Was sind Variablen?
Variablen in Mathe sind Buchstaben oder Symbole, die für einen veränderlichen Wert stehen. Ähnlich wie Jokerkarten beim Kartenspiel können sie verschiedene Werte annehmen. Entdecke im Video, wie Variablen funktionieren! Interessiert? Dies und vieles mehr finden Sie im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Was sind Variablen?
Variablen in Mathe
Du hast bestimmt schon einmal ein Kartenspiel gespielt. In vielen Kartenspielen muss man Zahlenreihen bilden, zum Beispiel die Reihe $3,4,5,6,7, 8, 9$. Manchmal gibt es auch
Wenn du zum Beispiel die Zahlen $3,4, 6,7,8,9$ und einen Joker hast, nimmt der Joker den Wert der fehlenden $5$ an – sodass die Reihe voll ist. Fehlt dir stattdessen die $8$, du besitzt also die Reihe $3,4,5,6,7,9$, kann der Joker den Wert $8$ annehmen.
Der Wert der Jokerkarte ist also veränderlich. Auf Latein heißt veränderlich variabilis – und das klingt schon fast wie Variable. Das ist kein Zufall, denn die Jokerkarte und Variablen haben Gemeinsamkeiten. Das schauen wir uns im Folgenden an.
Was versteht man unter einer Variablen?
Eine Variable ist ein Buchstabe oder ein Symbol, der oder das für einen veränderlichen Wert steht.
Grundsätzlich können wir jeden beliebigen Buchstaben als Variable benutzen. Meistens wird dir allerdings das $x$ oder das $y$ begegnen.
Variablen werden oft als Unbekannte in einer Gleichung benutzt. Das kann zum Beispiel so aussehen:
$7 - x = 5$
Hier ist $x$ die Variable. Damit die Gleichung eine wahre Aussage ergibt, kann die Variable natürlich nicht jeden beliebigen Wert annehmen. In diesem Fall müssen wir für $x$ den Wert $2$ einsetzen, damit die Aussage stimmt:
$x = 2$
Ein anderes Beispiel für eine Variable finden wir, wenn wir an den Preis für ein Eis denken. Stellen wir uns vor, wir möchten ein paar Kugeln Eis an der Eisdiele kaufen. Eine Kugel Eis kostet $2~€$. Wie viel wir bezahlen müssen, hängt von der Anzahl an Kugeln ab, die wir bestellen. Den Preis können wir so aufschreiben:
$\text{Preis für das Eis } = x \cdot 2~€$
Hier ist $x$ die Variable und steht für die Anzahl an Kugeln, die wir bestellen. Sie kann jeden beliebigen Wert annehmen – vorausgesetzt natürlich, wir können das Eis dann auch wirklich bezahlen.
An diesen beiden Beispielen sehen wir schon, dass die Bedeutung einer Variablen immer vom Kontext abhängt.
Lernvideo: Was sind Variablen?
In diesem Video werden dir mathematische Variablen einfach erklärt. Du erhältst eine kurze Einführung und lernst ein paar Beispiele kennen. Die Frage “Was sind Variablen?” kannst du nach diesem Video ganz sicher beantworten.
Transkript Was sind Variablen?
Haushoch verliert Erik gerade gegen Sarah.
Ziel des Kartenspiels ist es, eine Straße von 5 Karten zu legen.
Sarah zieht die nächste Karte und hat Glück. Ein Joker! Schauen wir uns ihr Blatt einmal an.
Sarahs Blatt ist super: sie hat bereits eine 2, 3, 4 und 5 und mit dem Joker gewinnt sie die Partie. Der Joker kann hier die 1 ersetzen oder die 6. Ein Joker kann jede beliebige Karte des Decks ersetzen.
Variablen in der Mathematik
In der Mathematik gibt es etwas, das dem Joker sehr ähnlich ist: Variablen. Variablen kommen meist in Termen oder Gleichungen vor.
