Wurzelfunktionen – Einführung

Wurzelfunktionen – Einführung Übung

• Gib die Eigenschaften von Wurzelfunktionen an.

  Tipps

  Hier abgebildet ist der Funktionsgraph folgender Wurzelfunktion:

  $f(x)=\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$

  Die Zahlenmenge $\mathbb{R^+_0}$ enthält alle positiven reellen Zahlen und die Null.

  Liegt eine gerade Wurzel vor, so darf der Radikand nicht negativ sein.

  Lösung

  Eine Wurzelfunktion der Form $f(x)=\sqrt[n]{x}$ hat abhängig von der Zahl $n$ einige besondere Eigenschaften bezüglich ihrer Definitions- und Wertemenge. Dabei unterscheidet man zwischen geraden Zahlen für $n$ und ungeraden Zahlen für $n$.

  Gerade Wurzel

  Ist $n$ eine gerade natürliche Zahl, so liegt eine gerade Wurzel vor. Eine Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit einer geraden Zahl $n$ hat folgende Eigenschaften:

  • Definitionsmenge: $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+_0$

  Das bedeutet, dass $x$ nur positive reelle Zahlen sowie die Null annehmen kann. Die Funktionswerte sind ebenfalls positive reelle Zahlen sowie die Null.

  Ungerade Wurzel

  Ist $n$ eine ungerade natürliche Zahl, so liegt eine ungerade Wurzel vor. Eine Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit einer ungeraden Zahl $n$ hat folgende Eigenschaften:

  • Definitionsmenge: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}=\mathbb{R}$

  Das bedeutet, dass $x$ alle reellen Zahlen annehmen kann. Die Funktionswerte sind ebenfalls alle reellen Zahlen.

• Vervollständige die gegebene Wertetabelle der Wurzelfunktion $f$.

  Tipps

  Setze die gegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt[3]{x}$ ein und berechne die zugehörigen Funktionswerte. Es gilt:

  $\sqrt[3]{a^3}=\left(a^3\right)^\frac 13=a^\frac 33=a$

  Du kannst einige Zahlen wie folgt in der dritten Potenz angeben:

  • $3^3=27$
  • $2^3=8$
  • $1^3=1$
  • $0^3=0$

  Die dritte Potenz einer negativen Zahl ist negativ.

  Lösung

  Wir setzen die gegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt[3]{x}$ ein und berechnen die zugehörigen Funktionswerte. Allgemein gilt:

  $\sqrt[3]{a^3}=\left(a^3\right)^\frac 13=a^\frac 33=a$

  Zudem ist die dritte Potenz einer negativen Zahl wieder negativ. Somit folgt:

  $ \begin{array}{lll} f(-8) &=& \sqrt[3]{-8} \\ &=& \sqrt[3]{(-2)^3} \\ &=& \left((-2)^3\right)^\frac 13 \\ &=& (-2)^\frac 33 \\ &=& -2 \end{array} $

  Auf diese Weise können wir die übrigen Funktionswerte berechnen und erhalten folgende Wertetabelle:

  $ \begin{array}{l|rrrrr} x & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ \hline f(x) & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{array} $

• Prüfe folgende Aussagen zu Wurzelfunktionen bezüglich ihrer Richtigkeit.

  Tipps

  Hier siehst du den Funktionsgraphen der Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

  Du kannst die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht ziehen. Es existiert nämlich keine reelle Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.

  Lösung

  Im Folgenden schauen wir uns die Eigenschaften von Wurzelfunktionen und ihren Funktionsgraphen an. Dabei unterscheiden wir zwischen geraden und ungeraden Wurzeln.

  Gerade Wurzeln

  Für gerade $n$ verlaufen alle Funktionsgraphen der Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ durch den Koordinatenursprung und den Punkt $P(1\vert 1)$.

  Die Definitionsmenge und die Wertemenge setzen sich aus allen positiven reellen Zahlen und der Null zusammen.

  Ungerade Wurzeln

  Für ungerade $n$ verlaufen alle Funktionsgraphen der Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ durch den Koordinatenursprung und die Punkte $P_1(-1\vert -1)$ und $P_2(1\vert 1)$.

