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Mengenlehre

Die Mengenlehre beschäftigt sich mit Mengen. Man kann aus einer oder mehreren Mengen weitere Mengen durch Mengenoperationen erzeugen oder sie miteinander durch Mengenrelationen vergleichen.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist eine Menge?

Wir schauen uns zunächst einmal die Definition von Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) an. Georg Cantor war ein deutscher Mathematiker und gilt als der Begründer der Mengenlehre. Er sagt:

„Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung MM von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten (ee) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von MM genannt werden) zu einem Ganzen.“

Das hört sich ziemlich kompliziert an. Schauen wir uns also gleich einmal ein paar Beispiele für Mengen an. Wir werden sehen, das ist gar nicht so kompliziert.

Die Menge der natürlichen Zahlen

Du kennst sicher schon die Menge der natürlichen Zahlen N={0;1;2;3;4;...}\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}. Hinter der 44 folgen noch viele weitere Zahlen. Dies wird durch drei Punkte angedeutet.

Jede einzelne Zahl, also 00, 11, 22, 33, 44 und so weiter, wird als Element der Menge N\mathbb{N} bezeichnet.

Die Mengenschreibweise

Du schreibst die Elemente einer Menge immer in geschwungenen Klammern:

  • Links steht die öffnende Klammer „{\{“ und
  • rechts steht die schließende Klammer „}\}“.

Beispiele:

  • M1={M_1=\{Kopf, Zahl}\}
  • M2={2;3;5;7;11;...}M_2=\{2;3;5;7;11;...\}, die Menge der Primzahlen
  • M3={}M_3=\{\}: Da ist ja gar kein Element in der Menge. Wir nennen dies die „leere“ Menge. Die kannst du auch so schreiben: M=M=\emptyset.
  • M4={a;b;c;d}M_4=\{a;b;c;d\}

Die Kardinalität einer Menge

Bei einigen Mengen kannst du zählen, wie viele Elemente sich in dieser Menge befinden. Die Anzahl der Elemente einer Menge wird als Kardinalität card(M)(M) oder auch Mächtigkeit der Menge MM bezeichnet.

  • card(M1)=2(M_1)=2
  • In M2M_2 befinden sich unendlich viele Elemente.
  • card(M3)=0(M_3)=0
  • card(M4)=4(M_4)=4

Das Elementzeichen

Die Schreibweise dafür, dass ein Element ee in einer Menge MM liegt, sieht so aus:

eMe\in M.

Wir sagen „ee ist ein Element von MM.“ oder „ee liegt in der Menge MM.“ \in ist das Elementzeichen.

Wenn ein Element nicht in einer Menge liegt, wird das Elementzeichen durchgestrichen. e∉Me\not \in M bedeutet also, dass ee nicht in MM liegt.

Zusammenfassend können wir feststellen, dass eine Menge eine Gesamtheit von Elementen ist.

Wie können Mengen dargestellt werden?

Die Aufzählung aller Elemente

Eine Menge kann durch Aufzählung all ihrer Elemente dargestellt werden. Dies ist natürlich nur dann möglich, wenn dies nicht zu viele oder sogar unendlich viele Elemente sind:

M={1;2;3;4}M=\{1;2;3;4\}.

Wenn sich viel mehr Elemente in der Menge befinden, wird dies wenn möglich mit drei Punkten abgekürzt. Die natürlichen Zahlen von 11 bis 100100 lassen sich mit der sogenannten elliptischen Schreibweise aufschreiben:

M={1;2;3;...;98;99;100}M=\{1;2;3;...;98;99;100\}.

Es wäre viel zu aufwändig, alle Elemente aufzuschreiben. Manchmal ist auch dies nicht möglich.

Die Beschreibung der Elemente

Auch hier schauen wir uns wieder einen Zahlenbereich an, nämlich den der rationalen Zahlen oder auch Bruchzahlen:

Q={ab; aZ; bN; b0}\mathbb{Q}=\left\{\frac ab;~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}.

Mit dieser mathematischen Formulierung werden alle rationalen Zahlen beschrieben.

Du könntest auch eine andere Eigenschaft beschreiben:

M={x  xM=\{x~|~x ist ein Wochentag}\}.

Dies kannst du wie folgt lesen: „MM ist die Menge aller xx, für die gilt, dass xx ein Wochentag ist.“ Diese Menge kannst du auch in aufzählender Schreibweise darstellen:

M={M=\{Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag}\}.

Welche Beziehungen können zwischen Mengen gelten?

Die Teilmengenbeziehung

Eine Menge BB kann komplett in einer anderen Menge AA liegen.

2990_A_Teilmenge_B.jpg

Das bedeutet, dass jedes Element, welches in BB liegt, auch gleichzeitig in AA liegt. Aus eB e\in B~ folgt, dass  eA~e\in A.

Die Schreibweise für die Teilmengenbeziehung sieht so aus: BAB\subset A. Wir sagen „BB ist eine Teilmenge von AA.“

Beispiel:

  • A={1;2;3;4;5;6}A=\{1;2;3;4;5;6\}, die natürlichen Zahlen von 11 bis 66, und
  • B={2;4;6}B=\{2;4;6\}, die ganzen Zahlen bis zur Zahl 66.

