Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Lösungsstrategie

Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Lösungsstrategie Übung

• Gib die Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion wieder.

  Tipps

  Eine Extremstelle ist ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt. An dieser Stelle liegt eine waagerechte Tangente vor. Die Steigung ist also $0$.

  Wenn du einen Funktionswert berechnen möchtest, setzt du einen Wert für $x$ in die Funktionsgleichung ein.

  Dies kannst du hier für $x=-2$ sehen.

  Achte darauf, negative Zahlen beim Potenzieren zu klammern.

  In einem Wendepunkt hat der Graph einen Krümmungswechsel.

  Die zweite Ableitung steht für die Krümmung.

  Lösung

  Was heißt eigentlich rekonstruieren? Wenn eine ganzrationale Funktion rekonstruiert werden soll, dann muss man sich zunächst einige Eigenschaften einer solchen Funktion klar machen.

  Bei einer Kurvendiskussion ist eine Funktionsgleichung vorgegeben und es sollen charakteristische Punkte des Funktionsgraphen bestimmt werden. Schließlich soll der Funktionsgraph gezeichnet werden.

  Bei einer Rekonstruktion ist dies genau umgekehrt: Es sind charakteristische Punkte (oft in Form einer Skizze) vorgegeben. Gesucht ist dann die Funktionsgleichung.

  Ganz allgemein gilt, dass man zur Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion vom Grad $n$ genau $n+1$ Angaben benötigt. Damit stellt man ein Gleichungssystem auf und löst dieses.

  Hierfür sollte man Folgendes wissen:

  • Wenn man zu einem $x$ den Funktionswert berechnen möchte, setzt man dieses $x$ in die Funktionsgleichung ein. Zum Beispiel ist für $f(x)=x^2+3x$ der Funktionswert für $x=-1$ gegeben durch $f(-1)=(-1)^2+3\cdot (-1)=1-3=-2$. So erhält man den Punkt $(-1|-2)$ des Funktionsgraphen.
  • Eine Nullstelle einer Funktion erhält man durch Lösen der Gleichung $f'(x)=0$.
  • Liegt an einer Stelle eine Extremstelle vor, so gibt es dort eine waagerechte Tangente. Das bedeutet, es gilt $f'(x)=0$ – die Steigung ist $0$.
  • Liegt an einer Stelle eine Wendestelle vor, so gibt es dort einen Krümmungswechsel. Das bedeutet, es gilt $f''(x)=0$.

• Stelle das Gleichungssystem zur Rekonstruktion der Funktion auf.

  Tipps

  An einer Extremstelle ist die erste Ableitung gleich $0$.

  Da der Hochpunkt bekannt ist, weißt du insbesondere, dass

  $f(-1)=-1$ ist.

  Setze $-1$ in der Funktionsgleichung ein.

  Für den y-Achsenabschnitt gilt $x=0$.

  Es ist $f(0)=d$.

  Führe eine Probe mit der gefundenen Funktion durch.

  Lösung

  Zunächst ist die gesuchte Funktion kubisch. Das bedeutet, dass sie den Grad $3$ hat. Dies erkennt man zum einen an dem Beginn der Funktion $f(x)=2x^3...$ sowie an deren Verlauf.

  Allgemein lautet eine kubische Funktion

  $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

  Hier ist $a=2$ bereits bekannt. Es werden somit noch drei Angaben benötigt.

  1. Ein Punkt des Graphen ist bekannt $(-1|-1)$. Somit gilt $f(-1)=-1$.
  2. Dieser Punkt ist ein Hochpunkt, also ein Extrempunkt. Es liegt also eine waagerechte Tangente vor mit $f'(-1)=0$.
  3. Der Graph schneidet die y-Achse bei $-3$.

  Da ein Hochpunkt bekannt ist, muss noch die erste Ableitung berechnet werden:

  • $f(x)=2x^3+bx^2+cx+d$
  • $f'(x)=6x^2+2bx+c$

  1. $f(-1)=-1$ führt zu $-2+b-c+d=-1$.
  2. $f'(-1)=0$ führt zu $6-2b+c=0$.
  3. $y=-3$ führt mit $x=0$ zu $d=-3$.

  Nun kann dieses $d$ in den beiden Gleichungen aus 1. und 2. eingesetzt werden. Diese werden dann umgeformt. Zunächst die 1. Gleichung:

  $\begin{array}{rclll} -2+b-c-3&=&-1&|&+5\\ b-c&=&4 \end{array}$

  Dann die 2. Gleichung:

  $\begin{array}{rclll} 6-2b+c&=&0&|&-6\\ -2b+c&=&-6 \end{array}$

  Zuletzt werden diese beiden Gleichungen addiert und man erhält

  $-b=-2$. Multiplikation mit $-1$ führt zu $b=2$.

