Satz des Thales

Satz des Thales Übung

• Beschreibe den Satz des Thales.

  Tipps

  Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, auf dem alle Eckpunkte des Dreiecks liegen.

  Der Satz des Pythagoras wird oft durch die Formel $a^2 + b^2 = c^2$ ausgedrückt.

  In einem rechtwinkligen Dreieck liegt der rechte Winkel der längsten Seite gegenüber.

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras und der Satz des Thales sind beides Sätze über rechtwinklige Dreiecke. Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn einer seiner Innenwinkel ein rechter Winkel ist. Die beiden anderen Winkel sind dann spitze Winkel.

  Die Dreiecke in dem ersten Bild haben alle die Punkte $A$ und $B$ gemeinsam, nur der dritte Punkt ist jeweils verschieden. Der Winkel, der der gemeinsamen Seite $\overline{AB}$ gegenüberliegt, ist bei jedem dieser Dreiecke ein rechter Winkel. Genau auf solche Dreiecke ist der Satz des Thales anwendbar. Er besagt: Die jeweils dritten Punkte dieser rechtwinkligen Dreiecke liegen auf einem Halbkreisbogen, dessen Durchmesser die gemeinsame Seite $\overline{AB}$ ist.

  In dem zweiten Bild siehst du einen Halbkreis mit dem Durchmesser $\overline{AB}$. Der Radius des entsprechenden Kreises ist die Hälfte des Durchmessers. Jeder Punkt $C$ auf der Kreislinie bildet nach dem Satz des Thales zusammen mit den Punkten $A$ und $B$ ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel ist dabei immer der Winkel am Punkt $C$.

  Den Satz des Thales kannst du nutzen, um zu einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$ den Umkreis zu konstruieren: Da die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ein Durchmesser des Umkreises ist, ist der Mittelpunkt dieser Strecke $\overline{AB}$ der Mittelpunkt des Kreises. Denn der Mittelpunkt $M$ des Umkreises hat zu allen Punkten des Dreiecks denselben Abstand. Den Radius des Umkreises kannst du jetzt auch bestimmen: Da alle Eckpunkte des Dreiecks auf dem Umkreis liegen, ist der Radius des Umkreises genau der Abstand zwischen dem Mittelpunkt $M$ und jedem dieser Eckpunkte. Der Radius ist also zum Beispiel die Strecke $\overline{MC}$.

• Beschreibe die Konstruktion des Umkreises.

  Tipps

  Beginne die Konstruktion bei der längsten Seite des Dreiecks.

  Beende die Konstruktion mit dem Ziehen des Umkreises.

  Stich den Zirkel zuerst ein, bevor du die Zirkelspanne einstellst.

  Lösung

  Der Satz des Thales besagt, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ein Durchmesser des Umkreises ist.

  Dies kannst du benutzen, um den Umkreis zu konstruieren. Denn der Mittelpunkt dieser Seite ist dann der Mittelpunkt eines Durchmessers des Kreises, also der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zu jedem beliebigen Punkt der Kreislinie. Da die Eckpunkte des Dreiecks auf der Kreislinie des Umkreises liegen, ist der Radius genau der Abstand des konstruierten Mittelpunktes zu jedem Eckpunkt des Kreises. Diesen Radius kannst du als Zirkelspanne wählen, um den Umkreis zu ziehen.

  Du erhältst also folgende Konstruktion:

  1. Bestimme die Dreieckseite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
  2. Konstruiere den Mittelpunkt dieser Seite und markiere ihn.
  3. Stich den Zirkel in den markierten Punkt ein.
  4. Stelle die Spanne des Zirkels auf den Abstand zwischen einem Eckpunkt des Dreiecks und dem Punkt ein, an dem du den Zirkel eingestochen hast.
  5. Ziehe mit dem Zirkel den Umkreis des rechtwinkligen Dreiecks.

• Prüfe die Anwendungen des Satzes des Thales.

  Tipps

  Dem Satz des Thales zufolge liegen zwei rechtwinklige Dreiecke mit derselben längsten Seite auf einem gemeinsamen Umkreis.

  Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf einer Seite des Dreiecks.

  Lösung

  Dem Satz des Thales zufolge besitzt jedes Dreieck, dessen Punkte auf einem Kreis liegen und dessen eine Seite ein Durchmesser des Kreises ist, einen rechten Winkel. Der rechte Winkel liegt dem Durchmesser gegenüber. Der Mittelpunkt des Kreises ist zugleich der Mittelpunkt des Durchmessers.

