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- Wahrscheinlichkeiten mit dem Gegenereignis berechnen (Komplementärregel)
Wahrscheinlichkeiten mit dem Gegenereignis berechnen (Komplementärregel)
Erfahre, wie Ereignisse und ihre Gegenereignisse zusammen die gesamte Ergebnismenge umfassen. Die Komplementärregel besagt: $P(E) + P(\bar{E}) = 1$. Möchtest du mehr über die Anwendung und Berechnung erfahren? Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Wahrscheinlichkeiten mit dem Gegenereignis berechnen (Komplementärregel)
Einführung: Was ist ein Komplementärereignis?
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnen wir die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments als Ergebnisse. In der Ergebnismenge $\Omega$ werden alle Ergebnisse zusammengefasst. Ein Ereignis $E$ ist eine Teilmenge der Ergebnismenge: $E \subset \Omega$. Sie besteht aus allen Ergebnissen, die zu dem Ereignis gehören. Das Komplementärereignis oder Gegenereignis $\bar{E}$ zu einem Ereignis $E$ umfasst alle Ergebnisse, die nicht zu $E$ gehören.
Komplementärereignis: Beispiele beim Würfeln:
- $E: \text{'gerade'} \rightarrow \bar{E}: \text{'ungerade'}$
- $E: \text{'größer als } 4 \text{'} \rightarrow \bar{E}: \text{'kleiner gleich } 4\text{'}$
Das Gegenereignis kann dir auch helfen, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen. Dazu nutzen wir die Komplementärregel, die im Folgenden einfach erklärt wird.
Was ist die Komplementärregel?
Die Komplementärregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten von einem Ereignis $E$ und seinem Gegenereignis $\bar{E}$ immer $1$ ergeben. Dies ergibt sich daraus, da das Gegenereignis $\bar{E}$ stets alle Ergebnisse umfasst, die nicht zum Ereignis $E$ gehören. Zusammen umfassen beide Ereignisse daher ganz $\Omega$. Es gilt: $P(E) + P(\bar{E}) = 1$
Komplementärregel – Definition
$P(E_{1}) + P(E_{2}) = 1$, falls gilt: $E_{1} \cap E_{2} = \emptyset$ und $E_{1} \cup E_{2} = \Omega$
Ein Ereignis und sein Gegenereignis erfüllen immer diese Bedingungen. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge: $E \cap \bar{E} = \emptyset$, wir sprechen auch von disjunkten Ereignissen. Und ihre Vereinigungsmenge ist die gesamte Ergebnismenge: $E \cup \bar{E} = \Omega$.
Komplementärregel – Beispiel
Betrachten wir am Beispiel einer Münze, die zweimal geworfen wird, wie wir mit der Komplementärregel Wahrscheinlichkeiten schneller bestimmen können. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E: \text{mindestens einmal Sofa}$ berechnen.
Du siehst hier das Baumdiagramm zu unserem Zufallsversuch. Das Ereignis $E$ umfasst die drei Ergebnisse $(\text{Sofa, Sofa}), \text{(Sofa, Zahl})$ und $\text{(Zahl, Sofa})$. Wir könnten nun mit der Pfadregel die drei Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse berechnen und zur Wahrscheinlichkeit von $E$ addieren.
Schneller und einfacher können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ermitteln, indem wir das Gegenereignis $\bar{E}$ betrachten: Das wäre hier $\bar{E}: \text{keinmal Sofa}$. Im Baumdiagramm ist dies gut zu erkennen. Es besteht aus allen Pfaden, die nicht zu $E$ gehören. In unserem Beispiel umfasst $\bar{E}$ also nur das Ergebnis $\text{(Zahl, Zahl})$, dessen Wahrscheinlichkeit wir mit der Pfadregel direkt berechnen können: $P(\bar{E}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
Die Komplementärregel besagt, dass gilt: $P(E) + P(\bar{E}) = 1$
Wir stellen die Gleichung nach $P(E)$ um und setzen die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses ein: $P(E) + P(\bar{E}) = 1 \vert - P(\bar{E})$ $P(E) = 1 - P(\bar{E})$ $P(E) = 1 - \frac{1}{4}$ $P(E) = \frac{3}{4}$
Zusammenfassung: Komplementärregel
Die Komplementärregel in der Stochastik besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen $E_{1}$ und $ E_{2}$ zu $1$ ergänzen, wenn für die beiden Ereignisse gilt:
- Sie sind disjunkt, das heißt, sie haben keine Schnittmenge.
