Zuordnungen – Erklärung und Darstellung

Zuordnungen – Erklärung und Darstellung Übung

• Gib die Definition der verschiedenen Arten von Zuordnungen an.

  Tipps

  Wenn die Anzahl der Bücher den Bücherkategorien zugeordnet werden, spricht man von einer eindeutigen Zuordnung.

  Wenn die ISBN-Nummer von Büchern dem einzelnen Buch zugeordnet werden, dann ist das eine eineindeutige Zuordnung.

  Lösung

  Bei einer Zuordnung werden jedem Ausgangswert Werte zugeordnet. Diese nennen wir zugeordnete Werte. Eine Zuordnung ordnet also jedem Ausgangswert einen oder mehrere Werte zu.

  Wenn dabei von mindestens einem Ausgangswert mehr als ein Pfeil ausgeht, dann sprechen wir von einer mehrdeutigen Zuordnung.
  Wollen wir zum Beispiel den Bücherkategorien die Bildarten zuordnen, die darin enthalten sind, dann erhalten wir solch eine mehrdeutige Zuordnung. Denn hier werden zum Beispiel dem Ausgangswert "Sachbücher" mehrere Bildarten zugeordnet.

  Wenn von jedem Ausgangswert nur ein Pfeil ausgeht, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung. Dabei kann es durchaus sein, dass ein zugeordneter Wert von mehreren Pfeilen getroffen wird. Das ist hier der Fall, wenn Margaretha jeder Kategorien die Anzahl der Bücher zuordnet.

  Wenn jedoch alle Ausgangswerte auch immer verschiedene zugeordnete Werte haben, sprechen wir von einer eineindeutigen Zuordnung. Zum Beispiel hat jedes Buch in Margarethas Bücherregal eine eindeutige ISBN-Nummer.

• Nenne Eigenschaften der Zuordnungen.

  Tipps

  Stelle den Sachverhalt als Pfeildiagramm dar. Zum Beispiel können von Abenteuerbüchern und Comics jeweils 7 Bücher vorhanden sein.

  Wenn von jedem Ausgangswert nur ein Pfeil ausgeht, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung. Das schließt nicht aus, dass bei einem Element rechts mehrere Pfeile ankommen.

  Lösung

  Zuordnungen können mehrdeutig, eindeutig oder eineindeutig sein.

  Das kann man besonders gut anhand eines Pfeildiagramms erkennen.

  Wenn von jedem Ausgangswert nur jeweils ein Pfeil ausgeht, ist die Zuordnung schon mindestens eindeutig.

  Das Schaubild, das die Anzahl der Bücher den Kategorien zuordnet, stellt eine eindeutige Zuordnung dar. Von links geht immer nur ein Pfeil aus, rechts können jedoch mehrere Pfeile ankommen. Zum Beispiel sind von Abenteuerbüchern und Sachbüchern jeweils $7$ Bücher vorhanden.

  Die Aussage 'Es handelt sich um eine mehrdeutige Zuordnung, weil zum Beispiel den Kategorien Abenteuer und Sachbücher jeweils die Anzahl $7$ zugeordnet wird.' ist falsch. Bei einer mehrdeutigen Zuordnung gehen von einer Kategorie mehrere Pfeile aus, das ist hier nicht der Fall.

  Die Aussage 'Die Zuordnung ist eineindeutig, da nur der Kategorie Lexika genau einmal die Anzahl $2$ zugeordnet wird.' ist ebenfalls falsch. Die Zahl $2$ wird zwar nur einmal getroffen, es gibt in der Zuordnung aber Werte, die mehrfach getroffen werden. Daher ist die Zuordnung als Ganzes nicht eineindeutig.

• Untersuche, um welche Art von Zuordnung es sich handelt.

  Tipps

  Überprüfe, wie viel Pfeile vom Ausgangswert zu dem zugeordneten Wert ausgehen und überlege, welche Art von Zuordnung es sein könnte.

  Gehen von mindestens einem Ausgangswert mehrere Pfeile aus, ist die Zuordnung mehrdeutig. Wenn von jedem Ausgangswert nur jeweils ein Pfeil ausgeht, ist die Zuordnung schon mindestens eindeutig. Wenn dann auch noch kein zugeordneter Wert doppelt getroffen wird, ist die Zuordnung eineindeutig.

