Verhältnisse von Mengen – Gleichheit, Teilmengen, elementfremde Mengen

Verhältnisse von Mengen – Gleichheit, Teilmengen, elementfremde Mengen Übung

• Gib die mathematische Schreibweise der gegebenen Verhältnisse an.

  Tipps

  Wir schreiben $A\subset B$, wenn:

  • die Menge $A$ komplett in der Menge $B$ enthalten ist und
  • die Menge $B$ noch weitere zusätzliche Elemente enthält.

  $A\cap B=\emptyset$ bedeutet, dass die Schnittmenge der Mengen $A$ und $B$ leer ist.

  Lösung

  Um die Beziehung zwischen Mengen untersuchen und angeben zu können, müssen wir zunächst klären, welche Verhältnisse zwischen Mengen vorliegen können und wie wir diese mathematisch korrekt angeben.

  Im Folgenden werden alle möglichen Verhältnisse definiert und es wird die jeweilige mathematische Schreibweise angegeben:

  • Teilmenge: Ist die Menge $A$ komplett in Menge $M$ enthalten, während $M$ aber noch weitere zusätzliche Elemente enthält, so ist die Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $M$. Wir schreiben dann $A\subset M$.

  • Gleichheit von Mengen: Die Menge $M$ ist identisch mit der Menge $A$. Wir schreiben dann $M=A$.

  • Elementfremde Mengen: Die Menge $A$ und die Menge $M$ sind komplett verschieden. Wir schreiben dann $M\cap A=\emptyset$.

  • Komplement: Ist $M$ eine Teilmenge von $A$ und wir betrachten alle Elemente die in $A$, aber nicht in $M$ enthalten sind, so handelt es sich um das Komplement der Menge $M$ bezüglich der Menge $A$. Wir schreiben dann $M\setminus A$.

  • Mächtigkeit: Die Anzahl aller unterschiedlichen Elemente der Menge $A$ wird als Mächtigkeit der Menge $A$ bezeichnet. Wir schreiben dann $\vert A\vert$.

• Bestimme die Verhältnisse der Mengen $A$, $B$ und $C$ zu der Menge $M$.

  Tipps

  Sind zwei Mengen elementfremd, so schreiben wir, dass ihre Schnittmenge leer ist.

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  Gegeben sind die Mengen $D=\{2;5;9\}$ und $E=\{2;5\}$.

  Es liegt das Verhältnis $E\subset D$ vor.

  Lösung

  Gegeben sind folgende Mengen:

  • $A=\text{\{Socke; Uhr; Käse; Autogramm\}}$
  • $B=\text{\{Halskette; Diamant\}}$
  • $C=\text{\{Pokal; Diamant; Geld; Krone; Tagebuch; Halskette\}}$
  • $M=\text{\{Geld; Halskette; Diamant; Pokal; Tagebuch; Krone\}}$

  Wir untersuchen die Mengen $A$, $B$ und $C$ bezüglich ihrer Beziehung zu der Menge $M$.

  Elementfremd

  Die Menge $A$ enthält kein Element, das auch in Menge $M$ vorkommt. Somit sind diese beiden Mengen elementfremd, das heißt vollkommen verschieden. Wir schreiben also $A\cap M=\emptyset$.

  Teilmenge

  Alle Elemente der Menge $B$ sind auch in Menge $M$ enthalten. Die Menge $M$ enthält aber noch weitere Elemente. Somit ist die Menge $B$ eine Teilmenge der Menge $M$. Wir schreiben dann $B\subset M$.

  Gleichheit

  Alle Elemente der Menge $C$ entsprechen genau allen Elementen der Menge $M$. Somit sind die Mengen $C$ und $M$ identisch. Wir schreiben dann $C=M$. Zudem ist die Mächtigkeit zweier identischer Mengen wieder identisch. Es gilt also auch $\vert C\vert =\vert M\vert$.

