Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Rutsche

Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Rutsche Übung

• Nenne die Bedingungen für eine Funktion dritten Grades.

  Tipps

  Eine Funktion n-ten Grades benötigt immer n+1 Bedingungen.

  Lokale Maxima und Minima erkennt man daran, dass an den Extremstellen die Ableitung Null ist.

  Der Hoch- und Tiefpunkt sind mit ihren Koordinaten angegeben. Das bedeutet, dass wir durch Einsetzen der x-Werte in die Funktion die y-Werte erhalten müssen.

  Lösung

  Welche Schlüsse sich aus den Angaben ziehen lassen, kann man hier sehr gut erkennen.

  Der Hoch- und Tiefpunkt sind mit ihren Koordinaten angegeben. Das bedeutet, dass wir durch Einsetzen der x-Werte in die Funktion die y-Werte erhalten müssen.

  Für die Punkte $(0|5)$ und $(5|0)$ ergeben sich folgende Bedingungen:

  • $f(0)=5$

  • $f(5)=0$

  Da für jede Funktion n-ten Grades immer n+1 Bedingungen benötigt werden, fehlen uns noch zwei weitere. Diese finden wir durch die erste Ableitung von $f$.

  An jeder Stelle, die eine Extremstelle ist, muss die erste Ableitung Null sein. Da wir unsere Extrema kennen, erhalten wir als weitere Bedingungen:

  • $f'(0)=0$

  • $f'(5)=0$

• Bestimme die fehlenden Parameter der Funktion.

  Tipps

  Du musst das folgende Gleichungssystem lösen:

  $\begin{array}{cccccc} 125a&+25b&+5c&+d&=&0 \\ 75a&+10b&+c&&=&0 \end{array}$

  Lösung

  Ausgangspunkt ist die allgemeine Form der Funktion $f$ und ihrer Ableitung $f'$:

  $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$

  $f'(x)=3\cdot a\cdot x^2 + 2\cdot b \cdot x + c$

  Gehen wir die Bedingungen der Reihe nach durch:

  Die erste Bedingung $f(0)=5$ liefert:

  $f(0)= a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c\cdot 0 + d=5$

  Übrig bleibt $d=5$. Somit haben wir schon einen Parameter.

  Die zweite Bedingung besagt, dass $f(5)=0$ gilt:

  $f(5)=a\cdot 5^3 + b\cdot 5^2 + c\cdot 5 + d=0$

  Daraus ergibt sich:

  $125a + 25b + 5c + d = 0$

  Die dritte Bedingung $f'(0)=0$ liefert

  $f'(0)=3a \cdot 0^2 + 2b\cdot 0 + c=0$

  Übrig bleibt $c=0$, unser nächster Parameter.

  Die vierte Bedingung besagt, dass $f'(5)=0$ gilt:

  $f'(5)=3\cdot a\cdot 5^2 + 2\cdot b \cdot 5 + c$

  Wir erhalten:

  $75a+10b+c=0$

  Wir haben also zwei Parameter direkt gefunden und noch zwei Bedingungen in Gleichungsform. Aus diesen beiden bilden wir nun folgendes Gleichungssystem:

  $\begin{array}{cccccc} 125a&+25b&+5c&+d&=&0 \\ 75a&+10b&+c&&=&0 \end{array}$

  Wir setzen nun die Werte für $c$ und $d$ ein, die wir bereits kennen. Danach sieht das Gleichungssystem so aus:

  $\begin{array}{ccccc} 125a&+25b&+5&=&0 \\ 75a&+10b&&=&0 \end{array}$

  Dieses kannst du nun auf beliebige Art und Weise lösen (zum Beispiel durch Einsetzen einer Zeile in die andere).

  Am Ende erhältst du folgende Ergebnisse:

  $a=0,08$ und $b=-0,6$

  Die Funktion sieht schließlich so aus:

  $f(x)=0,08x^3 - 0,6x^2 + 5$

• Arbeite die Bedingungen aus den Informationen über $f$ heraus.

  Tipps

  Bei Extremstellen der Funktion besitzt der Ableitungsgraph eine Nullstelle.

  Man erhält die y-Koordinate, wenn man die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzt.

  Lösung

  Zu jedem der zwei Extrempunkte können wir jeweils zwei Bedingungen aufstellen.

  Beginnen wir mit dem Hochpunkt bei $(-1|3)$.

  Hier erhält man die y-Koordinate, wenn man die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzt:

  • $f(-1)=3$

  Darüber hinaus muss der Graph der Ableitungsfunktion an dieser Stelle eine Nullstelle besitzen, da es sich um eine Extremstelle handelt:

  • $f'(-1)=0$

  Genauso verfahren wir beim Tiefpunkt bei $(6|-2)$.

  • $f(6)=-2$

  • $f'(6)=0$

  Und schon haben wir unsere für eine Funktion dritten Grades die benötigten vier Bedingungen aufgestellt.

• Bilde die Funktionsgleichung von $f$.

  Tipps

  Zwei Parameter müssen Null sein.

  Für Extremstellen muss notwendigerweise $f'(x_E)=0$ gelten.

  Bei Wendestellen heißt die Bedingung $f''(x_W)=0$.

  Lösung

  Bilden wir zunächst die ersten drei Ableitungen:

  $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$

  $f'(x)=3\cdot a\cdot x^2 + 2\cdot b\cdot x + c$

  $f''(x)=6\cdot a\cdot x + 2\cdot b$

  Nun sehen wir uns unsere Bedingungen an und wie wir sie formulieren können:

  • Der Wendepunkt im Ursprung liefert $f(0)=0$ und $f''(0)=0$.

  • Die Nullstelle $x=1$ gibt uns die zusätzliche Bedingung $f(1)=0$.

