Was ist ein Winkel?

Was ist ein Winkel? Übung

• Bestimme die Größen der eingezeichneten Winkel.

  Tipps

  Je zwei Winkel sind $90^\circ$ und $180^\circ$ groß.

  Je ein Winkel ist $270^\circ$ und $360^\circ$ groß.

  Der Vollkreis besitzt einen Winkel von $360^\circ$. Betrachtest du einen Viertelkreis, so viertelt sich auch der zugehörige Winkel.

  Je länger der Kreisbogen ist, der von einem Winkel beschrieben wird, desto größer ist auch der Winkel.

  Lösung

  Wenn wir uns merken, dass der Vollkreis einem Winkel von $360^\circ$ entspricht, dann können wir die restlichen Winkel leicht berechnen: Teilen wir den Kreis in gleiche Teile, dann müssen wir das mit dem Winkel ebenfalls tun.

  Beispielsweise hat ein Viertelkreis auch ein Viertel des Winkels $360^\circ$, also $90^\circ$.

  Dementsprechend ergeben sich für den Halbkreis $180^\circ$ und für den Dreiviertelkreis $270^\circ$.

• Beschreibe, was wir unter einem Winkel verstehen.

  Tipps

  Geraden haben keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt.

  Ist der Kreisbogen, der einen Winkel verkörpert, genau ein Halbkreis, dann ist der Winkel $180^\circ$ groß.

  Lösung

  Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

  • Ein Winkel entsteht immer dann, wenn zwei Halbgeraden am selben Punkt beginnen. Diese nennen wir dann Schenkel und ihr gemeinsamer Anfangspunkt heißt Winkelscheitel. Auch zwei Strecken oder zwei Geraden können Winkel einschließen.

  Winkel treten überall auf, wo zwei Geraden bzw. Strecken bzw. Halbgeraden entweder am selben Punkt beginnen oder sich in einem Punkt schneiden.

  • Die Bedeutung eines Winkels kann auf verschiedene Arten beschrieben werden. Beispielsweise beschreibt ein Winkel die Öffnung der beiden Schenkel zueinander oder kennzeichnet den Unterschied der Richtungen beider Schenkel. Außerdem gibt er die Länge eines Kreisbogens zwischen den zwei Schenkeln an, wenn der Mittelpunkt des zugehörigen Kreises der Winkelscheitel ist.

  Ein Winkel kann auch als eine Drehung verstanden werden: Stelle dir vor, die beiden Schenkel sind die Zeiger einer Uhr, die beide in der Mitte der Uhr befestigt sind. Drehst du den einen Zeiger und hältst den anderen fest, dann entsteht ein Winkel zwischen den beiden Zeigern. Wie groß dieser Winkel ist, hängt davon ab, wie weit du den Zeiger drehst.

  • Winkel werden in der Einheit Grad angegeben, die mit dem Symbol $^\circ$ dargestellt wird. Zudem werden Winkel meist mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Der Vollwinkel $-$, also eine komplette Umdrehung $-$, entspricht (per Konvention) genau $360^\circ$.

  Die Zahl $360$ wurde von den alten Babyloniern übernommen, die bemerkten, dass diese Zahl besonders viele Teiler (nämlich genau $22$ echte Teiler) besitzt.

• Vergleiche die Größen der gezeigten Winkel.

  Tipps

  Ein Winkel ist größer als ein anderer, wenn du einen größeren Kreisbogen von einem Schenkel zum anderen zeichnen musst.

  Lösung

  Ein Winkel ist größer als ein anderer, wenn der zugehörige Kreisbogen einen größeren Anteil am Vollkreis darstellt. Dementsprechend ist beispielsweise ein $180^\circ$-Winkel (Halbkreis) größer als ein $90^\circ$-Winkel (Viertelkreis), da eine Hälfte ein größerer Anteil am Vollkreis ist als ein Viertel.

  Deshalb müssen wir die genauen Gradzahlen auch nicht kennen, um die Winkel der Größe nach zu sortieren. (Zumindest nicht, solange wir mit bloßem Auge erkennen können, welcher Winkel größer ist.) Es ergibt sich die hier abgebildete Reihenfolge.

• Ordne den Beschreibungen die richtigen Winkel zu.

  Tipps

  Der Begriff Vollwinkel bezeichnet einen Winkel mit $360^\circ$.

  Möchtest du den Winkel angeben, der einem bestimmten Anteil des Vollwinkels entspricht, musst du den Anteil der Gradzahl des Vollwinkels bestimmen.

