sie unterscheiden sich nur in der Skalierung ihrer Achsen.

• Ermittle den gesuchten $x$-Wert.

  Tipps

  Folgende Wertetabelle gibt einige Wertepaare zu Maries Taschen-Geschäft an.

  $\begin{array}{c|c} \text{Anzahl verkaufter} & \text{Einkommen} \\ \text{Taschen} & \\ \hline 0 & 0,00\ € \\ 1 & 15,50\ € \\ 2 & 31\ € \end{array}$

  Der Proportionalitätsfaktor einer proportionalen Zuordnung ist wie folgt definiert:

  • $k=yx$

  Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet: $~y=kx$

  Lösung

  Aus der Aufgabenstellung kennen wir das Wertepaar $(1\vert 15,5)$. Mit diesem können wir den Proportionalitätsfaktor $k$ der proportionalen Zuordnung wie folgt berechnen:

  • $k=\frac{y}{x}=\frac{15,5}{1}=15,5$

  Das Einkommen $y$ in Abhängigkeit von der Anzahl verkaufter Taschen $x$ kann mit folgender Gleichung berechnet werden:

  • $y=15,5\cdot x$

  Diese Gleichung kann mittels Äquivalenzumformung nach der Anzahl verkaufter Taschen $x$ umgestellt werden. Es folgt:

  • $x=\frac{y}{15,5}$

  Für ein Einkommen von $124\ €$ liefert die Gleichung dann folgenden $x$-Wert:

  • $x=\frac{124}{15,5}=8$

  Demnach muss Marie mindestens $8$ Taschen verkaufen, um sich die Jacke leisten zu können.