- Die Vereinigung ergibt die gesamte Ergebnismenge $\Omega$.
Diese Bedingungen sind für ein Ereignis $E$ und das zugehörige Komplementär- oder Gegenereignis $\bar{E}$ immer erfüllt. Es gilt also: $P(E) + P(\bar{E}) = 1$
Wir können durch Umstellen der Gleichung direkt die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ berechnen, wenn wir $P(\bar{E})$ kennen: $P(E) = 1 - P(\bar{E})$
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Sie greifen perfekt ineinander und ergänzen sich zum Ganzen. Das Yin und Yang der Mathematik: Ereignis und Gegenereignis. Wie ihre gegensätzliche und gleichzeitig so harmonische Beziehung uns dabei hilft "Wahrscheinlichkeiten mit dem Gegenereignis zu berechnen", erfährst du in diesem Video. Wenn zwei Ereignisse zusammen genau die GESAMTE Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes abdecken, ohne dass sie sich dabei überschneiden oder einzelne Ergebnisse gar nicht abgedeckt werden, handelt es sich um ein Ereignispaar von "Ereignis" und "Gegenereignis". Der klassische Würfel ist ein schönes Beispiel, um sich das nochmal zu verdeutlichen. Insgesamt gibt es sechs Ergebnisse. Wenn wir jetzt zum Beispiel die Ergebnisse eins, drei und fünf zu dem Ereignis "ungerade Zahl" zusammenfassen, ist auch klar, welche Ergebnisse zu dem Gegenereignis gehören. Nämlich alle Ergebnisse aus der Ergebnismenge, die NICHT im Ereignis enthalten sind. Das Gegenereignis dazu, eine ungerade Zahl zu werfen, ist also eine GERADE Zahl zu werfen. Logisch! Wir können daher zu einem Ereignis und dem zugehörigen Gegenereignis grundsätzlich festhalten, dass sie keine Schnittmenge haben, also kein mögliches Ergebnis sowohl im Ereignis als auch im Gegenereignis liegt. Das schreibt man so: "E geschnitten nicht-E ist die leere Menge." Gleichzeitig liegen aber auch alle möglichen Ergebnisse entweder im Ereignis oder im Gegenereignis, sodass beide Ereignisse zusammen die GESAMTE Ergebnismenge abdecken. Das schreiben wir so: "E vereinigt mit nicht-E deckt zusammen die gesamte Ergebnismenge ab." Dieses Wissen kann sehr nützlich werden, wenn wir Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment berechnen möchten. Denn wir wissen ja, dass die Wahrscheinlichkeit für die gesamte Ergebnismenge, also für das "sichere Ereignis" immer gleich eins beziehungsweise einhundert Prozent ist. Da Ereignis und Gegenereignis die Ergebnismenge genau unter sich aufteilen, sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten in Summe auch immer gleich eins! Das nennt man "Komplementärregel". Und die ist ziemlich praktisch: Wenn wir nämlich die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses kennen, können wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ganz einfach berechnen, indem wir die Formel schnell nach der unbekannten Wahrscheinlichkeit umstellen. Wenn wir also wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl, bei drei Sechsteln, also ein Halb liegt, haben wir schnell berechnet, dass auch die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl gleich ein Halb ist. Zugegeben: Die Komplementärregel hat uns hier noch nicht wirklich viel Arbeit gespart. Aber das sieht bei dem nächsten Beispiel schon ganz anders aus! Ein Würfel wird dreimal geworfen. Dazu möchten wir berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine Sechs fällt. Jetzt ist die Ausgangslage schon komplizierter. Daher sollten wir uns zunächst überlegen, wie wir möglichst clever an die Aufgabe rangehen können. Zuerst können wir dem Ereignis "mindestens eine Sechs", das uns interessiert, eine Abkürzung geben – wir nennen es einfach "E". Die Frage ist jetzt, welche