  • Der Wert für Parameter $a$ ist gegeben: $a=3$

  Beginnen wir mit dem Wendepunkt. Da er bei $(0|0)$ liegt, ist dieser Punkt bekannt und muss beim Einsetzen in die Funktionsgleichung herauskommen:

  $f(0)=a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c\cdot 0 + d$

  Damit diese Gleichung $0$ wird, muss gelten: $d=0$

  Betrachten wir nun die Bedingung für den Wendepunkt und seine Bestimmung: Hier muss auch die zweite Ableitung Null ergeben.

  $f''(0)=6\cdot a\cdot 0 + 2 \cdot b$

  Damit diese Gleichung Null wird, muss $b=0$ sein. Damit haben wir gezeigt, dass die Parameter $b$ und $d$ wegfallen und somit auch ihre kompletten Summanden in der Funktionsgleichung:

  $f(x)=a\cdot x^3 + c\cdot x$

  Den Wert für $a$ kennen wir bereits:

  $f(x)=3 \cdot x^3 + c\cdot x$

  Nun sollen wir mit Hilfe der positiven Nullstelle ($x=1$) den letzten Parameter bestimmen. Es muss $f(1)=0$ gelten.

  $\begin{align} 3\cdot 1^3 + c\cdot 1&=0 \\ 3 + c &= 0 &|& -3\\ c&=-3 \end{align}$

  Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:

  $f(x)=3x^3-3x$

• Gib die nötige Anzahl von Bedingungen an.

  Tipps

  Für eine Funktion n-ten Grades sind n+1 Bedingungen nötig, um sie zu rekonstruieren.

  Lösung

  Hierfür gibt es einen Merksatz, den du dir merken oder besser aufschreiben solltest:

  Wenn du eine Funktion n-ten Grades rekonstruieren willst, brauchst du dafür n+1 Bedingungen.

  Das bedeutet für unser Beispiel:

  Wir haben eine Funktion dritten Grades. Deshalb brauchen wir $3+1=4$ Bedingungen, um sie rekonstruieren zu können.

• Ermittle die gesuchten Parameter der Funktionsgleichung.

  Tipps

  Jeder Punkt kann als eine Bedingung angesehen werden - du erhältst ein Gleichungssystem mit vier Zeilen und vier Variablen.

  Dein umgeformtes Gleichungsystem könnte so aussehen:

  Dein umgeformtes Gleichungsystem könnte so aussehen:

  Lösung

  Hier muss man mit keiner Ableitung rechnen, da nur vier verschiedene Punkte bekannt sind, von denen man nicht weiß, ob es sich um Extrem- oder Wendepunkte handelt.

  Betrachten wir eine Funktion dritten Grades $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$, so können wir alle Punkte als Bedingungen verwenden. Das sieht dann für die Punkte $A, B, C$ und $D$ so aus:

  $a\cdot 1^3 + b\cdot 1^2 + c\cdot 1 +d = 4$

  $a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 +d = 2$

  $a\cdot 4^3 + b\cdot 4^2 + c\cdot 4 +d = 4$

  $a\cdot 5^3 + b\cdot 5^2 + c\cdot 5 +d = 20$

  Das können wir in ein Gleichungssystem schreiben:

  $\begin{array}{c|cccccc|} I & a & +b & +c & +d &=& 4 \\ II & 8a & +4b & +2c & +d &=& 2 \\ III & 64a & +16b & +4c & +d &=& 4 \\ IV & 125a & +25b & +5c & +d &=& 20 \end{array}$

  Nun eliminieren wir nacheinander aus verschiedenen Zeilen verschiedene Variablen. Zuerst eliminieren wir alle $d$ in den Zeilen $II, III$ und $IV$. Dazu addieren wir zu jeder dieser Zeilen das negative der ersten Zeile $(+ I\cdot (-1))$. Danach sieht das Gleichungssystem so aus:

  $\begin{array}{c|cccccc|} I & a & +b & +c & +d &=& 4 \\ II & 7a & +3b & +c & &=& -2 \\ III & 63a & +15b & +3c & &=& 0 \\ IV & 124a & +24b & +4c & &=& 16 \end{array}$

  Als nächstes eliminieren wir die $c$ aus den Zeilen $III$ und $IV$. Dazu rechnen wir $III + II\cdot (-3)$ bzw. $IV + II\cdot (-4)$. Danach sollte dein Gleichungssystem diese Form haben:

  $\begin{array}{c|cccccc|} I & a & +b & +c & +d &=& 4 \\ II & 7a & +3b & +c & &=& -2 \\ III & 42a & +6b & & &=& 6 \\ IV & 96a & +12b & & &=& 24 \end{array}$

  Nun müssen wir nur noch das $b$ aus der letzten Zeile eliminieren, um eine Dreiecksgestalt zu erhalten. Dazu addieren wir folgendes: $IV + III\cdot (-2)$. Nun sieht es so aus:

  $\begin{array}{c|cccccc|} I & a & +b & +c & +d &=& 4 \\ II & 7a & +3b & +c & &=& -2 \\ III & 42a & +6b & & &=& 6 \\ IV & 12a & & & &=& 12 \end{array}$

  Jetzt kann man das Gleichungssystem von unten nach oben auflösen:

  $IV:$

  $12a = 12$ liefert $a=1$.

  Wert für $a$ in $III$ einsetzen:

  $42\cdot 1 +6b = 6$ liefert $b=-6$.

  Werte für $a$ und $b$ in $II$ einsetzen:

  $7\cdot 1 +3\cdot (-6)+c=-2$ liefert $c=9$.

  Werte für $a$, $b$ und $c$ in $I$ einsetzen:

  $1 - 6 + 9 + d = 4$ liefert $d=0$.

  Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:

  $f(x)=x^3 - 6x^2 + 9x$