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Winkel im Kreis
Erfahre, wie man Winkel im Kreis berechnet und zeichnet. Entdecke wichtige Begriffe wie Sehnen und Radien, Beispiele für verschiedene Winkelgrößen und gängige Winkelarten wie den rechten oder gestreckten Winkel. Neugierig geworden? Lies weiter im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Winkel im Kreis
Einführung: Winkel im Kreis
Wie groß ist der Winkel innerhalb eines Kreises? Wie kann man Winkel in einem Kreis berechnen? In diesem Text wird einfach erklärt, wie man Winkel in einem Kreis finden und bestimmen kann. Wir schauen uns zunächst Grundbegriffe an, die uns helfen, die Eigenschaften verschiedener Winkel im Kreis zu definieren. Anschließend lernst du Beispiele für Winkel im Kreis kennen und wie du diese mithilfe eines Geodreiecks bestimmen und selbst zeichnen kannst. Zum Schluss lernst du drei typische Winkel kennen, die dir häufig begegnen werden.
Winkel im Kreis – Grundbegriffe und Definition
Du kennst bereits den Umfang eines Kreises, der der Länge der gesamten Kreislinie entspricht. Bestimmst du an diesem Umfang zwei beliebige Punkte und verbindest diese miteinander, so spricht man bei dieser Strecke von einer Sehne. Die größtmögliche Sehne geht durch den Mittelpunkt des Kreises und wird als Durchmesser bezeichnet. Wird diese Sehne halbiert, entspricht sie dem Radius des Kreises. Der Radius ist stets die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt der Kreislinie.
Sind zwei Radien im Kreis vorhanden, so nennt man diese auch Schenkel und es kann der eingeschlossene Winkel bestimmt werden. Dieser Winkel bestimmt, wie groß die Fläche des Kreisausschnitts und die Länge des Kreisbogens sein werden.
Winkel im Kreis – Beispiele
Ein Winkel im Kreis von $360^\circ$ entspricht dem Vollwinkel und steht damit für den gesamten Umfang des Kreises bzw. der gesamten Kreisfläche. Du kannst dabei an eine kreisrunde Pizza denken, bei der der Umfang der Pizza dem knusprigen Rand und die gesamte Pizza der Kreisfläche entspricht. Natürlich kann der Winkel aber auch deutlich kleiner ausfallen, sodass die beiden Schenkel einen kleineren Kreisausschnitt einschließen und somit nur für ein kleines Pizzastück stehen.
Um die Winkelgröße in einem Kreis zu bestimmen, hilft dir das Geodreieck. Du betrachtest dabei den Kreisausschnitt und verlängerst die beiden Schenkel. Anschließend legst du dein Geodreieck mit dem Nullpunkt an den Winkelscheitel und die Linealseite entlang eines Schenkels. Die Verlängerung des zweiten Schenkels zeigt dir auf dem Geodreieck die Gradzahl an, wie groß dein Winkel ist.
In diesem Beispiel können wir auf unserem Geodreieck ablesen, dass der Winkel $45^\circ$ groß ist. Dieser Winkel entspricht genau $\frac{1}{8}$ des Vollwinkels, somit passt dieser Kreisausschnitt genau achtmal in den gesamten Kreis.
Dir werden verschiedene Aufgaben zu Winkeln im Kreis begegnen, jedoch gibt es typische Winkel, die häufiger vorkommen als andere! Zwei typische Winkel im Kreis sind der rechte Winkel und der gestreckte Winkel. Der rechte Winkel entspricht exakt $90^\circ$ und füllt mit seinem zugehörigen Kreisausschnitt $\frac{1}{4}$ des Kreises aus. Er wird in der Regel mit einem Punkt gekennzeichnet. Der gestreckte Winkel entspricht hingegen $180^\circ$ und füllt mit seinem zugehörigen Kreisausschnitt die Hälfte des Kreises aus.
