Vierfeldertafel – Einführung

Vierfeldertafel – Einführung Übung

• Bestimme die absoluten Häufigkeiten der Ereignisse.

  Tipps

  Im Inneren der Vierfeldertafel stehen jeweils die Und-Verknüpfungen der beiden Ereignisse. Das heißt, in der zweiten Spalte und zweiten Zeile steht die Häufigkeit für $H \cap S$.

  Berechne die Summe von zwei benachbarten Zellen, um die letzte Spalte zu erhalten. Die Summe von zwei Zellen, die untereinander stehen, geben die letzte Zeile.

  Lösung

  In den inneren vier Zellen der Vierfeldertafel stehen die Und-Verknüpfungen der beiden Ereignisse. Das heißt, $87$ ist die Anzahl der Singlehaushalte mit Hund ($H \cap S$). Wir wissen, dass es insgesamt $312$ Singlehaushalte gibt. Wenn $87$ davon mit Hund sind, müssen $312 - 87 = 225$ davon ohne Hund sein. Das bedeutet, in die Zelle für $\bar{H} \cap S$ tragen wir $225$ ein.

  Auf die gleiche Weise rechnen wir die restlichen freien Zellen aus. Die Grundmenge beträgt $1000$. Da es $312$ Singlehaushalte gibt, erhalten wir $1000 - 312 = 688$ Mehrpersonenhaushalte.

  Von den $688$ Mehrpersonenhaushalten sind $551$ ohne Hund. Damit gibt es $688 - 551 = 137$ Mehrpersonenhaushalte mit Hund.

  Als Letztes berechnen wir die Gesamtanzahl der Haushalte mit Hund, indem wir $1000 - 776 = 224$ rechnen.

  Alternativ können wir hier auch die Spalte $H$ summieren, um auf die Gesamtanzahl der Haushalte mit Hund zu kommen: $87 + 137 = 224$.

• Berechne die relativen Häufigkeiten der Ereignisse.

  Tipps

  Berechne die fehlenden relativen Häufigkeiten der Und-Verknüpfungen, indem du die gegebenen relativen Häufigkeiten von dem Gesamten abziehst.

  Beispiel: Wir haben insgesamt $45\ \%$ Schulen mit Katze ($K$) und $12\ \%$ Grundschulen mit Katze ($G \cap K$), dann müssen wir

  $45\ \% - 12\ \% = 33\ \%$

  weiterführende Schulen mit Katze ($\bar{G} \cap K$) haben.

  In der letzten Spalte und letzten Zeile steht die Grundmenge. Das ist die Gesamthäufigkeit aller Merkmale, die betrachtet werden. In einer Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten steht an dieser Stelle eine $1$. Das musst du noch als Prozentzahl angeben.

  Lösung

  Um die Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten bzw. Wahrscheinlichkeiten auszufüllen, müssen wir die absoluten Häufigkeiten durch die Grundmenge teilen. Wenn wir in der Tabelle pro Zeile oder Spalte aber schon zwei Informationen gegeben haben, können wir die dritte ausrechnen ohne die Division durch die Grundmenge zu berechnen.

  In der zweiten Zeile haben wir die relative Gesamthäufigkeit von Ereignis $S$ gegeben und die relative Häufigkeit von der Und-Verknüpfung $\bar{H} \cap S$. Um die Und-Verknüpfung $H \cap S$ zu bekommen, rechnen wir

  $31{,}2\ \% - 22{,}5\ \% = 8{,}7\ \%$.

  Das heißt, in die erste leere Zelle kommt $8{,}7\ \%$.

  Wir wissen außerdem, dass die Zelle in der letzten Zeile und letzte Spalte immer die Grundmenge durch die Grundmenge, also $1$ ist. Dort haben wir die Wahrscheinlichkeit $100\ \%$.

  Damit können wir die weiteren leeren Zellen in der letzten Spalte und der letzten Zeile berechnen.

  Für die Wahrscheinlichkeit von $\bar{H}$ erhalten wir:

  $100\ \% - 22{,}4\ \% = 77{,}6\ \%$.

  Und für die Wahrscheinlichkeit von $\bar{S}$ ergibt sich:

  $100\ \% - 31{,}2\ \% = 68{,}8\ \%$.