Ähnlich wie ein Joker können sie unterschiedliche Werte annehmen.
Eine Variable kann ein Buchstabe oder ein Symbol sein. Sie zeigt einen veränderlichen Wert an. Dabei nutzt man häufig Buchstaben wie x, y, a, ...
Die Variable x kann in dieser Gleichung durch 2 ersetzt werden, sodass wir eine wahre Aussage erhalten. x ist also gleich 2.
Beispiel für die Verwendung von Variablen
Sehen wir uns das bei einer Beispielaufgabe genauer an.
Stell dir vor, du hast einen neuen Handyvertag. Zur monatlichen Grundgebühr für dein Smartphone kommen 15€ pro Gigabyte Datenvolumen. Die Variable x entspricht der Anzahl an Gigabytes.
Als Term ausgedrückt heißt das:
25 Euro plus 15 Euro mal x.
So berechnest du die Kosten abhängig davon, wie viel Datenvolumen du verbrauchst.
Aber zurück zu Sarah und Erik. Mit wem textet Sarah da eigentlich die ganze Zeit?
Was sind Variablen? Übung
-
Ergänze die Erklärung zu Variablen.
TippsDas Wort „Variable“ kommt von dem lateinischen „variabilis“ für „veränderlich“. Eine Variable wird auch oft als Veränderliche bezeichnet.
Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, in welchem Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern vorkommen.
LösungHier siehst du bereits, was eine Variable ist.
Lass uns dies einmal an dem Beispiel mit Eric und Sarah anschauen. Die beiden spielen Karten. Gewonnen hat, wer eine Straße hat, das heißt fünf aufeinanderfolgende Karten.
Sarah hat die Karten mit dem Wert $2$, $3$, $4$ und $5$ und ... einen Joker. Diesen kann sie für jede beliebige Karte einsetzen. In diesem Beispiel wird sie den Joker für die $1$ oder $6$ einsetzen und hat somit eine Straße.
Das Prinzip eines Jokers gibt es auch in der Mathematik: Variablen.
Die Variable ist eine Veränderliche. Du kannst jeden beliebigen Wert einsetzen.
Eine Variable ist ein Buchstabe, oft werden $x$ oder $y$ oder $a$ verwendet, oder ein anderes Symbol.
Variablen kommen zum Beispiel
- in Termen wie $7-x$ oder
- in Gleichungen wie $7-x=5$ vor.
In dem Beispiel $7-x=5$ wäre dies $x=2$, denn es gilt:
$7-2=5$ ✓
-
Stelle den Term für die Kosten von Sarahs Handyvertrag auf.
TippsBeginne mit den festen Kosten: Überlege dir, welche der Kosten von dem Verbrauch abhängen.
Sarah bezahlt $25~€$. Hinzu kommen
- $15~€$ für ein Gigabyte Datenvolumen,
- $30~€$ für zwei,
- $45~€$ für drei ...
Du siehst, die Kosten für das Datenvolumen hängen von dem Verbrauch ab.
Wenn du eine Beschreibung wie zum Beispiel „Jeder Apfel kostet $50~ct$“ hast, musst du die $50~ct$ mit der Anzahl der Äpfel multiplizieren.
LösungDie Grundgebühr ist fest. Sie hängt nicht von dem Verbrauch ab. Deswegen muss sie auch nicht mit einer Variablen multipliziert werden.
Die Kosten für das Datenvolumen hängen allerdings sehr wohl von dem Verbrauch ab, sie sind also variabel. Da pro Gigabyte Datenvolumen $15~€$ bezahlt werden müssen, ordnet man zunächst der unbekannten Zahl an verbrauchten Gigabytes die Variable $x$ zu.
Das Schlüsselwort „je“ zeigt an, dass multipliziert werden muss.
Die Kosten für das Datenvolumen betragen also: $15~€\cdot x$.
Zusammen, das bedeutet, dass die Kosten addiert werden müssen, können die Kosten für Sarahs Handyvertrag mit diesem Term beschrieben werden:
$25~€+15~€\cdot x$.
