Winkel im Kreis

Winkel im Kreis Übung

• Prüfe die folgenden Aussagen über Winkel im Kreis.

  Tipps

  Der Winkel, der dem gesamten Kreis entspricht, wird auch Vollwinkel genannt und hat eine Größe von $360^\circ$.

  Ein Kreis besteht aus $4$ Vierteln. Zu jedem Abschnitt gehört ein Winkel von $90^\circ$, da $360^\circ:4=90^\circ$ ist.

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind richtig:

  • Der Kreismittelpunkt ist identisch mit dem Winkelscheitel.
  • Teilt man den Durchmesser am Mittelpunkt in zwei Schenkel auf, schließen diese einen gestreckten Winkel ein.

  Der Durchmesser ist eine besondere Sehne, also eine Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist aber die längste Sehne und geht durch den Mittelpunkt und somit den Winkelscheitel. Am Mittelpunkt können wir den Durchmesser nun auch als zwei Radien betrachten, die auf einer Geraden liegen. Diese schließen als Schenkel einen Winkel von $180^\circ$, also einen gestreckten Winkel, ein.

  • Der Kreisausschnitt, der zu einem Winkel von $45^\circ$ gehört, passt genau achtmal in einen ganzen Kreis.

  Ein Kreis besteht aus $8$ Achtelkreisen. Zu jedem Abschnitt gehört dann ein Winkel von $45^\circ$, da $360^\circ:8=45^\circ$ ist. Alternativ kannst du auch die Winkelgröße eines Vollwinkels durch die Winkelgröße des betrachteten Kreisausschnittes teilen, um die Anzahl dieses Kreisausschnittes in einem ganzen Kreis zu berechnen: $360^\circ:45^\circ=8$.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Zwei Radien eines Kreises schließen immer einen spitzen Winkel ein.

  Zwei Radien eines Kreises schließen immer einen Winkel $\alpha$ ein. Dieser kann aber eine beliebige Größe haben, solange Folgendes gilt: $0<\alpha\leq360^\circ$. Für einen spitzen Winkel müsste gelten: $0<\alpha<90^\circ$.

  • Die Winkel werden in $^\circ C$ gemessen.

  Die Winkel werden in Grad ($^\circ$) gemessen. Man kann den Kreis in $360$ gleich große Abschnitte einteilen, die Winkel haben dann jeweils eine Größe von $1^\circ$. $^\circ C$ ist hingegen eine Temperatureinheit.

• Gib an, welche Winkel zu den blau gekennzeichneten Kreisausschnitten passen.

  Tipps

  Überlege dir, wie viel Grad ein ganzer Kreis hat und welchen Anteil du davon betrachtest.

  Ein Achtel eines Kreises entspricht einem Winkel von $45^\circ$, da $360^\circ:8 =45^\circ$.

  Für spitze Winkel $\alpha$ gilt:

  • $0^\circ<\alpha<90^\circ$

  Lösung

  In einem Kreis wird der Winkel von zwei Radien, die in diesem Fall den Schenkeln entsprechen, eingeschlossen.

  1. Der ganze Kreis hat eine Größe von $360^\circ$ und entspricht damit einem Vollwinkel.
  2. Um die Größe eines Viertelkreises zu bestimmen, teilt man $360^\circ$ durch $4$ und erhält $360^\circ:4 =90^\circ$, also einen rechten Winkel.
  3. Um die Größe eines Halbkreises zu bestimmen, teilt man $360^\circ$ durch $2$ und erhält $360^\circ:2 =180^\circ$. $180^\circ$ entsprechen einem gestreckten Winkel.
  4. Um die Größe eines Sechstels eines Kreises zu bestimmen, teilt man $360^\circ$ durch $6$ und erhält $360^\circ:6 =60^\circ$. $60^\circ$ entsprechen einem spitzen Winkel. Für diesen gilt nämlich: $0^\circ<\alpha<90^\circ$.

  Zu dem letzten Kreis finden wir keinen Winkel. Es handelt sich hier um einen stumpfen Winkel. Der blaue Kreisausschnitt beträgt $\dfrac{3}{8}$ des kompletten Kreises, also drei $45°$ Winkel. Demnach hat der Winkel eine Größe von $135°$.

• Ermittle die Größen der Winkel, die die Flächen der markierten Pizzastücke festlegen.

  Tipps

  Hier siehst du den Winkel, der die Fläche des blau umrandeten Pizzastücks festlegt.