  Nun fehlt noch die Wahrscheinlichkeit für die Und-Verknüpfung $\bar{H} \cap \bar{S}$, die wir auf die gleiche Weise berechnen:

  $68{,}8\ \% - 13{,}7\ \% = 55{,}1\ \%$.

  Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von $55{,}1\ \%$, dass gleichzeitig $\bar{H}$ und $\bar{S}$ eintreten.

• Gib an, wie eine Vierfeldertafel aufgebaut ist.

  Tipps

  Überlege, was ein Merkmal und was eine Ausprägung ist. Wie viele Merkmale muss es geben, um eine Vierfeldertafel aufstellen zu können?

  Die Vierfeldertafel beinhaltet die Häufigkeiten der Und-Verknüpfungen und die Summen der Häufigkeiten. Wo müssen diese in der Tabelle jeweils stehen?

  Bei relativen Häufigkeiten handelt es sich um Wahrscheinlichkeiten. Wenn ich insgesamt $5$ Bälle habe und genau $3$ davon rot sind, ist die Wahrscheinlichkeit einen roten Ball zu ziehen $\frac{3}{5}$. Hier wird die Anzahl der roten Bälle also durch die Gesamtanzahl bzw. die Grundmenge geteilt.

  Auf gleiche Weise lassen sich die relativen Häufigkeiten in der Vierfeldertafel berechnen. Wie muss das aussehen?

  Lösung

  Bei einer Vierfeldertafel haben wir immer zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen.

  $\rightarrow$ Vierfeldertafeln unterscheiden eine Grundmenge bezüglich zweier Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen. korrekt

  $\rightarrow$ Vierfeldertafeln unterscheiden eine Grundmenge bezüglich eines Merkmals mit zwei Ausprägungen. falsch

  Beispiel: Wir haben eine Menge von $20$ Kreisen ($K$) und Quadraten ($Q$), die jeweils rot ($r$) und blau ($b$) sein können. Das heißt, wir haben die zwei Merkmale Form und Farbe. Aus dieser Menge können wir verschiedene Informationen nehmen. So können wir zum Beispiel alle Kreise alleine betrachten, aber auch alle roten Formen. Genauso können wir auch die Und-Verknüpfungen betrachten, zum Beispiel alle roten Kreise oder alle blauen Quadrate.

  Die Vierfeldertafel gibt hier die Häufigkeiten beider Merkmale mit den Verknüpfungen der Ausprägungen an. So könnte eine solche Vierfeldertafel aussehen:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & K & Q & \mathrm{gesamt} \\ & & & \\ \hline & & & \\ r & 5 & 8 & 13 \\ & & & \\ \hline & & & \\ b & 3 & 4 & 7 \\ & & & \\ \hline & & & \\ \mathrm{gesamt} & 8 & 12 & 20 \end{array}$

  Wir können jetzt zum Beispiel aus der Vierfeldertafel ablesen, dass es $5$ rote Kreise gibt.

  Im Inneren der Vierfeldertafel stehen immer die Und-Verknüpfungen der Ausprägungen und in der letzten Spalte und der letzten Zeile stehen dann jeweils die Summen der Häufigkeiten.

  $\rightarrow$ In den vier inneren Zellen der Vierfeldertafel stehen die Häufigkeiten der Und-Verknüpfungen. korrekt

  $\rightarrow$ In den vier inneren Zellen der Vierfeldertafel stehen jeweils die Summen der Häufigkeiten. falsch

  Die relativen Häufigkeiten bzw. die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen erhalten wir, indem wir alle Zahlen durch die Grundmenge teilen.

  $\rightarrow$ Um die relativen Häufigkeiten der inneren vier Zellen zu erhalten, müssen sie durch die Gesamthäufigkeit, die in der letzten Spalte bzw. letzten Zeile steht, geteilt werden. falsch

  Beispiel: Bei dem oberen Beispiel sieht die Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten folgendermaßen aus:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & K & Q & \mathrm{gesamt} \\ & & & \\ \hline & & & \\ r & \dfrac{5}{20} = 0{,}25 & \dfrac{8}{20} = 0{,}4 & \dfrac{13}{20} = 0{,}65 \\ & & & \\ \hline & & & \\ b & \dfrac{3}{20} = 0{,}15 & \dfrac{4}{20} = 0{,}2 & \dfrac{7}{20} = 0{,}35 \\ & & & \\ \hline & & & \\ \mathrm{gesamt} & \dfrac{8}{20} = 0{,}4 & \dfrac{12}{20} = 0{,}6 & \dfrac{20}{20} = 1 \end{array}$

• Ermittle die absoluten Häufigkeiten in der Vierfeldertafel.