-
Entscheide, welcher der beiden Handyanbieter günstiger für Eric ist.
TippsBeachte, dass nur die von der Variablen abhängigen Kosten, das sind die Kosten für das Datenvolumen, mit der Variablen multipliziert werden.
Wenn du den Term kennst, kannst du jeweils für $x$ den Wert $3$ einsetzen.
Schaue dir dieses Beispiel an:
Die Kosten bei einem weiteren Anbieter C teilen sich auf in $10~€$ Grundgebühren und $25~€$ pro verbrauchtes Gigabyte Datenvolumen. Die Gleichung, die die Gesamtkosten darstellt, lautet:
$10~€+25~€\cdot x$.
Also müsste Eric für $3$ Gigabyte
$10~€+25~€\cdot 3=10~€+75~€=85~€$
bezahlen. Dieser Anbieter ist teurer als Anbieter A und B.
LösungDu stellst zunächst für jeden der beiden Anbieter den Term auf, der die Kosten beschreibt.
Anbieter A:
- Zu den Grundgebühren $20~€$
- werden die Gebühren für das verbrauchte Datenvolumen, also $18~€\cdot x$, addiert.
- Dies führt zu: $20~€+18~€\cdot x$.
Eric möchte nun wissen, welcher der beiden Anbieter bei $3$ Gigabytes Datenvolumen günstiger ist. Eric setzt jeweils für $x$ die Zahl $3$ in die beiden Terme ein:
- Anbieter A: $20~€+18~€\cdot 3=20~€+54~€=74~€$
- Anbieter B: $15~€+19~€\cdot 3=15~€+57~€=72~€$
-
Ermittle die Anzahl der Hunde in dem Rudel.
TippsWenn du eine solche Gleichung $2y=14$ lösen sollst, musst du durch $2$ dividieren:
$y=14:2=7$.
Umgekehrt ist $2\cdot 7=14$ ✓
Du kannst auch bei der Addition die Umkehraufgabe durchführen:
- $x+3=8$
- Subtrahiere $3$. Dann erhältst du $x=8-3=5$.
- Führe eine Probe durch $5+3=8$ ✓
LösungDas Doppelte der Anzahl der Hündinnen ist die Unbekannte $10$. Damit kannst du die Anzahl der Hündinnen ausrechnen: $2y=10$.
Kannst du die Lösung schon sehen? Du kannst durch $2$ dividieren: $y=10:2=5$.
Damit weißt du schon, dass es $5$ Hündinnen gibt.
Wie viele Rüden gibt es? Die Anzahl der Rüden plus $3$ ist ebenfalls $10$, es gilt: $x+3=10$.
Subtrahiere $3$ von $10$. So kommst du zu $x=10-3=7$.
Nun wissen wir, dass es sieben ($7$) Rüden und fünf ($5$) Hündinnen gibt. Das sind dann zusammen $5+7=12$ Hundekinder in dem Rudel.
Gut gerechnet: Jetzt ist Zeit zum Toben.
-
Gib an, für welchen Wert für $x$ die Gleichung erfüllt ist.
TippsSetze jeden der Werte für $x$ ein und prüfe, ob du eine wahre Aussage erhältst.
Achte beim Einsetzen der Werte für $x$ auf die Vorzeichen und darauf, dass keine zwei Rechenoperationen direkt hintereinander stehen dürfen. Nutze dann Klammern. Beispielsweise gilt:
$3-(-2)=3+2=5$.
Üblicherweise probierst du nicht verschiedene Werte. Das wäre zu aufwendig. Du löst die Gleichung.
Subtrahiere auf beiden Seiten $7$.
Du erhältst die Gleichung $-x=-2$.
Beachte, dass du nicht wissen möchtest, was du für $-x$ einsetzen sollst, sondern, was du für $x$ einsetzen sollst.
Multipliziere die Gleichung $-x=-7$ mit $(-1)$.