Einen Winkel im Kreis zeichnen
Um einen Winkel von $60^\circ$ im Kreis zu zeichnen, legst du dein Geodreieck mit dem Nullpunkt auf den Kreismittelpunkt und zeichnest einen Schenkel. Nun hältst du das Geodreieck in dieser Position und markierst bei $60^\circ$ einen Punkt. Dieser Punkt wird nun mit dem Mittelpunkt verbunden, sodass der zweite Schenkel entsteht. Der Winkel von $60^\circ$ umfasst einen Kreisausschnitt, der genau sechsmal in den gesamten Kreis passt bzw. $\frac{1}{6}$ des Vollwinkels eines Kreises entspricht.
Zusammenfassung: Winkel im Kreis
In diesem Video zu Winkeln im Kreis hat das UFO ganz verschiedene Winkel im kreisrunden Kornfeld hinterlassen. An mehreren Beispielen siehst du, wie man Winkel in einem Kreis bestimmt und selbst Winkel einzeichnet.
Zusätzlich zum Video und dem Text gibt es bei sofatutor noch eine Übung zum Thema Winkel im Kreis.
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Sensation! UFO gesichtet! Ist es verantwortlich für die mysteriösen Kornkreise? Um die Botschaften dahinter zu entschlüsseln, müssen wir verstehen, wie wir Winkel im Kreis finden und bestimmen können. Dazu schauen wir uns mal diesen Kreis näher an: Die Länge der gesamten Kreislinie ist der Umfang. Eine Strecke zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Kreislinie heißt Sehne. Die Größtmögliche Sehne geht durch den Mittelpunkt des Kreises. Es handelt sich um den Durchmesser. Die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt der Kreislinie ist der Radius des Kreises. Er ist genau halb so lang wie der Durchmesser. Von zwei Radien eines Kreises wird ein Winkel eingeschlossen. Dann heißen die Radien auch Schenkel des Winkels. Der Kreismittelpunkt ist dann mit dem Winkelscheitel identisch. Der Winkel bestimmt die Fläche dieses Kreisausschnitts und die Länge dieses Kreisbogens. Dieser Winkel entspricht dem gesamten Kreis. Er wird auch Vollwinkel genannt. Er steht damit für die gesamte Kreisfläche oder den ganzen Umfang des Kreises. Winkel werden in Grad gemessen. Der Vollwinkel hat eine Größe von 360 Grad. Ein Grad ist also der 360ste Teil des Vollwinkels. Dieser Kreisausschnitt hat eine Fläche von einem 360stel der gesamten Kreisfläche. Der zugehörige Winkel ist also genau ein Grad groß. Um einen Winkel zu messen, kannst du ein Geodreieck nutzen. Wie groß ist dieser Winkel? Falls die Schenkel des Winkels zu kurz zum Messen sind, können wir sie verlängern. Dann legen wir das Geodreieck so an den Winkel an. Achte darauf, dass du den Nullpunkt der Linealseite genau beim Winkelscheitel positionierst. Hier können wir den Winkel nun messen. Es sind 45 Grad. Das ist genau ein Achtel von 360 Grad, also dem Vollwinkel. Nehmen wir den zugehörigen Kreisausschnitt achtmal, erhalten wir die ganze Kreisfläche. Wir können das Geodreieck auch verwenden, um einen Winkel, zum Beispiel 60 Grad, zu zeichnen. Zunächst trägst du den ersten Schenkel ab. Dazu musst du darauf achten, dass du das Geodreieck dafür wieder so positionierst, dass der Nullpunkt der Linealseite genau am Mittelpunkt des Kreises liegt, denn dort wird ja auch der Winkelscheitel sein. Nun misst du 60 Grad ab und markierst die Stelle mit einem Punkt. Dann kannst du den zweiten Schenkel eintragen. Da 60 Grad genau ein Sechstel von 360 Grad ist, ergeben 6 Kreisausschnitte dieser Größe wieder den ganzen Kreis. Ein Viertelkreis sieht SO aus. Der zugehörige Winkel hat eine Größe von einem Viertel von 360 Grad, also 90 Grad. Er wird rechter Winkel genannt. Man kennzeichnet ihn auch, indem man einen Punkt in den Winkelbogen setzt. Das ist ein Halbkreis. Der zugehörige Winkel hat eine Größe von der Hälfte von 360 Grad, also 180 Grad. Er wird gestreckter Winkel genannt. Und während die Forscher die Botschaften der Außerirdischen auswerten, fassen wir zusammen: Von zwei Radien eines Kreises wird ein Winkel eingeschlossen. Der Kreismittelpunkt ist identisch mit dem Winkelscheitel. Die Radien heißen auch Schenkel des Winkels. Winkel werden in Grad gemessen. Dazu kannst Du ein Geodreieck verwenden. Der entsprechende Winkel für die ganze Kreisfläche und den ganzen Kreisumfang heißt Vollwinkel. Er hat eine Größe von 360 Grad. Von besonderer Bedeutung ist der 90 Grad Winkel, der rechte Winkel. Er entspricht einem Viertelkreis. Dem Halbkreis entspricht der gestreckte Winkel, der 180 Grad groß ist. Sensation! Erstmals konnte das UFO mit einer Kamera aufgenommen werden! Äh. Wer ist denn dann für die Kornkreise verantwortlich?