Ergebnisse, also Würfelkombinationen, zum Ereignis E führen. Uns sollte auffallen, dass es bei dieser Aufgabe gar nicht nötig ist, zwischen allen sechs Ergebnissen bei einem einzelnen Würfelwurf zu unterscheiden. Denn uns interessiert ja nur, ob eine Sechs fällt oder nicht. Jetzt können wir alle Ergebnisse auflisten, bei denen mindestens eine Sechs fällt. Das ist nämlich der Fall, wenn wir zuerst eine Sechs werfen und dann zweimal keine, nur beim zweiten oder dritten mal eine Sechs werfen, die ersten beideN Male eine Sechs werfen, und so weiter bis hin zu dem Ergebnis, dass wir dreimal eine Sechs werfen. Jetzt haben wir alle Ergebnisse, die zu unserem Ereignis E gehören. Wenn wir aber einen Schritt weitergehen und die Wahrscheinlichkeit von E bestimmen, wird es noch umständlicher. Denn dafür müssen wir die Wahrscheinlichkeit all dieser Ergebnisse addieren. Das ist ganz schön viel Rechenaufwand! Zum Glück geht es aber auch viel einfacher. Die entscheidende Frage ist nämlich, welche Ergebnisse führen eigentlich NICHT zu unserem Ereignis? In anderen Worten: Wie sieht das Gegenereignis aus? Und ja klar! Das Gegenereignis tritt nur ein, wenn gar keine Sechs fällt! Um die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis zu berechnen, müssen wir also nur EIN Ergebnis betrachten. Wenn wir jetzt noch die Pfadregeln zu Wahrscheinlichkeiten parat haben, ist die Rechnung schnell aufgestellt: "fünf Sechstel mal fünf Sechstel mal fünf Sechstel". Und das ergibt einhunderfünfundzwanzig Zweihundertsechzehntel. Jetzt dürfen wir nur nicht vergessen, dass wir nicht die Wahrscheinlichkeit für unser Ereignis, sondern für das GEGENereignis berechnet haben. Wir brauchen also noch schnell die Komplementärregel, subtrahieren den erhaltenen Wert von eins, und haben unser Endergebnis! Die Wahrscheinlichkeit mindestens eine Sechs zu würfeln beträgt einundneunzig Zweihundertsechzehntel, also circa 42,13 Prozent. Gar nicht so unwahrscheinlich! Wir fassen nochmal schnell zusammen. Die Komplementärregel für Wahrscheinlichkeiten ist immer dann nützlich, wenn wir die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis leichter berechnen können, als die für das Ereignis selbst. Meist nutzen wir sie in DIESER Form. Wenn die Berechnung also ziemlich kompliziert wird, weil das betrachtete Ereignis sehr viele mögliche Ergebnisse umfasst, kann es nicht schaden, mal über das Gegenereignis nachzudenken. Dafür müssen wir uns natürlich sicher sein, dass Ereignis und Gegenereignis zusammen auch genau alle möglichen Ergebnisse abdecken. Mit ein bisschen Übung kriegt man da aber schnell einen Blick für. Und dann können uns auch fiese Matheaufgaben nicht mehr aus dem Gleichgewicht bringen!
Wahrscheinlichkeiten mit dem Gegenereignis berechnen (Komplementärregel) Übung
-
Beschreibe Ereignis und Gegenereignis.
TippsBei einem Zufallsexperiment nennen wir die möglichen Versuchsausgänge Ergebnisse und schreiben sie in die Ergebnismenge $\Omega$.
Mehrere Ergebnisse können wir zu einem Ereignis zusammenfassen.
Beispiel Würfel:
Das Gegenereignis dazu, eine ungerade Zahl zu werfen, ist eine gerade Zahl zu werfen.LösungBei einem Zufallsexperiment nennen wir die möglichen Versuchsausgänge Ergebnisse und schreiben sie in die Ergebnismenge $\Omega$. Mehrere Ergebnisse können wir zu einem Ereignis zusammenfassen.
Wenn zwei Ereignisse zusammen genau die gesamte Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes abdecken, ohne dass sie sich dabei überschneiden oder einzelne Ergebnisse gar nicht abgedeckt werden, dann handelt es sich um ein Ereignispaar von Ereignis $E$ und Gegenereignis $\overline{E}$.