  Umgekehrt liegen die Eckpunkte jedes rechtwinkligen Dreiecks auf einem Kreis, dessen Durchmesser die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist. Der Umkreis eines Dreiecks ist eindeutig. Liegt insbesondere der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks auf keiner Seite des Dreiecks, so ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

  Der Satz des Thales gilt nicht für Ellipsen und er besagt auch nichts über die Umkreise beliebiger (nicht rechtwinkliger) Dreiecke.

  Unter den Bildern sind zwei mit Ellipsen: Sie zeigen keine korrekte Anwendung des Satzes des Thales. Die eingezeichneten Winkel sind nicht korrekt als rechte Winkel markiert.

  Ein Bild zeigt ein Dreieck mit Umkreis, bei dem keine der Seiten ein Durchmesser des Kreises ist: Auf diese Situation ist der Satz des Thales nicht anwendbar.

  Ein weiteres Bild zeigt ein als rechtwinklig markiertes Dreieck mit Umkreis, bei dem der Mittelpunkt des Umkreises auf keiner Seite des Dreiecks liegt. Das Dreieck kann daher nicht rechtwinklig sein, das würde dem Satz des Thales widersprechen.

  Die drei übrigen Bilder zeigen korrekte Anwendungen des Satzes des Thales:

  Ein Bild zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit einer horizontalen und einer vertikalen Seite. Die dritte und längste Seite des Dreiecks ist ein Durchmesser des Umkreises.

  Ein Bild zeigt ein Rechteck mit Umkreis. Die eingezeichnete Diagonale ist ein Durchmesser des Umkreises. Nach dem Satz des Thales sind daher die beiden gegenüberliegenden Winkel rechte Winkel. Die andere, nicht eingezeichnete Diagonale des Rechtecks ist ebenfalls ein Durchmesser des Umkreises.

  Das verbleibende Bild zeigt zwei Kreise mit je einem rechtwinkligen Dreieck. Die beiden Dreiecke sind korrekt als rechtwinklig bezeichnet. Sie bilden zusammen ein rechtwinkliges, verschränktes Trapez.

• Bestimme die Winkelgrößen.

  Tipps

  Dem Satz des Thales zufolge ist bei einem Dreieck auf einem Kreis der einem Durchmesser gegenüberliegende Winkel ein rechter Winkel.

  Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck beträgt $180^\circ$.

  Die beiden spitzen Winkel jedes der Dreiecke in den Bildern addieren sich zu $90^\circ$.

  Lösung

  Der Satz des Thales besagt: Liegt ein Dreieck auf einem Kreis und ist eine Seite des Dreiecks ein Durchmesser des Kreises, so ist der dieser Seite gegenüberliegende Winkel ein rechter Winkel. Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck beträgt stets $180^\circ$.

  Im Bild siehst du vier Dreiecke, die die Bedingungen aus dem Satz des Thales erfüllen. Daher hat jedes dieser Dreiecke einen rechten Winkel (also $90^\circ$) und die beiden anderen Winkel addieren sich zu $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Bei der Bestimmung der Winkelgrößen kannst du in jedem Dreieck einen spitzen Winkel aus dem Bild ablesen. Du musst die Größe des anderen spitzen Winkels durch die Differenz der gegebenen Winkelgröße von $90^\circ$ bestimmen.

  Bei der Bezeichnung der Winkel musst du genau aufpassen, denn der rechte Winkel trägt nicht in jedem Dreieck dieselbe Bezeichnung.

  Du erhältst dann folgende Winkelgrößen:

  Oberes Dreieck im linken Kreis:

  • $\alpha_1=32^\circ$
  • $\beta_1 = 58^\circ$
  • $\gamma_1 = 90^\circ$

  Unteres Dreieck im linken Kreis:

  • $\alpha_2=74^\circ$
  • $\beta_2 = 90^\circ$
  • $\gamma_2 = 16^\circ$

  Linkes Dreieck im rechten Kreis:

  • $\alpha_3=90^\circ$
  • $\beta_3 = 37^\circ$
  • $\gamma_3 = 53^\circ$

  Rechtes Dreieck im rechten Kreis:

  • $\alpha_4=41^\circ$
  • $\beta_4 = 90^\circ$
  • $\gamma_4 = 49^\circ$

• Zeige die geometrischen Größen.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck ist der rechte Winkel der größte Winkel.

  Jedes Dreieck hat höchstens einen rechten Winkel.

  Liegen bei einem Dreieck zwei Eckpunkte auf dem Durchmesser eines Kreises und der dritte Punkt ebenfalls auf der Kreislinie, so ist der Winkel an diesem dritten Punkt ein rechter Winkel.