• Ermittle die Verhältnisse der gegebenen Mengen.

  Tipps

  Ist die Menge $A$ komplett in Menge $B$ enthalten, während $B$ noch weitere Elemente enthält, so ist die Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $B$.

  Schaue dir dieses Beispiel an:

  $A=\{5; 7; 9\}$ und $B=\{4; 6; 8\}$

  $A$ und $B$ sind elementfremd.

  Die Mächtigkeit einer Menge $A$ ist die Anzahl der unterschiedlichen Elemente der Menge $A$. Man schreibt $\vert A\vert$.

  Lösung

  Die Inhalte der Portemonnaies von Martin $M$, Patrick $P$ und Lena $L$ sind in Form von Mengen gegeben:

  • $M=\{1~Cent; 1~Euro; 2~Euro\}$
  • $P=\{1~Cent; 2~Cent; 5~Cent; 50~Cent; 1~Euro; 2~Euro\}$
  • $L=\{2~Cent; 5~Cent; 50~Cent\}$

  Für diese Mengen gelten folgende Beziehungen:

  Teilmenge

  Da alle Elemente von $M$ in $P$ enthalten sind, aber $P$ noch weitere Elemente enthält, ist $M$ eine Teilmenge der Menge $P$. Ebenso ist auch $L$ eine Teilmenge von $P$.

  Elementfremd

  Die Mengen $M$ und $L$ haben keine gemeinsamen Elemente. Also sind in den Portemonnaies nicht die gleichen Münzen. Somit sind diese Mengen elementfremd.

  Mächtigkeit

  Für die Mächtigkeiten gilt:

  • $\vert M\vert =3$
  • $\vert P\vert =6$
  • $\vert L\vert =3$

  Patrick hat mehr Geldstücke in seinem Portemonnaie als Lena und Martin. Somit ist die Mächtigkeit von $P$ größer als die Mächtigkeit von $L$, während die Mengen $M$ und $L$ dieselbe Mächtigkeit besitzen.

• Bestimme die gesuchte Menge.

  Tipps

  Wenn du zwei elementfremde Mengen suchst, dann musst du darauf achten, dass beide Mengen keine gemeinsamen Elemente enthalten.

  Ist eine Menge $B$ Teilmenge einer Menge $A$, so sind alle Elemente der Menge $B$ in $A$ enthalten. $A$ enthält aber noch weitere Elemente.

  Lösung

  Auf Milans Arbeitsblatt sind folgende Mengen gegeben:

  • $A=\{1; 2; 3; 4; 5\}$
  • $B=\{1; 3; 4; 5; 7\}$
  • $C=\{2; 4; 6; 8; 9\}$

  Gesucht sind diejenigen Mengen, welche die unten aufgeführten Verhältnisse erfüllen. Schauen wir uns diese gemeinsam an:

  Beispiel 1: $\{2; 3; 4\} \subset$ ?

  Hier ist eine Menge gesucht, von der die Menge $\{2; 3; 4\}$ eine Teilmenge ist. Wir müssen somit prüfen, in welcher der Mengen $A$, $B$ und $C$ alle drei Elemente, also $2$, $3$ und $4$, enthalten sind. Dieses Verhältnis ist für Menge $A$ erfüllt. Es ist $\{2; 3; 4\}\subset\ A$.

  Beispiel 2: ? $\setminus \{2; 8\}=\{4; 6; 9\}$

  Das Komplement der Menge $\{2; 8\}$ bezüglich der gesuchten Menge entspricht $\{4; 6; 9\}$. Wir müssen demnach ermitteln, in welcher der Mengen $A$, $B$ und $C$ die Elemente $2$ und $8$ enthalten sind. Diese sind nur in der Menge $C$ enthalten. Nun überprüfen wir, ob das Komplement auch wirklich stimmt: Wir entfernen aus der Menge $C$ die Elemente $2$ und $8$. Übrig bleibt die Menge $\{4; 6; 9\}$. Es ist also $C \setminus \{2; 8\}=\{4; 6; 9\}$.