Beispiel Würfel:
Insgesamt gibt es sechs Ergebnisse. Fassen wir die Ergebnisse eins, drei und fünf zu dem Ereignis ungerade Zahl zusammen, gehören zu dem Gegenereignis alle Ergebnisse aus der Ergebnismenge, die nicht im Ereignis enthalten sind. Das Gegenereignis dazu, eine ungerade Zahl zu werfen, ist demnach eine gerade Zahl zu werfen.Wir können daher zu einem Ereignis und dem zugehörigen Gegenereignis grundsätzlich festhalten, dass sie keine Schnittmenge haben, also kein mögliches Ergebnis sowohl im Ereignis als auch im Gegenereignis liegt. Wir schreiben:
$E \cap \overline{E} = \emptyset$Gleichzeitig liegen aber auch alle möglichen Ergebnisse entweder im Ereignis oder im Gegenereignis, sodass beide Ereignisse zusammen die gesamte Ergebnismenge abdecken. Wir schreiben:
$E \cup \overline{E} = \Omega$Anwendung – die Komplementärregel:
Dies können wir nutzen, um Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment zu berechnen. Denn wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für die gesamte Ergebnismenge, also für das sichere Ereignis, immer gleich $1$ beziehungsweise $100\,\%$ ist. Da Ereignis und Gegenereignis die Ergebnismenge genau unter sich aufteilen, gilt:
$P(E) + P(\overline{E}) =1 = 100\,\%$ -
Gib die Überlegungen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit wieder, mindestens einmal eine Sechs zu würfeln.
TippsBetrachte zuerst das Ereignis $E$: Benenne es und liste alle zugehörigen Ergebnisse auf.
Erst wenn du das Gegenereignis $\overline{E}$ formuliert hast, kannst du seine Wahrscheinlichkeit bestimmen.
Als letzten Schritt formulierst du die Antwort auf die Ausgangsfrage.
LösungWir stellen zunächst einige allgemeine Überlegungen zum Ereignis und Gegenereignis an:
Wenn zwei Ereignisse zusammen genau die gesamte Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes abdecken und keine Schnittmenge haben, dann handelt es sich um ein Ereignispaar von Ereignis $E$ und Gegenereignis $\overline{E}$:
- $E \cap \overline{E} = \emptyset$
- $E \cup \overline{E} = \Omega$
Dies können wir nutzen, um Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment zu berechnen: Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für die gesamte Ergebnismenge immer gleich $1$ beziehungsweise $100\,\%$ ist. Da Ereignis und Gegenereignis die Ergebnismenge genau unter sich aufteilen, gilt:
$P(E) + P(\overline{E}) =1 = 100\,\%$Wir betrachten nun das gegebene Beispiel zum Würfelwurf:
Erster Schritt
Wir benennen das Ereignis:
$E$: mindestens eine SechsWir unterscheiden im Folgenden nur zwischen Sechs ($6$) und keine Sechs ($\overline{6}$).
Zweiter Schritt
Wir können alle Ergebnisse auflisten, die zu dem Ereignis $E$ führen:
$E = \{ (6;\overline{6};\overline{6}); (\overline{6};6;\overline{6}); (\overline{6};\overline{6};6); (6;6;\overline{6}); (6;\overline{6};6); (\overline{6};6;6); (6;6;6) \}$Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ ist sehr umständlich, da wir die Wahrscheinlichkeit für alle zugehörigen Ergebnisse bestimmen und addieren müssten. Wir verwenden daher die Komplentärregel.
Dritter Schritt
Wir betrachten das Gegenereignis: Das Gegenereignis $\overline{E}$ tritt ein, wenn gar keine Sechs fällt. Es gilt somit:
$\overline{E} = \{ (\overline{6};\overline{6};\overline{6}) \}$Vierter Schritt
Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses:
$P(\overline{E}) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{125}{216}$Fünfter Schritt
Jetzt können wir die Komplementärregel anwenden und die Wahrscheinlichkeit für $E$ berechnen:
$P(E)= 1 - P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216} \approx 42{,}13\,\%$Sechster Schritt
Wir formulieren die Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Sechs zu würfeln, beträgt also $42{,}13\,\%$. -
Formuliere das Gegenereignis.