Jede Zahl, die in BB liegt, liegt auch in AA. Mathematisch schreiben wir also BAB\subset A.

Übrigens gibt es auch das Zeichen „\subseteq“. Es bedeutet, dass die eine Menge eine Teilmenge der anderen ist, dass die Mengen aber theoretisch auch identisch sein können.

Schauen wir uns eine Darstellung der Zahlenbereiche an. Welche Zahlenbereiche kennst du schon?

2990_Zahlenbereiche.jpg

Auch hier gilt die Teilmengenbeziehung: Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen sind wiederum eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen ist eine Teilmenge der reellen Zahlen. Es gibt noch einen weiteren Zahlenbereich, den der komplexen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

Folgende Eigenschaften gelten in diesen Zahlenbereichen:

  • Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.
  • Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
  • Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.
  • Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl.

Umgekehrt gilt dies aber nicht. Nicht jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl (zum Beispiel 2-2).

NZQRC\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}

Die Mengengleichheit

Zwei Mengen heißen gleich, wenn all ihre Elemente übereinstimmen: A=BA=B.

Beispiel:

  • A={1;2;3;4;5;6}A=\{1;2;3;4;5;6\}
  • B={xN  x6}B=\{x\in\mathbb{N}~|~x\le 6\}

BB beschreibt ebenfalls die natürlichen Zahlen von 11 bis 66, nur dass die Menge hier in beschreibender Weise angegeben ist.

Zwei Mengen sind verschieden

Zwei Mengen können auch komplett verschieden sein. Das bedeutet, dass es keine Elemente gibt, die sowohl in der einen Menge als auch in der anderen liegen.

2990_A_ungleich_B.jpg

Solche Mengen werden auch elementefremd oder durchschnittsfremd genannt. Dafür gibt es einen weiteren Begriff. Wir sagen: „Diese beiden Mengen sind disjunkt.“

Beispiel:

  • A={1;2;3;4;5;6}A=\{1;2;3;4;5;6\}
  • B={7;8;9;10;11;12}B=\{7;8;9;10;11;12\}

In AA befinden sich die natürlichen Zahlen 11 bis 66 und in BB die natürlichen Zahlen 77 bis 1212. Offensichtlich kommen keine Elemente doppelt vor. AA und BB sind also disjunkt.

Mengenoperationen

Mengen können auch miteinander verknüpft werden. Im Folgenden lernst du verschiedene Mengenoperationen kennen.

Der Schnitt zweier Mengen

Der Schnitt zweier Mengen AA und BB ist wieder eine Menge. In dieser Menge befinden sich alle Elemente, die sich in der Menge AA und in der Menge BB befinden. Der mengentheoretische Schnitt entspricht dem logischen „und“:

2990_A_geschnitten_B.jpg

AB={x  xA und xB}A\cap B=\{x~|~x\in A~\text{und}~x\in B\}.

Beispiel:

  • A={1;2;3;4;5;6}A=\{1;2;3;4;5;6\}
  • B={4;5;6;7;8;9;10}B=\{4;5;6;7;8;9;10\}

Dann ist AB={4;5;6}A\cap B=\{4;5;6\}.

Die Vereinigung zweier Mengen

Die Vereinigung zweier Mengen AA und BB ist auch wieder eine Menge. In dieser Menge befinden sich alle Elemente, die sich in der Menge AA oder in der Menge BB befinden. Die mengentheoretische Vereinigung entspricht demzufolge logischen „oder“:

2990_A_vereinigt_B.jpg

AB={x  xA oder xB}A\cup B=\{x~|~x\in A~\text{oder}~x\in B\}.

Beispiel:

  • A={1;2;3;4;5;6}A=\{1;2;3;4;5;6\}
  • B={4;5;6;7;8;9;10}B=\{4;5;6;7;8;9;10\}

Dann ist AB={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}A\cup B=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}.

Die Mengendifferenz

Unter der Mengendifferenz von AA und BB versteht man die Menge aller Elemente, die zwar in AA liegen, allerdings nicht in BB:

2990_A_minus_B.jpg

AB={x  xA aber x∉B}A\setminus B=\{x~|~x\in A~\text{aber}~x\not\in B\}.

Beispiel:

  • A={1;2;3;4;5;6}A=\{1;2;3;4;5;6\}
  • B={4;5;6;7;8;9;10}B=\{4;5;6;7;8;9;10\}

Dann ist AB={1;2;3}A\setminus B=\{1;2;3\}.

Das kartesische Produkt

Das kartesische Produkt zweier Mengen AA und BB schauen wir uns abschließend noch an einem Beispiel an. Auch das kartesische Produkt ist eine Menge. In dieser befinden sich alle Paare, welche sich ergeben, wenn die eine Koordinate ein Element aus AA und die andere ein Element aus BB ist:

A×B={(xy)  xA und yB}A\times B=\{(x|y)~|~x\in A~\text{und}~y\in B\}.

Beispiel:

  • A={1;2;3}A=\{1;2;3\}
  • B={0;1}B=\{0;1\}

Dann ist A×B={(10);(11);(20);(21);(30);(31)}A\times B=\{(1|0);(1|1);(2|0);(2|1);(3|0);(3|1)\}.