  Ein Beispiel für mehrdeutige Zuordnung ist Buchkategorien zu Bildarten. Ein Beispiel für eindeutige Zuordnung ist Buchkategorie zu Anzahl der Bücher. Ein Beispiel für eineindeutige Zuordnung ist ISBN-Nummer zu Buch.

  Lösung

  Zuordnungen können mehrdeutig, eindeutig oder eineindeutig sein.

  • Gehen von mindestens einem Ausgangswert mehrere Pfeile aus, ist die Zuordnung mehrdeutig.

  Mehrdeutige Zuordnungen sind:

  ${1)}$ Autor zu Buch (Ein Autor kann mehrere Bücher schreiben.)
  ${2)}$ Name und Person (Ein Name kann von verschiedenen Personen getragen werden.)
  ${3)}$ Klasse und Lehrer (Eine Klasse hat mehrere Lehrer.)

  • Wenn von jedem Ausgangswert nur jeweils ein Pfeil ausgeht, ist die Zuordnung schon mindestens eindeutig.

  Eindeutige Zuordnungen sind:

  ${1)}$ Person zu Geburtsort (Eine Person hat genau an einem Tag Geburtstag und hat auch nur einen Geburtsort, mehrere Personen können am gleichen Tag und Ort geboren sein.)
  ${2)}$ Buch zu Anzahl der Seiten (Ein Buch hat genau eine Anzahl von Seiten, mehrere Bücher können gleich viele Seiten haben.)
  ${3)}$ Buchseite zu Anzahl der Buchstaben (Jede Seite im Buch hat genau eine Anzahl von Buchstaben, mehrere Seiten können gleich viele Buchstaben haben.)

  • Wenn dann auch noch kein zugeordneter Wert doppelt getroffen wird, ist die Zuordnung eineindeutig.

  Eineindeutige Zuordnungen sind:

  ${1)}$ Schüler zu Zeugnis (Jeder Schüler hat genau ein Zeugnis, das nur zu diesem Schüler gehört.)
  ${2)}$ Person zu Personalausweis (Jede Person hat genau ein Personalausweis, der nur zu dieser Person gehört.)
  ${3)}$ Buch zu ISBN-Nummer (Jedes Buch hat genau eine ISBN-Nummer, die nur zu diesem Buch gehört.)

• Überprüfe die Aussagen über Zuordnungen.

  Tipps

  Ein Beispiel für eine mehrdeutige Zuordnung ist ein Lehrer mit seinen Klassen. Jeder Lehrer hat mehrere Klassen und auch die Klasse hat mehrere Lehrer.

  Ein Beispiel für eine eindeutige Zuordnung sind Brötchen und ihre zugehörigen Preise. Jedes Brötchen hat seinen Preis (Pfeil von links), aber ein Preis kann zu mehreren Brötchen zugeordnet werden.

  Ein Beispiel für eine eineindeutige Zuordnung ist der Personalausweis und die jeweilige Person. Jede Person hat nur ein Personalausweis und er gilt für keine weitere Person.

  Lösung

  Diese Aussagen sind korrekt:

  Bei einer Zuordnung wird jedem Ausgangswert mindestens ein Wert zugeordnet.
  Zum Beispiel Person zu Lieblingsfarbe: jede Person hat mindestens eine Lieblingsfarbe.

  Bei einer eindeutigen Zuordnung kann mehreren Ausgangswerten derselbe Wert zugeordnet werden.
  Zum Beispiel Person zu Geburtstag: jede Person hat einen eindeutigen Geburtstag und an einem Tag können mehrere Personen Geburtstag haben.

  Bei einer eineindeutigen Zuordnung können Wertepaare gebildet und in einem Koordinatensystem dargestellt werden.
  Zum Beispiel Zeit zu Wegstrecke: die Zeit wird auf einer, die Wegstrecke auf der anderen Achse abgetragen.

  Diese Aussagen sind nicht korrekt:

  Bei einer eineindeutigen Zuordnung gehen von jedem Ausgangswert zwei Pfeile aus und jeder zugeordnete Wert wird einmal oder zweimal getroffen.
  Richtig ist: Bei einer eineindeutigen Zuordnung geht von jedem Ausgangswert nur genau ein Pfeil aus und jeder zugeordnete Wert wird höchstens einmal getroffen.