TippsEreignis und Gegenereignis decken zusammen die gesamte Ergebnismenge ab:
$E \cup \overline{E} = \Omega$
Beispiel:
- Ereignis: Es wird eine Karte größer oder gleich $8$ gezogen.
- Gegenereignis: Es wird eine Zahl kleiner als $8$ gezogen.
LösungEreignis und Gegenereignis:
Wenn zwei Ereignisse zusammen genau die gesamte Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes abdecken, ohne dass sie sich dabei überschneiden oder einzelne Ergebnisse gar nicht abgedeckt werden, dann handelt es sich um ein Ereignispaar von Ereignis $E$ und Gegenereignis $\overline{E}$. Dabei gilt:
- Ereignis und Gegenereignis haben keine Schnittmenge: $E \cap \overline{E} = \emptyset$
- Ereignis und Gegenereignis decken zusammen die gesamte Ergebnismenge ab: $E \cup \overline{E} = \Omega$
Wir betrachten die gegebenen Beispiele:
- Ereignis: Es wird eine Karte größer als $3$ gezogen. (Das bedeutet eine $4$, $5$, $6$ etc.)
- Gegenereignis: Es wird eine $2$ oder $3$ gezogen.
- Ereignis: Es wird eine Karte größer oder gleich $3$ gezogen. (Das bedeutet eine $3$, $4$, $5$ etc.)
- Gegenereignis: Es wird eine Zahl kleiner als $3$ gezogen. (Das bedeutet eine $2$.)
- Ereignis: Es wird eine $4$ gezogen.
- Gegenereignis: Es wird keine $4$ gezogen.
- Ereignis: Es wird eine ungerade Zahl kleiner als $5$ gezogen. (Das bedeutet eine $3$.)
- Gegenereignis: Es wird keine $3$ gezogen.
-
Überprüfe die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.
TippsFormuliere jeweils zuerst das Gegenereignis und berechne dessen Wahrscheinlichkeit. Wende dann die Pfadregel an.
Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten müssen wir die Pfadregel anwenden. Dabei müssen wir beachten, dass ohne Zurücklegen gezogen wird. Das bedeutet, dass nach dem ersten Zug nur noch $6$ Kugeln und nach dem zweiten Zug nur noch $5$ Kugeln in der Urne sind.
Beispiel:
- Ereignis $E$: mindestens eine grüne Kugel
- Gegenereignis $\overline{E}$: keine grüne Kugel
$P(\overline{E}) = \dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{5}$Zwei Aussagen sind richtig.
LösungWir können die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Komplementärregel überprüfen:
Zwei Ereignisse, die zusammen genau die gesamte Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes abdecken und keine Schnittmenge haben, nennt man Ereignis $E$ und Gegenereignis $\overline{E}$.
Da die Wahrscheinlichkeit für die gesamte Ergebnismenge immer gleich $1$ beziehungsweise $100\,\%$ ist, gilt:
$P(E) + P(\overline{E}) =1 = 100\,\%$Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten müssen wir die Pfadregel anwenden. Dabei müssen wir beachten, dass ohne Zurücklegen gezogen wird. Das bedeutet, dass nach dem ersten Zug nur noch $6$ Kugeln und nach dem zweiten Zug nur noch $5$ Kugeln in der Urne sind.
Wir überprüfen die Aussagen:
Aussage 1: „Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel beträgt $\dfrac{31}{35}$.“- Ereignis $E$: mindestens eine rote Kugel
- Gegenereignis $\overline{E}$: keine rote Kugel
$P(\overline{E}) = \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{24}{210} = \dfrac{4}{35}$
Komplementärregel: $P(E)= 1 - P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{4}{35} = \dfrac{31}{35}$Alternative Überlegung: $\dfrac{4}{35} + \dfrac{31}{35} = 1$
$\rightarrow$ Diese Aussage ist richtig.