  Lösung

  Betrachten wir zunächst die drei Bilder: Zwei von ihnen sind auch hier abgebildet. Die Ausrichtung der Schenkel sieht bei beiden sehr ähnlich aus. Im einen Fall müssen wir aber nur einen Viertelkreisbogen entlanglaufen, im anderen einen Dreiviertelkreisbogen. Folglich:

  • entspricht der erste Winkel (Viertelkreisbogen mit Punkt) $90^\circ$ (dieser Winkel wird rechter Winkel genannt und durch einen Punkt gekennzeichnet)
  • entspricht der zweite Winkel (Dreiviertelkreisbogen) dagegen $270^\circ$

  Beim dritten Bild ist der Winkel etwas größer als $90^\circ$, aber kleiner als $180^\circ$, beim Halbkreisbogen. Folglich haben wir hier einen Winkel von $135^\circ$.

  Sehen wir uns nun noch die Beschreibungen an:

  • Wenn du dich einmal im Kreis drehst, dann kannst du dir vorstellen, dass du dabei jemandem zusiehst, der im Kreis um dich herumläuft. Diese Person ist also genau dann einen kompletten Kreis abgelaufen, wenn du dich einmal um dich selbst gedreht hast. Deshalb entspricht eine komplette Umdrehung $360^\circ$.
  • Der Begriff Vollwinkel bezeichnet einen Winkel mit $360^\circ$. Ein Winkel, der ein Zwölftel des Vollkreises abdeckt, hat auch ein Zwölftel der Gradzahl des Vollkreises, also des Vollwinkels. Einem Zwölftel eines Vollwinkels entsprechen demnach $360^\circ:12=30^\circ$.

• Bestimme, welche Aussagen über Winkel wahr sind.

  Tipps

  Ein rechter Winkel entspricht genau einem viertel Kreisbogen.

  Drehst du dich einmal um dich selbst, dann hast du dich um $360^\circ$ gedreht.

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind richtig:

  • Die Öffnung zwischen zwei Halbgeraden, die im selben Punkt beginnen, wird durch einen Winkel beschrieben.
  • Ein Winkel beschreibt den Unterschied zwischen den Richtungen zweier Halbgeraden bzw. Geraden bzw. Strecken.
  • Der Winkel $90^\circ$ wird auch als rechter Winkel bezeichnet.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Ein Vollkreis wird durch einen Winkel von $500^\circ$ beschrieben.

  Ein Vollkreis entspricht genau $360^\circ$ oder vier rechten Winkeln.

  • Drehst du dich um einen Winkel von $180^\circ$, dann schaust du wieder in dieselbe Richtung wie zuvor.

  Da $360^\circ$ einem Vollkreis entsprechen und $180$ die Hälfte von $360$ ist, entsprechen $180^\circ$ einem Halbkreis. Das bedeutet, dass du nach einer Drehung um $180^\circ$ genau in die entgegengesetzte Richtung schaust wie zuvor.

• Berechne die fehlenden Winkel in Dreiecken.

  Tipps

  Ein rechter Winkel ist genau $90^\circ$ groß.

  Lösung

  In einem Dreieck mit den drei Winkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ gilt immer $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Wenn wir alle Winkel addieren, müssen wir also $180^\circ$ erhalten.

  1. Dreieck

  Hier ist $\alpha=15^\circ$ und $\beta=45^\circ$. Daraus folgt:

  $15^\circ+45^\circ+\gamma=180^\circ$

  Wir fassen die beiden bekannten Winkel zusammen und erhalten:

  $60^\circ+\gamma=180^\circ$

  Um insgesamt $180^\circ$ zu erhalten, fehlen uns also noch $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Damit beträgt der Winkel $\gamma$ genau $120^\circ$.

  2. Dreieck

  Hier ist auf den ersten Blick nur $\gamma=30^\circ$ gegeben, was uns zur Berechnung des Winkels $\alpha$ nicht ausreicht. Allerdings ist in den letzten Winkel ein Punkt eingezeichnet, was uns verrät, dass dieser Winkel ein rechter Winkel, also $90^\circ$ groß ist. Damit können wir $\alpha$ nach demselben Schema berechnen, nach dem wir beim ersten Dreieck $\gamma$ berechnet haben, und erhalten:

  $30^\circ+90^\circ+\alpha=180^\circ \quad \Longrightarrow \quad \alpha=60^\circ$

  3. Dreieck

  Bei diesem Dreieck ist kein einziger Winkel vorgegeben. Deshalb könnte man zuerst denken, dass wir hier gar nichts ausrechnen können. Wenn wir genauer hinsehen, merken wir allerdings, dass dieses Dreieck dreimal den gleichen Winkel $\alpha$ besitzt. Damit können wir dann doch etwas anfangen:

  $\begin{array}{rl} \alpha+\alpha+\alpha&=180^\circ \\ 3\alpha&=180^\circ \end{array}$

  Wir überlegen uns daher, welche Zahl mit drei multipliziert $180^\circ$ ergibt. Anders können wir aber auch $180^\circ$ durch $3$ teilen, um diese Zahl, also den Winkel $\alpha$, zu erhalten:

  $\alpha=180^\circ:3=60^\circ$