  Setzt man diesen Wert für $b$ in eine der beiden letzten Gleichungen ein, erhält man $2-c=4$. Addition von $c$ und Subtraktion von $4$ führt zu $c=-2$.

  Die gesuchte Gleichung lautet also $f(x)=2x^3+2x^2-2x-3$.

• Leite das Gleichungssystem der kubischen Funktion her.

  Tipps

  Hier siehst du die Ableitung der Funktion.

  Bei einer Extremstelle ist die 1. Ableitung gleich $0$.

  Bei einer Nullstelle ist die Funktion gleich $0$.

  Die Stelle, an welcher eine ganzrationale Funktion die y-Achse schneidet, ist immer der Term, in welchem kein $x$ vorkommt.

  Lösung

  Hier ist die allgemeine Form einer kubischen Funktionsgleichung zu sehen sowie deren Ableitung.

  Gesucht sind die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$.

  Das bedeutet, dass man vier Bedingungen benötigt.

  1. Es liegt eine Extremstelle bei $x=1$ vor. Man setzt $x=1$ in die erste Ableitung ein und diese muss $0$ sein: $3a+2b+c=0$.
  2. $x=1$ ist auch eine Nullstelle. Nun wird $x=1$ in die Funktionsgleichung eingesetzt und es muss $0$ herauskommen: $a+b+c+d=0$.
  3. $x=-1$ ist ebenfalls eine Nullstelle. Analog wird $x=-1$ in die Funktionsgleichung eingesetzt und es muss $0$ herauskommen: $-a+b-c+d=0$. Wichtig ist zu beachten, dass $(-1)^n$ für ungerade $n$ immer $-1$ ergibt.
  4. Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse bei $y=1$. Dies führt zu $f(0)=1$, also $d=1$.

  Übrigens: Ganz allgemein ist eine ganzrationale Funktion gegeben durch

  $f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$.

  $a_0$ ist immer die Stelle, an welcher der Graph der Funktion die y-Achse schneidet.

• Ermittle die Funktionsgleichung durch Lösen des Gleichungssystems.

  Tipps

  Forme jede der Gleichungen so um, dass auf der linken Seite nur die unbekannten Koeffizienten stehen und auf der rechten Seite Konstanten.

  Wenn in zwei Gleichungen die Unbekannten mit gemeinsamen Faktoren, aber verschiedenen Vorzeichen auftauchen, kannst du diese addieren.

  Ein Beispiel siehst du hier.

  Führe eine Probe durch.

  • $x=1$ ist Extrem- sowie Nullstelle von $f(x)$.
  • $x=-1$ ist Nullstelle von $f(x)$.

  Lösung

  Da der Wert für $d$ bereits bekannt ist, wird dieser in die Gleichung (II) sowie (III) eingesetzt und man erhält nach Subtraktion von $-1$ in beiden Gleichungen:

  • (II)' $a+b+c=-1$
  • (III)' $-a+b-c=-1$.

  Nun können diese beiden Gleichungen addiert werden. So kann der Wert für $b$ berechnet werden:

  $\begin{array}{rclll} 2b&=&-2&|&:2\\ b&=&-1. \end{array}$.

  Dieses $b$ wird in die Gleichung (III)' sowie (I) eingesetzt:

  • (I)' $3a-2+c=0$, was äquivalent ist zu $3a+c=2$ sowie
  • (III)'' $-a-1-c+1=0$; dies ist wiederum äquivalent zu $-a-c=0$.

  Nun werden die letzten beiden Gleichungen addiert und man erhält

  $2a=2$.

  Division durch $2$ führt zu $a=1$. Wenn man dieses $a$ zum Beispiel in (III)'' einsetzt, gelangt man zu $-1-c=0$. Addition von $c$ führt zu $c=-1$.

  Somit sind alle Koeffizienten bekannt und man kann die Funktionsgleichung aufstellen:

  $f(x)=x^3-x^2-x+1$.

• Beschreibe den Weg zur Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion.

  Tipps

  Eine quadratische Funktion lautet allgemein

  $f(x)=ax^2+bx+c$.

  Gesucht sind also die drei (!) Koeffizienten $a$, $b$ und $c$.