Aussage 2: „Die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei verschiedene Farben beträgt $\dfrac{34}{35}$.“- Ereignis $E$: mindestens zwei verschiedene Farben
- Gegenereignis $\overline{E}$: alle Kugeln haben eine Farbe
Da drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden und da es nur zwei blaue und zwei grüne Kugeln gibt, kann die Farbe nicht Blau und nicht Grün sein. Das Gegenereignis ist also gleichbedeutend mit dreimal rot:$P(\overline{E}) = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{210} = \dfrac{1}{35}$
Komplementärregel: $P(E)= 1 - P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{1}{35} = \dfrac{34}{35}$Alternative Überlegung: $\dfrac{1}{35} + \dfrac{34}{35} = 1$
$\rightarrow$ Diese Aussage ist ebenfalls richtig.
Aussage 3: „Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine blaue Kugel beträgt $\dfrac{2}{7}$.“- Ereignis $E$: mindestens eine blaue Kugel
- Gegenereignis $\overline{E}$: keine blaue Kugel
$P(\overline{E}) = \dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{210} = \dfrac{2}{7}$
Komplementärregel: $P(E)= 1 - P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$Alternative Überlegung: $\dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} \neq 1$
$\rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.
Aussage 4: „Die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei grüne Kugeln beträgt $\dfrac{29}{35}$.“- Ereignis $E$: höchstens zwei grüne Kugeln
- Gegenereignis $\overline{E}$: mehr als zwei grüne Kugeln.
Da drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden und da es nur zwei grüne Kugeln gibt, handelt es sich hierbei um ein unmögliches Ereignis:$P(\overline{E}) = 0$
Komplementärregel: $P(E)= 1 - P(\overline{E}) = 1 - 0 = 1$$\rightarrow$ Diese Aussage ist auch falsch.
-
Gib an, welche Ergebnisse zum Ereignis und welche zum Gegenereignis gehören.
TippsInsgesamt gibt es sechs Ergebnisse, nämlich die Augenzahlen $1$ bis $6$. Betrachten wir das Ereignis ungerade Zahl, gehören zu dem Gegenereignis alle Ergebnisse aus der Ergebnismenge, die nicht im Ereignis enthalten sind.
Eine gerade Zahl ist durch $2$ teilbar.
LösungWenn zwei Ereignisse zusammen genau die gesamte Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes abdecken, ohne dass sie sich dabei überschneiden oder einzelne Ergebnisse gar nicht abgedeckt werden, dann handelt es sich um ein Ereignispaar von Ereignis und Gegenereignis.
Beispiel Würfel:
Insgesamt gibt es sechs Ergebnisse, nämlich die Augenzahlen $1$ bis $6$. Betrachten wir das Ereignis ungerade Zahl, gehören zu dem Gegenereignis alle Ergebnisse aus der Ergebnismenge, die nicht im Ereignis enthalten sind, nämlich alle geraden Zahlen.Somit gilt:
- Ereignis: ungerade Zahl: $1$, $3$ und $5$
- Gegenereignis: gerade Zahl: $2$, $4$ und $6$
-
Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
TippsVerwende das Gegenereignis $\overline{E}$ und die Komplementärregel:
$P(E)= 1- P(\overline{E})$
Du kannst die Wahrscheinlichkeiten für die Ampeln wie folgt berechnen:
- erste Ampel: $20$ von $50$ Sekunden grün $\rightarrow \quad P_1(\text{grün})= \dfrac{20}{50} = \dfrac{2}{5}$
- für das fünfte Teammitglied gilt: $10$ Mädchen von $26$ Kindern $\rightarrow \quad P_5(\text{Mädchen})= \dfrac{10}{26}$
- für das erste Teammitglied gilt: $14$ Mädchen von $30$ Kindern $\rightarrow \quad P_1(\text{Mädchen})= \dfrac{14}{30}$
- für das zweite Teammitglied gilt: $13$ Mädchen von $29$ Kindern $\rightarrow \quad P_2(\text{Mädchen})= \dfrac{13}{29}$
- für das dritte Teammitglied gilt: $12$ Mädchen von $28$ Kindern $\rightarrow \quad P_3(\text{Mädchen})= \dfrac{12}{28}$
- für das vierte Teammitglied gilt: $11$ Mädchen von $27$ Kindern $\rightarrow \quad P_4(\text{Mädchen})= \dfrac{11}{27}$
- für das fünfte Teammitglied gilt: $10$ Mädchen von $26$ Kindern $\rightarrow \quad P_5(\text{Mädchen})= \dfrac{10}{26}$
LösungBei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ müssen wir die Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Ergebnisse bestimmen und diese addieren. Gehören zu einem Ereignis viele Ergebnisse, kann dies sehr aufwändig sein. In vielen Fällen hilft es dann, das Gegenereignis $\overline{E}$ zu betrachten. Denn die Komplementärregel besagt:
$P(E) + P(\overline{E}) =1$ bzw.