Lösung$7-x=5$ ist eine Gleichung. Gesucht ist ein Wert für $x$, sodass die Gleichung eine wahre Aussage ist. Anders gefragt: Was musst du für $x$ einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist. Der korrekte Wert für $x$ ist $2$, es gilt also: $x=2$
Wir machen die Probe: $7-2=5$ ✓
Üblicherweise erhältst du eine solche Lösung nicht, indem du genau hinschaust oder rätst. Du formst die Gleichung um. Dafür kannst du wie folgt vorgehen:
- Du beginnst mit der Gleichung $7-x=5$.
- Nun subtrahierst du auf beiden Seiten $7$ und erhältst $-x=-2$.
- Zuletzt multiplizierst du mit $-1$ und kommst so zu $x=2$, der gesuchten Lösung.
-
Bestimme das Datenvolumen, für welches beide Handyanbieter gleich teuer sind.
TippsHier siehst du den Term, der die Kosten bei Anbieter B beschreibt:
- $20\,€+16\,€ \cdot x$
Beachte: „Günstiger“ bedeutet, dass Eric bei dem Anbieter weniger als bei dem anderen bezahlt.
Wenn er bei beiden gleich viel bezahlt, ist es egal, für welchen Anbieter er sich entscheidet.
Dort, wo die beiden Geraden sich schneiden, kannst du das verbrauchte Datenvolumen auf der x-Achse ablesen, bei welchem die Tarife gleich teuer sind.
LösungAnbieter B hat niedrigere Grundgebühren, allerdings höhere Kosten pro verbrauchtem Gigabyte Datenvolumen.
Das bedeutet, dass es eine Anzahl an verbrauchten Gigabytes gibt, für welche gilt, dass beide Anbieter gleich teuer sind. Bis dahin ist Anbieter B günstiger, ab da Anbieter A.
Dies sind die Terme, die die Kosten bei den beiden Anbietern beschreiben:
- Anbieter A: $50\,€+10\,€\cdot x$ und
- Anbieter B: $20\,€+16\,€\cdot x$.
- Du siehst, dass die rote Gerade (Anbieter B) bis zu einem gewissen Datenvolumen unterhalb der blauen (Anbieter A) liegt. Das liegt daran, dass die Grundgebühren bei Anbieter B niedriger sind als die von A.
- Es gibt ein Datenvolumen ($5$ Gigabytes), bei welchem beide Anbieter gleich teuer sind.
- Ab da ist Anbieter A günstiger, da dieser günstiger in Bezug auf das verbrauchte Datenvolumen ist.
$0$ Gigabyte:
- Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 0=50\,€$
- Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 0=20\,€$. Hier ist Anbieter B günstiger.
- Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 2=70\,€$
- Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 2=52\,€$. Hier ist Anbieter B günstiger.
- Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 3=80\,€$
- Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 3=68\,€$. Hier ist Anbieter B günstiger.
- Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 5=100\,€$
- Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 5=100\,€$. Bei diesem Datenvolumen sind beide Anbieter gleich teuer, bis hierhin ist also Anbieter B günstiger.
- Anbieter A $50\,€+10\,€\cdot 6=110\,€$
- Anbieter B $20\,€+16\,€\cdot 6=116\,€$. Hier ist Anbieter A günstiger.
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Gut
Lustiges Ende 🤣🤣🤣😂😂😂
Sie hat kurze Ärmel 🤦♀️🤣🤣🤣
Tolles Video alles verstanden 😌😉☺️😊
Sehr gutes Video ich hab es gut verstanden. Gut erklärt und auch gezeigt. Bisschen komisch fand ich dass sie anscheinend Joker im Armel hatte, obwohl sie ein T-shirt trägt..
Aber ich weiß wie der Witz gemeint war. weiter so
Von wo kommen die Joker?
Sie hat doch kurze Ärmel.
Aber es war lustig 🤭😆😂🤣
Das Ende🤣