Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren

Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren Übung

• Nenne korrekte Aussagen über das Rechnen mit Wurzelausdrücken.

  Tipps

  Der Radikand ist die Zahl unter der Wurzel.

  Lösung

  Diese Aussagen sind wahr:

  • Um das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln zu erleichtern, kann man die Wurzelausdrücke durch Variablen substituieren.

  Es kann am Anfang helfen, die Wurzeln durch Variablen zu substituieren, die Rechnung mit den Variablen durchzuführen und anschließend die Wurzeln wieder einzusetzen.

  • Wurzeln mit gleichen Radikanden kann man voneinander abziehen, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben.

  Man kann nur Wurzeln mit gleichen Radikanden verrechnen, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben. Demnach kann man sie auch voneinander abziehen.

  • Man kann Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden miteinander verrechnen, indem man sie als Dezimalzahlen schreibt.

  Man könnte Wurzeln auch als Dezimalzahlen ausschreiben und diese anschließend miteinander verrechnen. Das sollte allerdings vermieden werden, da man hier oft runden muss, um die Lösung anzugeben.

  Diese Aussage ist falsch:

  • Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden kann man addieren, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben.

  Man kann nur Wurzeln mit gleichen Radikanden miteinander verrechnen, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben.

• Gib die Rechnung zum Vereinfachen von Wurzeltermen wieder.

  Tipps

  Man schreibt immer zuerst auf, was ausgerechnet werden soll.

  Zum Vereinfachen der Rechnung verwendet man Variablen.

  Variablen werden am Ende resubstituiert.

  Lösung

  Der folgende Term soll vereinfacht werden:

  $8 \sqrt{6} +3\sqrt{7} -9 \sqrt{6} +2\sqrt{7}$

  Man schreibt immer zuerst auf, was ausgerechnet werden soll.

  Man wählt $\sqrt{6}= x$ und $\sqrt{7}= y$ und setzt ein

  Zum Vereinfachen der Rechnung verwendet man Variablen.

  $8 x + 3y -9 x +2y$

  Die Variablen wurden eingesetzt ...

  $\Leftrightarrow~ -x +5y$

  ... und ausgerechnet.

  $\Leftrightarrow~- \sqrt{6} +5\sqrt{7}$

  Variablen werden am Ende resubstituiert.

• Ermittle die vereinfachten Wurzelterme.

  Tipps

  Die Terme können mit dem bekannten Rechenweg vereinfacht werden.

  Substituiere so viele Wurzeln wie nötig.

  Lösung

  Die Wurzelterme werden mit dem bekannten Verfahren zusammengefasst.

  Beispiel:

  $3\sqrt{3}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}$

  Man wählt:

  $\sqrt{3}=x$,$\sqrt{5}=y$

  Damit ergibt sich:

  $3x-4y+2y$

  $=3x-2y$

  Und mit der Resubstitution erhält man:

  $=3\sqrt{3}-2\sqrt{5}$

  Die anderen Terme kann man genauso zusammenfassen. Dann ergibt sich:

  Zu $3\sqrt{3}-2\sqrt{5}$ gehören die Terme:

  $3\sqrt{3}-5\sqrt{5}+3\sqrt{5}$

  $3\sqrt{3}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}$

  $4\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}$

  Zu $2\sqrt{3}+5\sqrt{7}$ gehören die Terme:

  $\sqrt{3}+8\sqrt{7}+\sqrt{3}-3\sqrt{7}$

  $3\sqrt{3}+5\sqrt{7}-\sqrt{3}$

  Zu $\sqrt{7}-2\sqrt{5}$ gehören die Terme:

  $5\sqrt{7}-2\sqrt{5}-4\sqrt{7}$

  $8\sqrt{7}-7\sqrt{7}-2\sqrt{5}$

• Bestimme die Vereinfachung der Wurzelterme.

  Tipps

  Die Terme können mit dem bekannten Rechenweg vereinfacht werden.

  Substituiere so viele Wurzeln wie nötig.

  Lösung

  Die Wurzelterme werden mit dem bekannten Verfahren zusammengefasst.

  Beispiel:

  $3\sqrt{3}+2\sqrt{7}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{7}$

  Man wählt:

  $\sqrt{3}=x$,$\sqrt{5}=y$,$\sqrt{7}=z$

  Damit ergibt sich:

  $3x+2z-4y+2y-2z$

  $=3x-2y$

  Und mit der Resubstitution erhält man:

  $=3\sqrt{3}-2\sqrt{5}$

  Die anderen Terme kann man genauso zusammenfassen. Dann ergibt sich:

  Zum ersten Partner $\sqrt{8}-2\sqrt{5}$ gehört:

  $4\sqrt{5}+3\sqrt{8}-6\sqrt{5}-2\sqrt{8}$

  Zum zweiten Partner $3\sqrt{3}-2\sqrt{5}$ gehört:

  $3\sqrt{3}+2\sqrt{7}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{7}$

  Zum dritten Partner $8\sqrt{3}+4\sqrt{5}$ gehört:

  $4\sqrt{3}+\sqrt{5}+4\sqrt{3}+3\sqrt{5}$

  Zum vierten Partner $-5\sqrt{8}+2\sqrt{5}$ gehört:

  $-2\sqrt{8}+4\sqrt{5}-3\sqrt{8}-2\sqrt{5}$

• Gib die Lösungsschritte zum Addieren und Subtrahieren von Wurzelausdrücken wieder.

  Tipps

  Es hilft, sich vor der Substitution der Wurzelausdrücke erst einmal zu notieren, welchen Ausdruck man durch welche Variable ersetzen möchte.

  Lösung

  Allgemein vereinfacht man Wurzelterme so:

  • Ordne zuerst jedem unterschiedlichen Wurzelausdruck eine Variable zu.
  • Ersetze dann alle gleichen Wurzelausdrücke mit der gleichen Variablen.

  Mit den bekannten Variablen lässt es sich leichter rechnen.

  • Fasse im Term alle Ausdrücke mit gleichen Variablen zusammen.
  • Nachdem der Term sich nicht mehr vereinfachen lässt, kannst du die Wurzelausdrücke wieder einsetzen.

• Erschließe die Regeln zur Multiplikation von Wurzeln.

  Tipps

  Rechnungen unter der Wurzel werden zuerst ausgeführt.

  Lösung

  Wurzeln werden multipliziert, indem man die Radikanden multipliziert und die Wurzel aus dem Ergebnis zieht:

  $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} =\sqrt{a \cdot b}$

  Also ergibt sich:

  $\sqrt{3} \cdot \sqrt{4} =\sqrt{12}$

  $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9}= 3$

  $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} =\sqrt{6}$

  Beim Multiplizieren von Wurzeln multipliziert man die Radikanden zuerst und zieht im Anschluss die Wurzel. Rechnungen unter der Wurzel werden immer zuerst ausgeführt.

  Wurzeln werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert und die Wurzel aus dem Ergebnis zieht:

  $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

  Also ergibt sich:

  $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$

  $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$

  $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=3$

  Beim Dividieren von Wurzeln dividiert man die Radikanden zuerst und zieht im Anschluss die Wurzel. Rechnungen unter der Wurzel werden immer zuerst ausgeführt.