$P(E)= 1- P(\overline{E})$Wir bearbeiten jetzt die gegebenen Aufgaben:
Aufgabe 1:
Hilal kommt auf ihrem Schulweg an drei Ampeln vorbei: Die erste Ampel zeigt immer $20$ Sekunden Grün und $30$ Sekunden Rot. Die zweite Ampel steht immer $30$ Sekunden auf Grün und $30$ Sekunden auf Rot. Die letzte Ampel zeigt $15$ Sekunden Grün und $60$ Sekunden Rot.
Es ist völlig zufällig, ob eine Ampel, die Hilal passiert, auf Grün oder Rot steht.Wir benennen zunächst das Ereignis $E$: mindestens eine Ampel rot.
Das Gegenereignis lautet folglich: $\overline{E}$: alle Ampeln grün.Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ampeln:
- für die erste Ampel gilt: $20$ von $50$ Sekunden grün $\rightarrow \quad P_1(\text{grün})= \dfrac{20}{50} = \dfrac{2}{5}$
- für die zweite Ampel gilt: $30$ von $60$ Sekunden grün $\rightarrow \quad P_2(\text{grün})= \dfrac{30}{60} = \dfrac{1}{2}$
- für die dritte Ampel gilt: $15$ von $75$ Sekunden grün $\rightarrow \quad P_3(\text{grün})= \dfrac{15}{75} = \dfrac{1}{5}$
Wir können danach die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnen:
$P(\overline{E}) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{25}$
Die Anwendung der Komplementärregel ergibt:
$P(E)= 1 - P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25} = 0{,}96 = 96\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Hilal an mindestens einer Ampel warten muss, beträgt somit $96\,\%$.
Aufgabe 2:
Aus einer Klasse mit 14 Schülerinnen und 16 Schülern soll ein Fünferteam gebildet werden. Dazu werden zufällig fünf Kinder ausgewählt.
Wir benennen zuerst das Ereignis $E$: mindestens ein Junge.
Das Gegenereignis lautet demnach: $\overline{E}$: fünf Mädchen.Wir betrachten nun die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
- für das fünfte Teammitglied gilt: $10$ Mädchen von $26$ Kindern $\rightarrow \quad P_5(\text{Mädchen})= \dfrac{10}{26}$
- für das erste Teammitglied gilt: $14$ Mädchen von $30$ Kindern $\rightarrow \quad P_1(\text{Mädchen})= \dfrac{14}{30}$
- für das zweite Teammitglied gilt: $13$ Mädchen von $29$ Kindern $\rightarrow \quad P_2(\text{Mädchen})= \dfrac{13}{29}$
- für das dritte Teammitglied gilt: $12$ Mädchen von $28$ Kindern $\rightarrow \quad P_3(\text{Mädchen})= \dfrac{12}{28}$
- für das vierte Teammitglied gilt: $11$ Mädchen von $27$ Kindern $\rightarrow \quad P_4(\text{Mädchen})= \dfrac{11}{27}$
- für das fünfte Teammitglied gilt: $10$ Mädchen von $26$ Kindern $\rightarrow \quad P_5(\text{Mädchen})= \dfrac{10}{26}$
Wir können jetzt die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnen:
$P(\overline{E}) = \dfrac{14}{30} \cdot \dfrac{13}{29} \cdot \dfrac{12}{28} \cdot \dfrac{11}{27} \cdot \dfrac{10}{26}= \dfrac{11}{783}$
Die Anwendung der Komplementärregel ergibt:
$P(E)= 1 - P(\overline{E}) = 1 - \dfrac{11}{783} = \dfrac{772}{783} \approx 0{,}99 = 99\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dem Team mindestens ein Junge ist, beträgt somit $99\,\%$.
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