Winkel im Kreis Übung
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Prüfe die folgenden Aussagen über Winkel im Kreis.
TippsDer Winkel, der dem gesamten Kreis entspricht, wird auch Vollwinkel genannt und hat eine Größe von $360^\circ$.
Ein Kreis besteht aus $4$ Vierteln. Zu jedem Abschnitt gehört ein Winkel von $90^\circ$, da $360^\circ:4=90^\circ$ ist.
LösungDie folgenden Aussagen sind richtig:
- Der Kreismittelpunkt ist identisch mit dem Winkelscheitel.
- Teilt man den Durchmesser am Mittelpunkt in zwei Schenkel auf, schließen diese einen gestreckten Winkel ein.
- Der Kreisausschnitt, der zu einem Winkel von $45^\circ$ gehört, passt genau achtmal in einen ganzen Kreis.
Die folgenden Aussagen sind falsch:
- Zwei Radien eines Kreises schließen immer einen spitzen Winkel ein.
- Die Winkel werden in $^\circ C$ gemessen.
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Gib an, welche Winkel zu den blau gekennzeichneten Kreisausschnitten passen.
TippsÜberlege dir, wie viel Grad ein ganzer Kreis hat und welchen Anteil du davon betrachtest.
Ein Achtel eines Kreises entspricht einem Winkel von $45^\circ$, da $360^\circ:8 =45^\circ$.
Für spitze Winkel $\alpha$ gilt:
- $0^\circ<\alpha<90^\circ$
LösungIn einem Kreis wird der Winkel von zwei Radien, die in diesem Fall den Schenkeln entsprechen, eingeschlossen.
- Der ganze Kreis hat eine Größe von $360^\circ$ und entspricht damit einem Vollwinkel.
- Um die Größe eines Viertelkreises zu bestimmen, teilt man $360^\circ$ durch $4$ und erhält $360^\circ:4 =90^\circ$, also einen rechten Winkel.
- Um die Größe eines Halbkreises zu bestimmen, teilt man $360^\circ$ durch $2$ und erhält $360^\circ:2 =180^\circ$. $180^\circ$ entsprechen einem gestreckten Winkel.
- Um die Größe eines Sechstels eines Kreises zu bestimmen, teilt man $360^\circ$ durch $6$ und erhält $360^\circ:6 =60^\circ$. $60^\circ$ entsprechen einem spitzen Winkel. Für diesen gilt nämlich: $0^\circ<\alpha<90^\circ$.
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Ermittle die Größen der Winkel, die die Flächen der markierten Pizzastücke festlegen.
TippsHier siehst du den Winkel, der die Fläche des blau umrandeten Pizzastücks festlegt.
LösungUm die Winkel am Kreis etwas anschaulicher zu gestalten, stellen wir uns den ganzen Kreis als Pizza vor. Nun wollen wir die Größen bestimmen:
- Der Kreis wird in drei Drittel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Drittels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:3=120^\circ$.
- Der Kreis wird in vier Viertel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Viertels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:4=90^\circ$.