  Tipps

  Die Grundmenge ist die Summe aller Menschen mit und ohne Haustier. Sie ist außerdem die Summe aller Menschen unter und über $20$ Jahren.

  Im Inneren der Vierfeldertafel stehen die Und-Verknüpfungen der Ausprägungen und in der letzten Spalte und letzten Zeile stehen die Summen der Häufigkeiten.

  Lösung

  Die Lücken der Vierfeldertafel können wir ganz einfach ausrechnen. Sobald in einer Zeile oder Spalte zwei Informationen gegeben sind, lässt sich die letzte Information berechnen.

  In der zweiten Zeile der Tabelle sehen wir, dass insgesamt $96$ Menschen unter $20$ befragt worden sind. Davon haben $42$ ein Haustier. Also haben

  $96 - 42 = 54$

  Menschen unter $20$ kein Haustier.

  In der nächsten Zeile fehlen $2$ Einträge. Hier können wir also nicht auf gleiche Weise rechnen. Zuerst müssen wir einen der leeren Zellen separat berechnen. Wir wissen, dass die Grundmenge $200$ ist und dass es insgesamt $96$ unter $20$ gibt. Der Rest

  $200 - 96 = 104$

  muss dann die Häufigkeit der Menschen über $20$ sein. Mit dieser Information können wir die Und-Verknüpfung
  $H \cap \bar{A}$ berechnen. Von den $104$ Menschen über $20$ haben $63$ kein Haustier. Das heißt,

  $104 - 63 = 41$

  der über $20$-Jährigen besitzen ein Haustier.

  Und als Letztes bleibt die Häufigkeit aller Menschen mit einem Haustier. Das ist die Summe der Menschen unter und über $20$, die ein Haustier besitzen:

  $42 + 41 = 83$.

  Damit haben wir alle Zellen der Vierfeldertafel ausgefüllt:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & H & \bar{H} & \mathrm{gesamt} \\ & & & \\ \hline & & & \\ A & 42 & 54 & 96 \\ & & & \\ \hline & & & \\ \bar{A} & 41 & 63 & 104\\ & & & \\ \hline & & & \\ \mathrm{gesamt} & 83 & 117 & 200 \end{array}$

• Benenne, was in den Zellen der Vierfeldertafel steht.

  Tipps

  Um das Innere der Vierfeldertafel zu bestimmen, musst du sowohl die Spalte als auch die Zeile betrachten.

  Beispiel: In der Spalte mit der Beschriftung $H$ und Zeile mit der Beschriftung $S$ wird die Zelle mit ihrer Verknüfung, also $H \cap S$, ausgefüllt.

  In der letzten Spalte und letzten Zeile steht immer die Grundmenge. Diese wird bezüglich der zwei Merkmale mit den zwei Ausprägungen betrachtet. Die Summe von $H$ und $\bar{H}$ muss ebenso wie die Summe von $S$ und $\bar{S}$ die Grundmenge ergeben.

  Lösung

  In einer Vierfeldertafel werden zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen mit ihren Häufigkeiten dargestellt. Dabei ist es wichtig, dass ein Merkmal mit ihren beiden Ausprägungen immer nebeneinander bzw. bei einer Spalte untereinander steht.