  Beispiel 3: $\{1; 3; 5\}~\cap$ ? $=\emptyset$

  Hier ist eine Menge gesucht, welche elementfremd zu der Menge $\{1; 3; 5\}$ ist. Wir müssen somit prüfen, in welcher der Mengen $A$, $B$ und $C$ alle drei Elemente, also $1$, $3$ und $5$, nicht enthalten sind. Dieses Verhältnis ist für Menge $C$ erfüllt. Es ist $\{1; 3; 5\}\cap C=\emptyset$.

• Definiere die unterschiedlichen Verhältnisse von Mengen.

  Tipps

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $A=\{1;4;5;7\}$ und $B=\{4;5\}$

  Die Menge $B$ ist eine Teilmenge der Menge $A$.

  Gegeben sind die Mengen $C=\{1;3;7;9\}$ und $D=\{3;9\}$.

  Die Menge $E=\{1;7\}$ ist das Komplement der Menge $D$ bezüglich der Menge $C$.

  Lösung

  Um einen sicheren Umgang mit Mengen zu ermöglichen, müssen wir zunächst mit den Begriffen vertraut sein. Im Folgenden werden die Verhältnisse definiert und zusätzlich wird die jeweilige mathematische Schreibweise angegeben.

  Teilmenge

  Ist die Menge $A$ komplett in der Menge $M$ enthalten, während $M$ noch weitere zusätzliche Elemente enthält, so ist die Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $M$. Wir schreiben dann $A\subset M$.

  Gleichheit von Mengen

  Die Menge $A$ ist identisch mit der Menge $M$. Das heißt, dass alle Elemente der Menge $A$ allen Elementen der Menge $M$ entsprechen. Wir schreiben dann $A=M$.

  Elementfremde Mengen

  Die Menge $A$ und die Menge $M$ sind komplett voneinander verschieden. Das heißt, dass kein Element der Menge $A$ in der Menge $M$ enthalten ist. Wir schreiben dann $A\cap M=\emptyset$.

  Komplement

  Ist $M$ eine Teilmenge von $A$ und wir betrachten alle Elemente die in $A$, aber nicht in $M$ enthalten sind, so handelt es sich um das Komplement der Menge $M$ bezüglich der Menge $A$. Wir schreiben dann $A\setminus M$.

• Untersuche die Aussagen auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  Es sei $D=\{a; b; c; f\}$ und $E=\{b; c\}$.

  Dann ist $D\subset E=\{a; f\}$.

  Die Menge $\{\text{super}; \text{prima}; \text{hervorragend}\}$ ist Teilmenge der Menge $\{\text{super}; \text{toll}; \text{prima}; \text{hervorragend}; \text{fantastisch}\}$.

  Lösung

  Gegeben sind folgende Mengen:

  • $A=\{1; 6; 8; 9; 10\}$
  • $B=\{1; 2; 5; 6; 8; 9; 10; 11\}$
  • $C=\{2; 5; 11\}$

  Zunächst überprüfen wir, wie diese Mengen zueinander stehen. Wir erkennen, dass folgende Verhältnisse gelten:

  • $A\subset B$
  • $C\subset B$

  Die Mengen $A$ und $C$ sind also Teilmengen der Menge $B$. Zudem gelten diese Verhältnisse:

  • $B\setminus A=\{2; 5; 11\}=C$
  • $B\setminus C=\{1; 6; 8; 9; 10\}=A$
  • $B\setminus A=\{2; 5; 11\}\subset B$

  Die übrig bleibenden beiden Verhältnisse hingegen sind nicht korrekt. Lass uns das überprüfen:

  • $A\setminus C=\{1; 6; 8; 9; 10\}=A\neq \emptyset$
  • $B\setminus C=\{1; 6; 8; 9; 10\}=A\not\subset C$