  Beachte:

  • Für Nullstellen ist die Funktion $f(x)=0$.
  • Für Extremstellen ist die erste Ableitung $f'(x)=0$.
  • Für Wendestellen ist die zweite Ableitung $f''(x)=0$.

  Schau dir folgendes Beispiel an: $f(x)=ax+b$.

  Bekannt sind die Punkte $(3|0)$ sowie $(0|3)$. Damit erhältst du

  • $3a+b=0$
  • $b=3$.

  Lösung

  Der folgende Weg hilft beim Rekonstruieren von ganzrationalen Funktionen weiter:

  1. Es werden Bedingungen formuliert mit Hilfe der Funktion $f(x)$ sowie den Ableitungen $f'(x)$ und $f''(x)$.
  2. Für Funktionen vom Grad $n$ werden immer $n+1$ Bedingungen benötigt. Mit Hilfe dieser Bedingungen wird ein Gleichungssystem aufgestellt.
  3. Dieses Gleichungssystem wird gelöst. Somit ergeben sich die Koeffizienten der gesuchten Funktion und damit die Funktionsgleichung.
  4. Zur Kontrolle kann man eine Probe durchführen, indem ein Punkt (oder mehrere) in die Funktionsgleichung eingesetzt wird.

• Stelle die kubische Funktionsgleichung auf.

  Tipps

  Beachte: Du benötigst vier Bedingen. Jeder der beiden gegebenen Punkte ist ein Extrempunkt und liefert somit zwei Bedingungen.

  Sei $E(a|b)$ ein Extrempunkt, so erhältst du die Bedingungen

  • $f(a)=b$ sowie
  • $f'(a)=0$.

  Du erhältst das Gleichungssystem.

  • (I) $a+b+c+d=5$
  • (II) $3a+2b+c=0$
  • (III) $27a+9b+3c+d=1$
  • (IV) $27a+6b+c=0$

  Subtrahiere von der Gleichung (III) die Gleichung (I).

  Nun hast du drei Gleichungen in zwei Unbekannten.

  • (II) $3a+2b+c=0$
  • (IV) $27a+6b+c=0$
  • (V) $13a+4b+c=-2$

  Eliminiere nun $c$.

  Lösung

  Die gesuchte Funktion ist kubisch. Das bedeutet

  $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

  Die Ableitung dieser Funktion ist gegeben durch

  $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.

  Es sind zwei Extremstellen bekannt: Der Hohe Euler $E(1|5)$ und das Gauß-Tal $G(3|1)$. Die Art des Extremums liefert keine weitere Bedingung für eine Rekonstruktionsaufgabe.

  Der Hohe Euler führt zu den Gleichungen

  • $f(1)=5$ $\rightarrow$ (I) $a+b+c+d=5$ und
  • $f'(1)=0$ $\rightarrow$ (II) $3a+2b+c=0$.

  Durch Gauß-Tal gelangt man zu den Gleichungen

  • $f(3)=1$ $\rightarrow$ (III) $27a+9b+3c+d=1$ sowie
  • $f'(3)=0$ $\rightarrow$ (IV) $27a+6b+c=0$.

  Da in den beiden Gleichungen (II) und (IV) kein $d$ vorkommt, ist es sinnvoll auch die beiden verbleibenden Gleichungen so zusammenzufassen, dass kein $d$ mehr vorkommt. Hierfür wird von der (III) die (I) subtrahiert. Dies führt zu $26a+8b+2c=-4$. Division durch $2$ ergibt

  (V) $13a+4b+c=-2$.

  Nun wird $c$ eliminiert:

  • (IV) $-$ (II) führt zu $24a+4b=0$ oder, nach Division durch $4$, zu
  • (VI) $6a+b=0$.
  • (V) $-$ (II) führt zu $10a+2b=-2$. Division durch $2$ liefert
  • (VII) $5a+b=-1$.

  Die Gleichungen (VI) und (VII) beinhalten nur noch die Unbekannten $a$ und $b$. Indem man die beiden Gleichungen subtrahiert, eliminiert man $b$ zu $a=1$.

  Nun wird (werden) die jeweils gefundene(n) Variable(n) in den Gleichungen eingesetzt:

  1. $a=1$ in (VII) führt zu $5+b=-1$. Subtraktion von $5$ resultiert in $b=-6$.
  2. $a=1$ und $b=-6$ in (II): $3-12+c=0$. Durch Addition von $9$ gelangt man zu $c=9$.
  3. $a=1$, $b=-6$ und $c=9$ in (I) $1-6+9+d=5$. Es wird $4$ subtrahiert und man erhält $d=1$.

  Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit

  $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$.