  Damit bekommen wir zunächst die folgende Tabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & H & \bar{H} & \\ & & & \\ \hline & & & \\ S & & & \\ & & & \\ \hline & & & \\ \bar{S} & & & \\ & & & \\ \hline & & & \\ & & & \end{array}$

  In den inneren vier Zellen der Vierfeldertafel kommen dann die Und-Verknüpfungen der beiden Merkmale. Also:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & H & \bar{H} & \\ & & & \\ \hline & & & \\ S & H \cap S & \bar{H} \cap S & \\ & & & \\ \hline & & & \\ \bar{S} & H \cap \bar{S} & \bar{H} \cap \bar{S} & \\ & & & \\ \hline & & & \\ & & & \end{array}$

  In die letzte Spalte und letzte Zeile tragen wir die Gesamthäufigkeiten der jeweiligen Merkmale an:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & H & \bar{H} & \mathrm{gesamt} \\ & & & \\ \hline & & & \\ S & H \cap S & \bar{H} \cap S & \mathrm{Häufigkeit\ von\ } S \\ & & & \\ \hline & & & \\ \bar{S} & H \cap \bar{S} & \bar{H} \cap \bar{S} & \mathrm{Häufigkeit\ von\ } \bar{S} \\ & & & \\ \hline & & & \\ \mathrm{gesamt} & \mathrm{Häufigkeit\ von\ } H & \mathrm{Häufigkeit\ von\ } \bar{H} & \mathrm{Grundmenge} \end{array}$

  Das bedeutet, im Inneren der Tabelle stehen die Und-Verknüpfungen und in der letzten Zeile und der letzten Spalte stehen die Summen der Häufigkeiten.

• Arbeite die relativen Häufigkeiten der Ereignisse aus dem Text heraus.

  Tipps

  In welche Lücken müssen die gegebenen Zahlen eingetragen werden? Rechne diese in relative Häufigkeiten um und trage sie dann in die Tabelle ein.

  Wenn eine Zeile oder eine Spalte nur noch eine freie Lücke hat, kannst du diese ausrechnen, indem du die anderen beiden Lücken entweder addierst oder voneinander abziehst. Die Addition von den inneren beiden benachbarten Lücken gibt die äußere Lücke.

  Um die relative Häufigkeit von einem Bruch in eine Prozentzahl umzuwandeln, kannst du den Bruch als eine Division betrachten und diese Division durchführen.

  Beispiel: Um den Bruch $\dfrac{2}{8}$ in eine Dezimalzahl umzuwandeln, rechnen wir:

  $\begin{array}{ll} & \ \ \ \ 2 & : 8 = 0{,}25 \\ &\underline{-(0)} & \\ & \ \ \ \ \ 20 & \\ &\ \underline{ -(16)} & \\ &\ \ \ \ \ \ \ 40 & \\ &\ \ \ \underline{-(40)} & \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 & \end{array}$

  Lösung

  Wir haben folgende Ereignisse:

  $L:$ Es handelt sich um eine Lehrkraft.

  $S:$ Es handelt sich um eine Schülerin oder ein Schüler.

  $B:$ Ein Bild, das von den Schülerinnen und Schülern gemalt wurde, wird bevorzugt.

  $\bar{B}:$ Eine schlichte Farbe wird bevorzugt.

  Achtung: In diesem Beispiel heißen die Ereignisse $L$ und $S$. Wir hätten sie auch $L$ und $\bar{L}$ nennen können. Solange die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, das heißt die Anzahl von $L$ und die Anzahl von $S$ gleich $800$ beträgt und es keine Person gibt, die sowohl Lehrkraft als auch Schülerin oder Schüler ist, können wir die Vierfeldertafel aufstellen wie gewohnt. Dies ist hier der Fall.

  Wir wissen, dass es $800$ Schülerinnen, Schüler und Lehrkräfte gibt. Darunter sind $80$ Lehrkräfte. Das heißt, die relative Häufigkeit der Lehrkräfte beträgt

  $\dfrac{80}{800} = 0{,}1 = 10\ \%$.

  Von den $80$ Lehrkräften sind $16$ dafür, dass der Eingangsbereich in einer schlichten Farbe angemalt wird. Das ist die Und-Verknüpfung $L \cap \bar{B}$, denn es handelt sich um eine Lehrkraft und es wird eine schlichte Farbe bevorzugt. Diese absolute Häufigkeit rechnen wir in eine relative Häufigkeit um:

  $\dfrac{16}{800} = \dfrac{2}{100} = 0{,}02 = 2\ \%$.