- Der Kreis wird in sechs Sechstel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Sechstels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:6=60^\circ$.
- Der Kreis wird in neun Neuntel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Neuntels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:9=40^\circ$.
- Der Kreis wird in zehn Zehntel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Zehntels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:10=36^\circ$.
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Bestimme die gezeichneten Winkel.
TippsMiss mithilfe der Skala auf dem Kreisbogen den Winkel bis zum zweiten Schenkel. Nimm dabei die Skala, die bei deinem Ausgangsschenkel bei $0$ beginnt.
Zur Einordnung der Winkel kannst du dich immer daran orientieren, dass:
- für einen spitzen Winkel immer gilt: $0^\circ<\alpha<90^\circ$
- für einen stumpfen Winkel immer gilt: $90^\circ<\alpha<180^\circ$
LösungUm einen Winkel im Kreis zu messen, gehst du so vor:
- Lege dein Geodreieck an einen der Radien (Schenkel) an.
- Achte darauf, dass die $0$ der Linealseite im Mittelpunkt (Winkelscheitel) anliegt.
- Verlängere die Radien, wenn nötig, über den Kreis hinaus.
- Miss mithilfe der Skala auf dem Kreisbogen den Winkel bis zum zweiten Schenkel. Nimm dabei die Skala, die bei deinem Ausgangsschenkel bei $0$ beginnt.
- $45^\circ$
- $50^\circ$
- $80^\circ$
- $110^\circ$
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Vervollständige das Schaubild.
TippsDer Winkel $\alpha$ bestimmt die Länge des von den Radien begrenzten, orangen Kreisbogens eindeutig.
Eine Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreisrand nennen wir Sehne. Die längste Sehne ist der Durchmesser.
Der Radius ist genau halb so lang wie der Durchmesser.
LösungEs ist wichtig, die Grundbegriffe am Kreis zu kennen.
Die Länge der gesamten Kreislinie heißt Umfang. Eine Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie nennen wir Sehne. Die längste Sehne ist der Durchmesser: Er verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie und verläuft immer durch den Mittelpunkt.
Die Strecke vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie ist der Radius: Er ist genau halb so lang wie der Durchmesser.
Von zwei Radien eines Kreises wird immer ein Winkel eingeschlossen. Die Radien werden dann auch Schenkel genannt und der Mittelpunkt Winkelscheitel.
Der Winkel bestimmt dann zudem die Fläche des von den Radien begrenzten Kreisausschnitts und die Länge des Kreisbogens eindeutig.
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Ermittle die Größe des Winkels.
TippsMit Winkeln kannst du so rechnen wie mit anderen Maßangaben, $^\circ$ symbolisiert dabei die Einheit.
Es gilt zum Beispiel: $100^\circ-20^\circ=80^\circ $
LösungMit Winkeln kannst du so rechnen wie mit anderen Maßangaben, $^\circ$ symbolisiert dabei die Einheit. Ein Vollwinkel, also der ganze Kreis, hat eine Größe von $360^\circ$, der gelbe Bereich schließt einen Winkel von $235^\circ$ ein. Wie groß ist der Winkel $\alpha$?
Die Größe von $\alpha$ und $235^\circ$ müssen zusammen $360^\circ$ ergeben, daher können wir die Differenz berechnen:
$360^\circ-235^\circ=\alpha$
Damit gilt:
$\alpha=125^\circ$
Hier beträgt $\alpha=90^\circ$. Welchen Winkel schließt der gelbe Bereich ein?
Wir nennen den Winkel $\beta$. Dann gilt, dass wir $\alpha$ vom Vollwinkel abziehen müssen:
$\beta=360^\circ-90^\circ=270^\circ$
Welche Größe hätte der Winkel, wenn man den Winkel $\alpha$ aus dem ersten Beispiel und den Winkel $\beta$ aus diesem Beispiel addiert?
$270^\circ+125^\circ=395^\circ$
Sie würden zusammen einen Winkel größer als $360^\circ$ ergeben, also mehr als ein ganzer Kreis.
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Die hat doch Rente (also sie sollte).
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