  Lösung

  Rechte Winkel kennst du von Fenstern und Türen. Sie sind leicht zu erkennen, wenn die Seiten, die diesen Winkel bilden, horizontal und vertikal sind. Um bei schräg liegenden Seiten rechte Winkel zu erkennen, können Dreiecke und der Satz des Thales helfen.

  Jedes Dreieck hat höchstens einen rechten Winkel. Ist einer der Winkel eines Dreiecks ein rechter Winkel, so sind die beiden anderen Winkel spitz, d. h. kleiner als ein rechter Winkel.

  Der Satz des Thales besagt: Liegen die drei Eckpunkte eines Dreiecks auf einem Kreis und ist eine Dreieckseite ein Durchmesser des Kreises, so ist der Winkel an dem Eckpunkt, der dem Durchmesser gegenüberliegt, ein rechter Winkel.

  Im Bild siehst du die beiden rechtwinkligen Dreiecke $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{ABD}$. Die Strecke $\overline{AB}$ gehört zu beiden Dreiecken und ist ein Durchmesser des eingezeichneten Kreises. Nach dem Satz des Thales sind daher die Winkel bei $C$ und $D$ rechte Winkel. Alle anderen Winkel der Dreiecke sind keine rechten Winkel, denn jedes Dreieck hat höchstens einen rechten Winkel.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Dem Satz des Thales zufolge liegen alle rechtwinkligen Dreiecke über einer fixierten, dem rechten Winkel gegenüberliegenden Strecke $\overline{AB}$ auf einem Kreisbogen mit Durchmesser $\overline{AB}$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Der Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks hat seinen Mittelpunkt auf einer Seite des Dreiecks.

  Denn dem Satz des Thales zufolge ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ein Durchmesser des Kreises. Der Mittelpunkt des Umkreises ist daher der Mittelpunkt dieser Seite.

  • Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn seine längste Seite der Durchmesser des Umkreises des Dreiecks ist.

  Ist ein Dreieck rechtwinklig, so liegt es auf einem Halbkreis, dessen Durchmesser die längste Seite des Dreiecks ist. Dieser Halbkreis ist eine Hälfte des Umkreises, die Dreieckseite ist also ein Durchmesser des Umkreises. Ist umgekehrt eine Dreieckseite ein Durchmesser des Umkreises, liegt der dritte Punkt auf einem Halbkreis über dieser Dreieckseite. Laut Satz des Thales ist der Winkel an diesem dritten Punkt ein rechter Winkel.

  • Ist eine Seite eines Dreiecks der Durchmesser des Umkreises, so ist die Summe der beiden dieser Seite anliegenden Winkel gleich dem dieser Seite gegenüberliegenden Winkel.

  Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt $180\circ$. Dem Satz des Thales zufolge ist der dem Durchmesser gegenüberliegende Winkel $90^\circ$. Daher muss die Summe der beiden dem Durchmesser anliegenden Winkel ebenfalls $90^\circ$ betragen.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Der Mittelpunkt jeder Seite eines Dreiecks kann der Mittelpunkt des Umkreises sein.

  Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt des Umkreises auf der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite und auf keiner anderen Seite des Dreiecks. Bei anderen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises überhaupt nicht auf einer Dreieckseite.

  • Der Abstand des Seitenmittelpunktes eines Dreiecks zu einem Eckpunkt ist der Radius des Umkreises.

  Ein solcher Abstand kann auch größer oder kleiner als der Radius des Umkreises sein. Er ist nicht für alle Seitenmittelpunkte und Eckpunkte derselbe.

  • Haben zwei rechtwinklige Dreiecke zwei Punkte gemeinsam, so liegen sie auf demselben Kreisbogen.

  Das gilt nur, wenn die beiden gemeinsamen Punkte zu der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite gehören. Dann ist diese Seite nämlich ein Durchmesser des Umkreises. Handelt es sich jedoch nicht um die Eckpunkte der jeweils längsten, dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, liegen die Dreiecke im Allgemeinen nicht auf einem gemeinsamen Kreis.

  • Sind zwei Eckpunkte eines Dreiecks die Endpunkte des Durchmessers eines Kreises, so ist das Dreieck rechtwinklig.

  Das gilt nur, wenn der jeweils dritte Punkt ebenfalls auf der vorgegebenen Kreislinie liegt. Er könnte aber auch außerhalb des Kreises liegen. Dann ist das Dreieck spitzwinklig. Liegt der dritte Punkt innerhalb des Kreises, ist das Dreieck stumpfwinklig.