  Lösung

  Um die Winkel am Kreis etwas anschaulicher zu gestalten, stellen wir uns den ganzen Kreis als Pizza vor. Nun wollen wir die Größen bestimmen:

  1. Der Kreis wird in drei Drittel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Drittels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:3=120^\circ$.
  2. Der Kreis wird in vier Viertel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Viertels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:4=90^\circ$.
  3. Der Kreis wird in sechs Sechstel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Sechstels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:6=60^\circ$.
  4. Der Kreis wird in neun Neuntel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Neuntels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:9=40^\circ$.
  5. Der Kreis wird in zehn Zehntel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Zehntels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:10=36^\circ$.

• Bestimme die gezeichneten Winkel.

  Tipps

  Miss mithilfe der Skala auf dem Kreisbogen den Winkel bis zum zweiten Schenkel. Nimm dabei die Skala, die bei deinem Ausgangsschenkel bei $0$ beginnt.

  Zur Einordnung der Winkel kannst du dich immer daran orientieren, dass:

  • für einen spitzen Winkel immer gilt: $0^\circ<\alpha<90^\circ$
  • für einen stumpfen Winkel immer gilt: $90^\circ<\alpha<180^\circ$

  Lösung

  Um einen Winkel im Kreis zu messen, gehst du so vor:

  1. Lege dein Geodreieck an einen der Radien (Schenkel) an.
  2. Achte darauf, dass die $0$ der Linealseite im Mittelpunkt (Winkelscheitel) anliegt.
  3. Verlängere die Radien, wenn nötig, über den Kreis hinaus.
  4. Miss mithilfe der Skala auf dem Kreisbogen den Winkel bis zum zweiten Schenkel. Nimm dabei die Skala, die bei deinem Ausgangsschenkel bei $0$ beginnt.

  So erhältst du hier die Winkel:

  • $45^\circ$
  • $50^\circ$
  • $80^\circ$
  • $110^\circ$

• Vervollständige das Schaubild.

  Tipps

  Der Winkel $\alpha$ bestimmt die Länge des von den Radien begrenzten, orangen Kreisbogens eindeutig.

  Eine Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreisrand nennen wir Sehne. Die längste Sehne ist der Durchmesser.

  Der Radius ist genau halb so lang wie der Durchmesser.

  Lösung

  Es ist wichtig, die Grundbegriffe am Kreis zu kennen.

  Die Länge der gesamten Kreislinie heißt Umfang. Eine Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie nennen wir Sehne. Die längste Sehne ist der Durchmesser: Er verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie und verläuft immer durch den Mittelpunkt.

  Die Strecke vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie ist der Radius: Er ist genau halb so lang wie der Durchmesser.

  Von zwei Radien eines Kreises wird immer ein Winkel eingeschlossen. Die Radien werden dann auch Schenkel genannt und der Mittelpunkt Winkelscheitel.

  Der Winkel bestimmt dann zudem die Fläche des von den Radien begrenzten Kreisausschnitts und die Länge des Kreisbogens eindeutig.

• Ermittle die Größe des Winkels.

  Tipps

  Mit Winkeln kannst du so rechnen wie mit anderen Maßangaben, $^\circ$ symbolisiert dabei die Einheit.

  Es gilt zum Beispiel: $100^\circ-20^\circ=80^\circ$

  Lösung

  Mit Winkeln kannst du so rechnen wie mit anderen Maßangaben, $^\circ$ symbolisiert dabei die Einheit. Ein Vollwinkel, also der ganze Kreis, hat eine Größe von $360^\circ$, der gelbe Bereich schließt einen Winkel von $235^\circ$ ein. Wie groß ist der Winkel $\alpha$?

  Die Größe von $\alpha$ und $235^\circ$ müssen zusammen $360^\circ$ ergeben, daher können wir die Differenz berechnen:

  $360^\circ-235^\circ=\alpha$

  Damit gilt:

  $\alpha=125^\circ$

  Hier beträgt $\alpha=90^\circ$. Welchen Winkel schließt der gelbe Bereich ein?

  Wir nennen den Winkel $\beta$. Dann gilt, dass wir $\alpha$ vom Vollwinkel abziehen müssen:

  $\beta=360^\circ-90^\circ=270^\circ$

  Welche Größe hätte der Winkel, wenn man den Winkel $\alpha$ aus dem ersten Beispiel und den Winkel $\beta$ aus diesem Beispiel addiert?

  $270^\circ+125^\circ=395^\circ$

  Sie würden zusammen einen Winkel größer als $360^\circ$ ergeben, also mehr als ein ganzer Kreis.