Was ist eine Wurzelfunktion?

Was ist eine Wurzelfunktion? Übung

• Ergänze die Erklärung zur Wurzelfunktion.

  Tipps

  Hier ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ für den Definitionsbereich $\mathbb{D} = \mathbb{R}_0^{+}$ zu sehen.

  Die Menge $\mathbb{R}_0^{+}$ lässt sich auch anders darstellen:

  $\{x \in \mathbb{R} | x \ge 0\}$

  Dabei steht im rechten Teil die Einschränkung der reellen Zahlen auf die positiven reellen Zahlen.

  Hier ist der Graph der Funktion $f(x)=\sqrt x$ zu sehen. Weil aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann, muss der Definitionsbereich für die Funktion $\mathbb{D} = \mathbb{R}_0^{+}$ lauten.

  Die Spiegelungsgerade $f(x)=x$, welche durch den Koordinatenursprung verläuft, wird auch als 1. Winkelhalbierende bezeichnet.

  Lösung

  Was ist eine Wurzelfunktion?

  Wenn man einen Würfel mit der Seitenlänge $x\ge0$ betrachtet, hat dieser das Volumen

  $V(x)=x^3$.

  Dieses Volumen kann man in einem Koordinatensystem darstellen.

  Will man nun umgekehrt wissen, für welches $x$ das Volumen zum Beispiel $8~cm^3$ beträgt, kann man den Graphen der Umkehrfunktion betrachten. Dieser ergibt sich durch Vertauschen von $x$ und $V$ bei der Beschriftung des Koordinatensystems. Dann wird der Graph der Potenzfunktion an der Ursprungsgerade $t(V)=V$ gespiegelt.

  Der so erhaltene Graph ist der Graph einer Wurzelfunktion.

• Gib die Eigenschaften der Wurzelfunktionen an.

  Tipps

  Hier siehst du den Graphen der Funktion $f(x)=\sqrt x$.

  Beachte, dass für umkehrbare Funktionen gilt:

  Ist der Graph der Funktion steigend (fallend), dann ist auch der Graph der Umkehrfunktion steigend (fallend).

  Überlege dir, ob es ein $x$ gibt, so dass $x^n=0$ ist.

  Lösung

  Sei $f(x)=x^n$ eine Potenzfunktion, dabei ist $x\ge 0$ und $n\in\mathbb{N}$ sowie $n\neq 0$.

  Dann besitzt diese Funktion eine Umkehrfunktion, da kein Funktionswert mehr als einmal vorkommt.

  Die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion wird als Wurzelfunktion bezeichnet.

  Für diese gilt $\mathbb{D}=\mathbb{W}=\mathbb{R}^+_0$.

  • Es ist $g(0)=0$ und $g(1)=1$. Dies ist unabhängig von dem Wurzelexponenten $n$.
  • Das bedeutet, dass die Punkte $P_0(0|0)$ sowie $P_1(1|1)$ auf jedem Graphen der Wurzelfunktion unabhängig von $n$ liegen.

  Jede Wurzelfunktion ist monoton steigend.

• Ermittle die Umkehrfunktion.

  Tipps

  Ganz allgemein ist durch $\sqrt[n] x$ die Umkehrfunktion zu $x^n$ gegeben.

  $n$ ist der sogenannte Wurzelexponent.

  Dies stellt den Zusammenhang zu $x^n$ dar. $n$ wird als Exponent bezeichnet.

  $\sqrt x$ ist die Quadratwurzel. Der Wurzelexponent $2$ wird weggelassen.

  Lösung

  Ganz allgemein gilt, dass die n-te Wurzel die Potenz mit dem Exponenten $n$ umkehrt.

  Sei also $f(x)=x^n$, mit $x\ge 0$ und $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, dann ist die Umkehrfunktion

  $g(x)=\sqrt[n] x$.

  $n$ wird als der Wurzelexponent bezeichnet.

  $\begin{array}{c|c} \text{Funktion}&\text{Umkehrfunktion}\\ \hline x^2&\sqrt x\\ \hline x^3&\sqrt[3] x\\ \hline x^4&\sqrt[4] x\\ \hline x^5&\sqrt[5] x\\ \hline ...&... \end{array}$

  Ein Sonderfall ist die Quadratwurzel, die Umkehrung von $x^2$. Bei dieser wird der Wurzelexponent nicht aufgeschrieben.