  Die Definitionsmenge und die Wertemenge enthalten alle reellen Zahlen.

  Im Bild ist eine ungerade Wurzelfunktion zu sehen.

• Ermittle die fehlenden $y$-Werte der Wurzelfunktion $f$.

  Tipps

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^3}=3^\frac 33=3$

  Hier sind einige Quadratzahlen:

  • $1^2=1$
  • $2^2=4$
  • $3^2=9$
  • $4^2=16$

  Es ist $\sqrt{a^2}=a$. Das heißt, die Quadratwurzel einer Quadratzahl entspricht der Zahl, durch deren Multiplikation mit sich selbst diese Quadratzahl resultiert.

  Lösung

  Wir betrachten im Folgenden die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt{x}$ der Wurzelfunktion $f$. Wir möchten den Funktionswert $f(x)$ für einige $x$-Werte bestimmen. Bei jedem der gegebenen $x$-Werte handelt es sich um Quadratzahlen. Eine Quadratzahl $a^2$ ist eine Zahl, die durch einmalige Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst resultiert. Es gilt für die Quadratwurzel einer Quadratzahl $a^2$:

  $\sqrt[2]{a^2}=a^\frac 22=a$

  Damit erhalten wir folgende Lösungen:

  • $f(16)=\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$
  • $f(49)=\sqrt{49}=\sqrt{7^2}=7$
  • $f(25)=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$
  • $f(36)=\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6$

• Gib die Funktionsgleichung der Wurzelfunktionen in der Potenzschreibweise an.

  Tipps

  Es gilt:

  $\sqrt[n]{a^m}=a^\frac mn$

  Handelt es sich um eine Quadratwurzel, kannst du den Wurzelexponenten $2$ auch weglassen.

  Die Wurzel $\sqrt[n]{a}$ setzt sich wie folgt zusammen:

  • $\sqrt{\quad }$: Wurzelzeichen
  • $a$: Radikand
  • $n$: Wurzelexponent

  Lösung

  Eine Wurzel $\sqrt[n]{a}$ setzt sich wie folgt zusammen:

  • $\sqrt{\quad }$: Wurzelzeichen
  • $a$: Radikand
  • $n$: Wurzelexponent

  Wir können Wurzelausdrücke auch als Potenzen schreiben. Dabei gilt:

  • $\sqrt[n]{a^m}=a^\frac mn$

  Handelt es sich um eine Quadratwurzel, also ist $n=2$, können wir den Wurzelexponenten auch weglassen. Für die Quadratwurzel von $x$ würden wir also eher $\sqrt{x}$ statt $\sqrt[2]{x}$ schreiben. Demnach erhalten wir für unsere vier Beispiele folgende Potenzen:

  1. Beispiel

  $\sqrt{x}=x^\frac 12$

  2. Beispiel

  $\sqrt[3]{x}=x^\frac 13$

  3. Beispiel

  $\sqrt[3]{x^2}=x^\frac 23$

  4. Beispiel

  $\sqrt[2]{x^3}=x^\frac 32$

• Bestimme die gesuchten Funktionswerte der gegebenen Wurzelfunktionen.

  Tipps

  Fasse den jeweiligen Ausdruck unter der Quadratwurzel zusammen und ziehe dann die Wurzel:

  $\sqrt{55-6}=\sqrt{49}=7$

  Die Quersumme der Zahlen $2$, $7$ und $5$ berechnet sich wie folgt:

  $2+7+5=14$

  Lösung

  Diese Wurzelfunktionen sind gegeben:

  • $f(x)=\sqrt{\frac x2}$
  • $g(x)=\sqrt{2\cdot x}$
  • $h(x)=\sqrt{x-7}$

  Um Emmas Alter herauszufinden, müssen wir für einige $x$-Werte die zugehörigen Funktionswerte berechnen. Es folgt:

  • $f(32)=\sqrt{\frac {32}2}=\sqrt{16}=4$
  • $g(32)=\sqrt{2\cdot 32}=\sqrt{64}=8$
  • $f(2)=\sqrt{\frac 22}=\sqrt{1}=1$
  • $h(16)=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3$

  Demnach ist Emma $4+8+1+3=16$ Jahre alt.