  Außerdem wissen wir, dass $580$ Personen ein Bild bevorzugen, das von den Schülerinnen und Schülern gemalt wurde. Diese absolute Häufigkeit können wir auf gleiche Weise in eine relative Häufigkeit umwandeln:

  $\dfrac{580}{800} = \dfrac{145}{200} = \dfrac{725}{1000} = 0{,}725 = 72{,}5\ \%$.

  Hier haben wir den Bruch $\dfrac{580}{800}$ zuerst gekürzt, um es dann leichter auf den Nenner $1000$ zu erweitern, um dann den Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Alternativ könntest du auch die schriftliche Division $580 : 800 = 0{,}725$ durchführen. Nun haben wir alle gegebenen Zahlen in relative Häufigkeiten umgewandelt. Diese können wir direkt in die Vierfeldertafel einsetzen:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & L & S & \mathrm{gesamt} \\ & & & \\ \hline & & & \\ B & & & 72{,}5\ \% \\ & & & \\ \hline & & & \\ \bar{B} & 2\ \% & & \\ & & & \\ \hline & & & \\ \mathrm{gesamt} & 10\ \% & & 100\ \% \end{array}$

  Jetzt rechnen wir nach und nach die fehlenden Lücken aus. Immer wenn wir eine Zeile oder Spalte haben, in der zwei Informationen gegeben und eine Information fehlt, können wir diese durch Addition oder Subtraktion der anderen Werte berechnen.

  Wenn $10\ \%$ der $800$ Menschen Lehrkräfte sind, müssen $100\ \% - 10\ \% = 90\ \%$ Schülerinnen und Schüler sein. Es bevorzugen $72{,}5\ \%$ der $800$ Menschen ein Bild, das von den Schülerinnen und Schülern gemalt wurde. Das bedeutet

  $100\ \% - 72{,}5\ \% = 27{,}5\ \%$

  bevorzugen eine schlichte Farbe. Von den Lehrkräften, die insgesamt $10\ \%$ der Gesamtanzahl der Menschen ausmachen, bevorzugen $2\ \%$ eine schlichte Farbe. Damit wollen die restlichen

  $10\ \% - 2\ \% = 8\ \%$

  ein Bild, das von den Schülerinnen und Schülern gemalt wurde. Beachte, dass es sich hier wieder um eine Und-Verknüpfung ($L \cap B$) handelt. Es gibt $72{,}5\ \%$ Menschen, die ein Bild der Schülerinnen und Schüler wollen, wovon $8\ \%$ Lehrkräfte sind. Das bedeutet, die restlichen

  $72{,}5\ \% - 8\ \% = 64{,}5\ \%$

  müssen Schülerinnen und Schüler sein. Diese Zahl können wir benutzen, um zu berechnen, wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler eine schlichte Farbe wollen:

  $90\ \% - 64{,}5\ \% = 25{,}5\ \%$.

  Das heißt, $25{,}5\ \%$ der $800$ Menschen sind Schülerinnen und Schüler und sie bevorzugen eine schlichte Farbe. Die restlichen Zahlen können wir nun in die Vierfeldertafel eintragen:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & L & S & \mathrm{gesamt} \\ & & & \\ \hline & & & \\ B & 8\% & 64{,}5\ \% & 72{,}5\ \% \\ & & & \\ \hline & & & \\ \bar{B} & 2\ \% & 25{,}5\ \% & 27{,}5\ \% \\ & & & \\ \hline & & & \\ \mathrm{gesamt} & 10\ \% & 90\ \% & 100\ \% \end{array}$

  Alternatives Vorgehen: Statt jede Zahl direkt in eine relative Häufigkeit umzuwandeln, können wir auch die Vierfeldertafel zuerst mit den absoluten Häufigkeiten ausfüllen und dann alle Zahlen durch die Grundmenge $800$ teilen und so die Prozentzahlen erhalten. Dafür stellen wir die Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten auf:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & L & S & \mathrm{gesamt} \\ & & & \\ \hline & & & \\ B & 64 & 516 & 580 \\ & & & \\ \hline & & & \\ \bar{B} & 16 & 204 & 220 \\ & & & \\ \hline & & & \\ \mathrm{gesamt} & 80 & 720 & 800 \end{array}$

  Indem wir die Zahlen in der Tabelle in relative Häufigkeiten umwandeln, können wir das gewünschte Ergebnis erhalten.