Terme mit Variablen aufstellen

Wie stellt man einen Term mit einer Variablen auf? – Mathe

In diesem Text wird einfach erklärt, wie man Rechenausdrücke oder Terme mit Variablen aufstellt. Dabei werden zunächst die Begriffe Rechenausdruck und Variable noch einmal wiederholt. Die Kernfrage in dem Text lautet jedoch: Wie stelle ich für ein ganz bestimmtes mathematisches Problem, bei dem eine unbekannte Größe gesucht ist, den Rechenausdruck auf, der mich zum Ziel führt?

Variablen und Rechenausdrücke – Definition

Was verstehen wir unter den Begriffen Variable und Rechenausdruck?

• Variablen in Rechenausdrücken sind Platzhalter für Zahlen oder Größen.

Aber was ist ein Platzhalter in der Mathematik?

• Für den Platzhalter können Zahlen eingesetzt werden. Eine Variable steht für eine unbekannte Größe innerhalb einer Rechenvorschrift. Variablen werden meist als kleine Buchstaben, zum Beispiel als kleines $x$, notiert.

Was ist ein Rechenausdruck?

• Der Rechenausdruck ist die Berechnungsvorschrift für eine bestimmte Größe. Rechenausdrücke werden in Mathe auch als Terme bezeichnet.

Betrachten wir folgendes Beispiel für einen Rechenausdruck mit einer Variablen:

$4 \cdot (x - 2) $

Setzt man eine Zahl für das $x$ ein, so kann der Rechenausdruck berechnet werden. Daraus ergibt sich der Wert des Terms, auch Termwert genannt. Wir können zum Beispiel eine $5$ für das $x$ einsetzen. Die Rechnung lautet dann:

$4 \cdot (5 - 2) = 4 \cdot 3 = 12 $

In diesem Beispiel ist der Termwert gleich $12$. Wie bei jedem Rechenausdruck mit einer Klammer muss die Klammer zuerst berechnet werden.

Rechenausdrücke mit Variablen können ebenso umgeformt werden wie Rechenausdrücke, die nur Zahlen enthalten. So können wir bei der oben stehenden Rechnung auch das Distributivgesetz anwenden. Die Rechnung lautet dann:

$4 \cdot (x - 2) = 4 \cdot x - 4 \cdot 2 = 4 \cdot x - 8$

Auch auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis $12$, wenn wir für $x$ die Zahl $5$ einsetzen.

$4 \cdot 5 - 8 = 20 - 8 = 12$

Es können auch andere Zahlen für $x$ eingesetzt werden. Die Variable ist also eine veränderliche Größe. Je nachdem welche Zahl eingesetzt wird, ändert sich der Wert des Terms.

Terme oder Rechenausdrücke aufstellen

Der Rechenausdruck, den wir betrachtet haben, war vorgegeben. In der Praxis kommt es häufig vor, dass du die Rechenausdrücke mit Variablen selbst aufstellen musst. Wie das geht, schauen wir uns im Folgenden an. Betrachten wir dafür ein Beispiel.

Farid benötigt ein neues Fahrrad. Eine wichtige Größe dabei ist die Rahmenhöhe. Farid möchte schließlich weder ein zu kleines noch ein zu großes Fahrrad haben. Welche Rahmenhöhe die richtige ist, hängt mit der Körpergröße zusammen. Gibt es also eine Rechenvorschrift für Rahmenhöhen? Ja, Farid findet im Internet den Hinweis:

$\text{Rahmenhöhe} = \text{Beinlänge} - 25\,\pu{cm}$

Für die Menschen, die den Rechenausdruck aufgestellt haben, ist die Beinlänge die unbekannte Größe. Sie wissen schließlich nicht, wer vor dem Computer sitzt. Bezeichnen wir diese unbekannte Größe also mit der Variablen $x$. Er könnte auch jeden anderen beliebigen Buchstaben wählen.

