Stochastische Unabhängigkeit – Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Stochastische Unabhängigkeit – Baumdiagramm und Vierfeldertafel Übung

• Prüfe die Merkmale auf stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.

  Tipps

  Berechne die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$ aus den Zahlen der entsprechenden Felder in der Vierfeldertafel.
  Dazu teilst du den Wert durch die Gesamtzahl $500$ unten rechts.

  Beispiel:

  $P(\overline{A}) = \dfrac{145}{500} = 0,\!29$

  Die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit lautet:

  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

  Die Ereignisse $A$ und $\overline B$ sind stochastisch abhängig, denn:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(A)=\dfrac{355}{500}=0,\!71$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\overline B)=\dfrac{165}{500}=0,\!33$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(A\cap \overline B)=\dfrac{130}{500}=0,\!26$

  Es ist also $P(A\cap \overline B)=0,\!26\neq 0,\!71\cdot 0,\!33=0,\!2343$.

  Lösung

  Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn die Gleichung $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ gilt.

  Ist diese Gleichung nicht erfüllt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

  Wir berechnen zuerst die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$:

  $P(A)=\dfrac{355}{500}=0,\!71$

  $P(B)=\dfrac{335}{500}=0,\!67$

  Nun berechnen wir auch die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:

  $P(A \cap B)=\dfrac{225}{500}=0,\!45$

  Um die Gleichung zu überprüfen, ermitteln wir das Produkt der beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

  $P(A) \cdot P(B)= 0,\!71 \cdot 0,\!67 = 0,\!4757$

  Da $P(A) \cdot P(B)= 0,\!4757$ nicht mit $P(A\cap B)=0,\!45$ übereinstimmt, sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch abhängig.

• Prüfe die Ereignisse auf stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.

  Tipps

  Vervollständige zuerst die erste Stufe des Baumdiagramms.

  Um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(B)=\dfrac{P(\overline A \cap B)}{P(\overline A)}$ berechnen zu können, benötigst du zuvor die beiden Wahrscheinlichkeiten $P(\overline A \cap B)$ und $P(\overline A)$.

  Schließe im letzten Schritt auf die stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.

  Lösung

  Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $B$ unabhängig von $A$ bzw. $\overline A$ ist.
  Das erkennst du am Baumdiagramm zum Beispiel daran, dass die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_{\overline A}(B)$ auf der zweiten Stufe des Baumdiagramms übereinstimmen. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

  Um diese Bedingung zu prüfen, ergänzen wir die fehlenden Wahrscheinlichkeiten:

  An jeder Verzweigung ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten $1$. Wir können daher fehlende Wahrscheinlichkeiten an einzelnen Zweigen als Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse ergänzen:

  • $P(\overline A)=1-P(A)=0,\!3$
  • $P_A(\overline B)=1-P_A(B)=0,\!6$

  Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(B)$ können wir nun mit der Formel $P_{\overline A}(B)=\dfrac{P(\overline A~\cap~ B)}{P(\overline A)}$ berechnen.
  Die noch fehlende bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(\overline B)$ ergibt sich wieder als Gegenwahrscheinlichkeit.
  Vergleichen wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)=0,\!4$ und $P_{\overline A}(B)=0,\!8$, so erkennen wir, dass die Ereignisse $A$ und $B$ nicht stochastisch unabhängig, sondern stochastisch abhängig sind.

  
  

  Die korrekte Reihenfolge der Schritte lautet:

  1. Ergänze die Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline A)=0,\!3$ und $P_A(\overline B)=0,\!6$.

  2. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit:

  $P_{\overline A}(B)=\dfrac{P(\overline A\cap B)}{P(\overline A)}=\dfrac{0,\!24}{0,\!3}=0,\!8$.

  3. Vervollständige die Beschriftung des Baumdiagramms mit der Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(\overline B)=0,\!2$.

  4. Vergleiche die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe des Baumdiagramms an der oberen Verzweigung mit denen an der unteren Verzweigung.

  5. Antwort: Da sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe unterscheiden, sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch abhängig.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $E\cap T$ ist der Quotient aus der Anzahl von $E\cap T$ und der Gesamtanzahl.