• Berechne verschiedene Werte von Wurzelfunktionen.

  Tipps

  Du kannst jede der Aufgaben ohne den Taschenrechner lösen.

  Da $2^6=64$ ist, ist umgekehrt $\sqrt[6] {64}=2$.

  Alle Lösungen sind natürliche Zahlen.

  Lösung

  Alle Lösungen stehen hier. Man muss dafür nur wissen, dass die n-te Wurzel die Umkehrung von der n-ten Potenz ist.

  • Da $2^5=32$ ist, ist umgekehrt $\sqrt[5]{32}=2$.
  • Da $3^4=81$ ist, ist umgekehrt $\sqrt[4]{81}=3$.
  • Da $5^2=25$ ist, ist umgekehrt $\sqrt{25}=5$.
  • Da $4^3=64$ ist, ist umgekehrt $\sqrt[3]{64}=4$.
  • Da $5^3=125$ ist, ist umgekehrt $\sqrt[3]{125}=5$.

• Bestimme die Wurzelfunktion.

  Tipps

  Ein Term der Form $a^b$ heißt Potenz. Dabei ist $a>0$ die Basis und $b$ der Exponent.

  Ein Term der Form $\frac ab$ ist ein Bruch.

  Ein Term der Form $a\cdot b$ ist ein Produkt.

  Lösung

  Dies ist eine Wurzelfunktion. Dabei gibt die Zahl $n$ an, welche Wurzel gezogen wird. Sie wird als Wurzelexponent bezeichnet.

  Sei zum Beispiel $f(x)=x^5$, dann ist $g(x)=\sqrt[5] x$ die Umkehrfunktion dieser Funktion. Dies ist die fünfte Wurzel.

  Übrigens: Bei der zweiten Wurzel $\sqrt[2]{x}$ lässt man den Wurzelexponenten weg: $\sqrt{x}$. Diese Wurzel wird als Quadratwurzel bezeichnet.

• Leite die fehlenden Größen her.

  Tipps

  Stelle jeweils mit der Volumen- oder Flächenformel eine Gleichung auf und löse diese nach der unbekannten Größe.

  Verwende die folgenden Formeln:

  • Kugel-Volumen: $V(r)=\frac43~\pi~r^3$
  • Kreis-Fläche: $A(r)=\pi~r^2$
  • Würfel-Volumen: $V(x)=x^3$
  • Quadrat-Fläche: $A(x)=x^2$

  Sei zum Beispiel das Volumen einer Kugel bekannt: $V=800$. Dann ist die folgende Gleichung zu lösen:

  $800=\frac43~\pi~r^3$.

  Dividiere zunächst durch $\frac43~\pi$ und ziehe dann die dritte Wurzel.

  Lösung

  Es muss jeweils die entsprechende Formel aufgestellt und der bekannte Wert eingesetzt werden, dann wird die Gleichung nach der unbekannten Größe aufgelöst.

  Schauen wir uns zunächst den Würfel an. Das Volumen eines Würfels lässt sich mit $V=x^3$ berechnen:

  $\begin{array}{rclll} x^3&=&64000&|&\sqrt[3]{~~~}\\ x&=&40 \end{array}$

  Die Seite ist $40~cm$ lang.

  Der Flächeninhalt eines Quadrats lässt sich mit $A=x^2$ berechnen:

  $\begin{array}{rclll} x^2&=&156,25&|&\sqrt{~~~}\\ x&=&12,5 \end{array}$

  Die Seite ist $12,5~m$ lang.

  Der Flächeninhalt eines Kreises wird durch $A=\pi~r^2$ berechnet:

  $\begin{array}{rclll} \pi~r^2&=&320&|& : \pi\\ r^2&\approx&101,86&|&\sqrt{~~~}\\ r&\approx&10,1 \end{array}$

  Der Radius beträgt ungefähr $10,1~dm$.

  Das Volumen einer Kugel kann mit $V=\frac43 ~\pi~r^3$ berechnet werden:

  $\begin{array}{rclll} \frac43~\pi~r^3&=&72,5&|&:\left(\frac43~\pi\right)\\ r^3&\approx&17,31&|&\sqrt[3]{~~~}\\ r&\approx&2,6 \end{array}$

  Der Radius der Kugel beträgt ungefähr $2,6~m$.