$x = \text{Beinlänge}$

Somit lautet der Rechenausdruck:

$\text{Rahmenhöhe in cm} = x \,\text{in cm} - 25\,\pu{cm}$

Damit haben wir für ein mathematisches Problem einen Rechenausdruck mit einer Variablen aufgestellt. Für die Variable können wir nun verschiedene Beinlängen einsetzen und somit die passenden Rahmengrößen ermitteln.

Die einzelnen Schritte können mit den folgenden Punkten zusammengefasst werden:

• Welche Größe ist gesucht?
• Wovon hängt die gesuchte Größe ab? Daraus ergibt sich die Variable $x$.
• Wie wird die gesuchte Größe berechnet? Daraus ergibt sich der Rechenausdruck.
• Variable einführen und festlegen
• Rechenausdruck mit der Variablen aufschreiben

Terme mit Variablen aufstellen – Beispiel

Für sein neues Fahrrad muss Farid $200\,€$ bezahlen. Um das Geld zusammenzusparen, erstellt Farid einen Sparplan. Er hat bereits $120\,€$ gespart. Jeden Monat kann er weitere $15\,€$ zum Ersparten dazulegen. Wandeln wir diesen Plan in einen Rechenausdruck um. Dabei verwenden wir die oben eingeführten Schritte.

Welche Größe ist gesucht?

• Wir wollen die angesparte Geldsumme ermitteln.

Wovon hängt diese Größe ab?

• Die Geldsumme hängt davon ab, wie lange Farid schon gespart hat. Daraus ergibt sich, dass die Anzahl der Monate die unbekannte Variable ist.

Wie berechnet sich die gesuchte Größe?

• Farid startet mit $120\,€$. Dann kommen pro Monat $15\,€$ hinzu. Die angesparte Summe ergibt sich also aus:

$\quad \text{angesparte Summe} = 120\,€ + (\text{Anzahl der Monate}) \cdot 15\,€$

Variable einführen und festlegen:

• Die Variable ist die Anzahl der Monate. Wir nennen sie $x$.

$\quad \text{Anzahl der Monate} = x $

Rechenausdruck mit der Variablen aufschreiben:

• Der Term lautet nun:

$\quad \text{angesparte Summe} = 120\,€ + x \cdot 15\,€$

Um zu wissen, wann Farid genug Geld für das Fahrrad gespart hat, erstellt er eine Tabelle. Dabei setzt er für $x$ nacheinander verschiedene Zahlen ein.

Zu Beginn, also nach $0$ Monaten, hat Farid $120\,€$. Nach $2$ Monaten hat er bereits $150\,€$ angespart. Auch nach $5$ Monaten fehlt ihm noch ein wenig Geld. Aber nach $6$ Monaten hat er genügend Geld angespart, um sich das neue Fahrrad kaufen zu können.

Der Antwortsatz lautet also:

• Nach $6$ Monaten hat Farid genügend Geld angespart.

Terme mit Variablen aufstellen – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zusammen, was du über das Aufstellen von Termen mit Variablen wissen solltest.

• Variablen in Rechenausdrücken sind Platzhalter für Zahlen. Sie stehen für unbekannte Zahlen oder veränderliche Größen.
• Der Rechenausdruck ist die Berechnungsvorschrift für eine bestimmte Größe.
• Die Variable $x$ ist eine unbekannte Größe, von der der Rechenausdruck abhängt.
• Für das Aufstellen des Terms geht man in $5$ Schritten vor:
  1. Welche Größe ist gesucht?
  2. Wovon hängt die gesuchte Größe ab? Daraus ergibt sich die Variable $x$.
  3. Wie wird die gesuchte Größe berechnet? Daraus ergibt sich der Rechenausdruck oder Term.
  4. Variable einführen und festlegen
  5. Term mit der Variablen aufschreiben

Mithilfe von Übungen und Arbeitsblättern kannst du hier auf der Seite dein Wissen zum Thema Terme mit Variablen aufstellen noch festigen.