  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde kein Tourist ist, beträgt:

  $P(\overline{T})=\dfrac{72}{500} = 0,\!144$

  Die Ereignisse $E$ und $T$ sind stochastisch unabhängig, falls gilt:

  $P(E\cap T)=P(E)\cdot P(T)$

  Lösung

  In der Vierfeldertafel stehen die Anzahlen zu den verschiedenen Merkmalen. Die Wahrscheinlichkeit eines Merkmals berechnest du daraus, indem du die jeweilige Anzahl durch die Gesamtzahl dividierst.
  Zur Überprüfung der stochastischen Unabhängigkeit vergleichst du das Produkt der Wahrscheinlichkeit zweier Merkmale mit der Wahrscheinlichkeit, dass beide Merkmale zugleich auftreten.

  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Tourist ist und ein klassisches Fahrrad ausleiht, beträgt:

  $P(\overline E\cap T)=\dfrac{376}{500}=0,\!752$

  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde ein klassisches Fahrrad ausleiht, ist:

  $P(\overline E)=\dfrac{444}{500}=0,\!888$

  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Kunde Tourist ist, beträgt:

  $P(T)=\dfrac{428}{500}=0,\!856$

  $~$

  Um die Ereignisse $\overline E$ und $T$ auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen, vergleichen wir die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $\overline E\cap T$ mit dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von $\overline E$ und $T$.
  Wir berechnen also $P(\overline E) \cdot P(T)=0,\!888\cdot 0,\!856\approx 0,\!760$.

  Da $P(\overline E\cap T)= 0,\!752 \neq 0,\!760=P(\overline E) \cdot P(T)$ gilt, sind die Ereignisse $\overline E$ und $T$ stochastisch abhängig.

• Vervollständige das Baumdiagramm.

  Tipps

  Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses $A$ und seines Gegenereignisses $\overline A$ ist $1$. Dasselbe gilt auch für bedingte Wahrscheinlichkeiten.

  Im Bild siehst du ein Beispiel, wie die Wahrscheinlichkeit $P(\overline A)$ ergänzt werden kann.

  Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_{\overline A}(B)$ an den Ästen der zweiten Stufe übereinstimmen.

  Lösung

  In dem Baumdiagramm stehen auf der ersten Stufe die Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses $A$ und seines Gegenereignisses $\overline A$. Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ist $1$.
  Du kannst $P(\overline A)$ also als Gegenwahrscheinlichkeit von $P(A)$ angeben:

  $P(\overline A)=1-P(A)=1-0,\!6=0,\!4$

  Dasselbe gilt für die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_A(\overline B)$ im oberen Teil der zweiten Stufe des Baumdiagramms: Ihre Summe ist $1$, denn die beiden Ereignisse $B$ und $\overline B$ sind komplementär zueinander. Daher ist:

  $P_A(\overline B)=1-P_A(B)=1-0,\!3=0,\!7$

  Um die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_{\overline A}(B)$ und $P_{\overline A}(\overline B)$ im unteren Teil der zweiten Stufe des Baumdiagramms zu berechnen, verwenden wir die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

  $P_{\overline A}(B) = \dfrac{P(\overline A\cap B)}{P(\overline A)} = \dfrac{0,\!08}{0,\!4} = 0,\!2$

  Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(\overline B)$ ist nun wieder die Gegenwahrscheinlichkeit:

  $P_{\overline A}(\overline B)=1-P_{\overline A}(B)=1-0,\!2=0,\!8$

  Da sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_{A}(\overline B)=0,\!3$ und $P_{\overline A}(\overline B)=0,\!2$ unterscheiden, sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastsich abhängig.

• Gib Formeln zur Überprüfung der stochastischen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen an.

  Tipps

  Die Ungleichheit in den Formeln steht nicht für stochastische Unabhängigkeit.

  Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(B)$ übereinstimmt.

  Beispiel:

  Für die Ereignisse $A$ und $B$ gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

  • $P(A)=0,\!5$
  • $P(B)=0,\!3$
  • $P(A\cap B)=0,\!2$

  Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch abhängig, da gilt:

  $0,\!2 \neq 0,\!5 \cdot 0,\!3=0,\!15$

  Lösung

  Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen $A$ und $B$ bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $A$ unabhängig ist von $B$ (und umgekehrt). Mit anderen Worten: Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ ist unabhängig von $B$, also dasselbe wie die absolute Wahrscheinlichkeit $P(A)$, also $P_B(A)=P(A)$.
  Ganz analog gilt dann auch $P_A(B)=P(B)$.
  Äquivalent zu beiden ist außerdem die Bedingung $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Du erhältst sie zum Beispiel, wenn du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit umstellst.