  Bei einer mehrdeutigen Zuordnung wird jedem Wert mindestens zwei Werte zugeordnet.
  Richtig ist: Gehen von mindestens einem Ausgangswert mehrere Pfeile aus, ist die Zuordnung mehrdeutig. Es reicht also aus, dass einem Wert mindestens zwei Werte zugeordnet werden, damit wir von einer mehrdeutigen Zuordnung sprechen.

• Nenne Darstellungsformen von Zuordnungen.

  Tipps

  Bei einer Zuordnung wird jedem Ausgangswert mindestens ein Wert zugeordnet.

  Durch eine graphische Darstellung kann eine Zuordnung übersichtlich veranschaulicht werden.

  Lösung

  Zuordnungen können verschiedene Darstellungsformen haben. Dazu gehören:

  • Tabellen: Die zugeordneten Werte werden in einer Spalte neben oder in einer Zeile unter den Ausgangswerten notiert.
  • Text: Wichtige Informationen werden in einem Text notiert.
  • Säulendiagramm: Jede Kategorie bekommt eine eigene Säule und kann so anschaulich dargestellt werden.
  • Pfeildiagramm: Hier gibt es zwei Mengen: die Elemente der Menge mit den Ausgangswerten werden durch Pfeile mit den zugeordneten Werten in der anderen Menge verknüpft.
  • Graph: Wertepaare aus Ausgangswert und zugeordnetem Wert werden in ein Koordinatensystem eingetragen.

  Zuordnungen können nicht dargestellt werden in...

  • Bruch
  • Zahlenstrahl
  • Quader

• Bestimme die Zuordnungen und ihre Darstellungsform.

  Tipps

  Überprüfe zunächst, wie viele und welche Werte in den Zuordnungen angegeben sind und vergleiche die Darstellungen.

  Lese ein Wertepaar heraus und schaue, wo es in den unteren Darstellungen vorkommt.

  Lösung

  Eine Zuordnung kann eindeutig, mehrdeutig oder eineindeutig sein. Dargestellt werden können sie als Tabelle, in Textform, als Säulen- oder Pfeildiagramm oder als Graph.

  Welche Eigenschaft eine Zuordnung hat, kann man besonders gut anhand eines Pfeildiagramms erkennen.

  • Gehen von mindestens einem Ausgangswert mehrere Pfeile aus, ist die Zuordnung mehrdeutig.
  • Wenn von jedem Ausgangswert nur jeweils ein Pfeil ausgeht, ist die Zuordnung schon mindestens eindeutig.
  • Wenn dann auch noch kein zugeordneter Wert doppelt getroffen wird, ist die Zuordnung eineindeutig.

  In der Aufgabe "Gefahrener Kilometer $\rightarrow$ Benzinverbrauch" wird eine eineindeutige Zuordnung dargestellt und sie wird mit einem Graph veranschaulicht. Die Punkte entsprechen dabei den Wertepaaren aus der Tabelle, zum Beispiel: $(80 \vert 5)$, $(160 \vert 10)$, ...

  In der Aufgabe "Name $\rightarrow$ Lieblingsfarbe" wird eine eindeutige Zuordnung dargestellt und sie wird mit einem Mengendiagramm mit Pfeilen veranschaulicht. In der linken Menge sind $5$ (Namen) und in der rechten Menge sind $4$ (Lieblingsfarben) Punkte enthalten und bei einem Punkt (blau) kommen zwei Pfeile an.

  In der Aufgabe mit den markierten Punkten im Koordinatensystem wird eine mehrdeutige Zuordnung dargestellt. Das Pfeildiagramm mit den jeweils $3$ Punkten veranschaulicht diese Zuordnung. Vom ersten und zweiten Punkt gehen jeweils drei Pfeile aus, beim dritten Punkt ist es nur ein Pfeil. Dadurch wird jeder Punkt in der rechten Menge von mehreren Pfeilen getroffen.

  In der Aufgabe "Anzahl Kinder $\rightarrow$ Schuhgröße" wird eine eindeutige Zuordnung dargestellt und in einem Säulendiagramm veranschaulicht. Man kann hier gut die Anzahl der Kinder mit der jeweiligen Schuhgröße anhand des Koordinatensystems ablesen.