  Ist eine dieser drei Gleichungen nicht erfüllt $(\neq)$, gilt dies auch für die anderen, und die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch abhängig.

  
  

  So erhältst du folgende Zuordnungen:

  
  

  Stochastische Abhängigkeit:

  • $P_B(A)\neq P(A)$
  • $P_A(B)\neq P(B)$
  • $P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)$

  
  

  Stochastische Unabhängigkeit:

  • $P_B(A)=P(A)$
  • $P_A(B)=P(B)$
  • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

• Prüfe die Merkmale auf stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit, dass zutreffend kein Regen vorausgesagt wird, ist $P(\overline R\cap Z)$.

  Du kannst die Aufgabe mit einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel lösen.

  Lösung

  Am einfachsten zu lösen ist die Aufgabe mit einem Baumdiagramm, das auf der ersten Stufe das Merkmal $R$ bzw. $\overline R$ darstellt. Da $380$ der $1\,000$ Voraussagen Regen ankündigen, ist $P(R)=0,\!38$ und $P(\overline R)=0,\!62$. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Regenvoraussage zutrifft, ist $P_R(Z)=0,\!15$. Daraus erhalten wir die Gegenwahrscheinlichkeit $P_R(\overline Z)=0,\!85$. Zudem können wir die Wahrscheinlichkeit der Schnittmengen ${R\cap Z}$ und ${R\cap \overline Z}$ berechnen:

  $P(R\cap Z)=P(R) \cdot P_R(Z)=0,\!38 \cdot 0,\!15=0,\!057$

  $P(R\cap \overline Z)=P(R) \cdot P_R(\overline Z)=0,\!38 \cdot 0,\!85=0,\!323$

  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Wettervorhersage zutreffend keinen Regen voraussagt, beträgt ${P(\overline R\cap Z)=0,\!093}$. Zusammen mit der Wahrscheinlichkeit $P(\overline R)=0,\!62$, dass eine Wettervorhersage keinen Regen voraussagt, erhalten wir:

  $P_{\overline R}(Z)=\dfrac{P(\overline R\cap Z)}{P(\overline R)}=\dfrac{0,\!093}{0,\!62}=0,\!15$

  Da diese Wahrscheinlichkeit mit der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_R(Z)$ übereinstimmt, ist die Qualität der Wettervorhersagen ($Z$) stochastisch unabhängig vom Inhalt ($R$) der Vorhersagen.

  
  

  Mit einer Vierfeldertafel kannst du die Aufgabe ebenfalls lösen und kommst zu derselben Schlussfolgerung, nämlich dass die Merkmale $R$ und $Z$ stochastisch unabhängig sind. Für die Vierfeldertafel kannst du die Wahrscheinlichkeiten $P(R)=0,\!38$ und $P(\overline R\cap Z)=0,\!093$ direkt aus der Aufgabenstellung entnehmen. Daraus erhältst du außerdem $P(\overline R)=0,\!62$ als Gegenwahrscheinlichkeit zu $P(R)$. Die Gegenwahrscheinlichkeit zu der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_R(Z)=0,\!15$ aus der Aufgabenstellung ist $P_R(\overline Z)=0,\!85$. Zusammen mit $P(R)=0,\!38$ erhältst du daraus die Wahrscheinlichkeit $P(R\cap \overline Z)=P(R) \cdot P_R(\overline Z)=0,\!38 \cdot 0,\!85=0,\!323$. Alle noch freien Felder in der Vierfeldertafel können nun durch die Summe in den Zeilen und Spalten ausgefüllt werden.

  Aus der vollständigen Vierfeldertafel erhältst du dann beispielsweise:

  $P(R) \cdot P(\overline Z)=0,\!38 \cdot 0,\!85=0,\!323$ und $P(R\cap \overline Z)=0,\!323$

  Da die beiden Werte übereinstimmen, sind die Merkmale $R$ und $\overline Z$ stochastisch unabhängig. Folglich sind auch $R$ und $Z$ stochastisch unabhängig.