Ziehen aus einer Urne – Geordnete Stichproben

Ziehen aus einer Urne – Geordnete Stichproben Übung

• Vervollständige die Angaben zu geordneten Stichproben.

  Tipps

  Zieht man Kugeln mit Zurücklegen, so sind bei jedem Durchgang alle $n$ Kugeln in der Urne.

  Zieht man Kugeln ohne Zurücklegen, so verringert sich die Anzahl der Kugeln in der Urne bei jedem Durchgang um $1$.

  Lösung

  Die Kombinatorik liefert für vier verschiedene Situationen bei der Durchführung von Laplace-Experimenten Formeln für das systematische Abzählen von Ergebnissen und damit für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

  Bei geordneten Stichproben unterscheidet man zwei Fälle von Ziehungen:

  • Mit Zurücklegen: Die Kugel wird nach jedem Durchgang zurückgelegt, sodass immer $n$ Kugeln in der Urne sind und Wiederholungen möglich sind. Das bedeutet: Bei jedem Ziehen kann aus $n$ Kugeln gezogen werden, und wird das $k$-mal wiederholt, gibt es insgesamt $n^k$ verschiedene Möglichkeiten.

  • Ohne Zurücklegen: Die Anzahl der Kugeln verringert sich bei jedem Durchgang um $1$. Bei insgesamt $k$ Ziehungen gibt es also nur noch $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \dots \cdot (n-(k-1))=\frac{n!}{(n-k)!}$ verschiedene Möglichkeiten.

• Gib an, welche Angaben zu welchem Beispiel passen.

  Tipps

  $n$ beschreibt die Gesamtanzahl an Kugeln in einer Urne und $k$ die Anzahl an Ziehungen bzw. Durchführungen.

  Kann man bei einem Multiple-Choice-Fragebogen die gegebenen Antwortmöglichkeiten wiederholt ankreuzen?

  Beim Ziehen ohne Zurücklegen kann man nicht häufiger ziehen, als es Kugeln in der Urne gibt.

  Lösung

  Beim Multiple-Choice-Fragebogen gibt es pro Frage drei Antwortmöglichkeiten. In der Urne befinden sich also $n=3$ Kugeln. Insgesamt hat der Test sechs Fragen, somit ziehen wir $k=6$ Mal. Da die Antwortmöglichkeiten wiederholt auftreten können, handelt es sich hierbei um einen Ziehvorgang mit Zurücklegen. Es gibt also $n^k=3^6=729$ verschiedene Möglichkeiten, den Test zu beantworten. Die Wahrscheinlichkeit, den Test durch Raten richtig zu beantworten, beträgt somit $p=\frac{1}{729} \approx 0,14~\%$.

  Der Pianist kann $20$ Klavierstücke auswendig spielen, das entspricht $n=20$ Kugeln in der Urne. Davon soll er fünf verschiedene Stücke spielen, also $k=5$ Kugeln ziehen. Da kein Stück doppelt gespielt werden soll, handelt es sich hierbei um Ziehen ohne Zurücklegen. Der Pianist hat also $\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{20!}{15!}=1~860~480$ Möglichkeiten, ein Programm zusammenzustellen.

• Gib die Anzahl der Möglichkeiten an, die abgebildeten Kugeln zu ordnen.

  Tipps

  Wie groß sind $n$ und $k$?

  Ziehen wir mit oder ohne Zurücklegen?

  Lösung

  Es handelt sich hierbei um eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen, da beispielsweise die rote Kugel nicht an zwei Positionen gleichzeitig sein kann. In solchen Situationen berechnen wir die Anzahl der Möglichkeiten durch

  $\frac{n!}{(n-k)!}$.

  Da wir $n=5$ Kugeln haben und alle Kugeln anordnen, ist $k=5$. Somit ist die Rechnung lediglich:

  $n!=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 = 120$.

  Es gibt also $120$ Möglichkeiten, diese fünf verschiedenen Kugeln anzuordnen.

• Berechne die Anzahl an Möglichkeiten.

  Tipps

  Wie berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen einer Kugel mit bzw. ohne Zurücklegen bei einer geordneten Stichprobe?

  Wie groß sind $n$ und $k$ jeweils?

  Lösung

  Es handelt sich um geordnete Stichproben und um jeweils zwei Aufgaben für den Fall „mit Zurücklegen“, sowie für den Fall „ohne Zurücklegen“. Die Kugeln sind von $1$ bis $9$ durchnummeriert, also ist $n=9$.

  Wenn man vierstellige ($k=4$) bzw. achtstellige ($k=8$) Zahlen bildet und die gezogene Kugel wieder zurücklegt, so berechnet man die Anzahl der Zahlenkombinationen durch $n^k$.

  Wenn man vierstellige ($k=4$) bzw. achtstellige ($k=8$) Zahlen bildet und die gezogene Kugel nicht zurücklegt, so berechnet man die Anzahl der Zahlenkombinationen durch $\frac{n!}{(n-k)!}$.

• Vervollständige den gegebenen Text sinnvoll.

  Tipps

  Wie nennt man Experimente wie den Wurf einer Münze, bei denen die Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben?

  Welche Art von Diagrammen wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr häufig verwendet?

  Lösung

  Experimente wie den Wurf einer Münze, bei dem die Ereignisse „Kopf“ und „Zahl“ die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, nennt man Laplace-Experimente. Die Wahrscheinlichkeit berechnet man dann wie folgt:

  $P(E)=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$.

  In Bezug auf den Wurf einer Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit

  $P($„Kopf“$)=\frac{1}{2}=P($„Zahl“$)$.

  Baumdiagramme werden häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet, um Experimente mit einer überschaubaren Anzahl an Ziehungen und Ergebnissen darzustellen.

  Mit Hilfe der vier Abzählverfahren erhalten wir die Anzahl der möglichen Ergebnisse und können diese wiederum verwenden, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

• Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Handelt es sich hierbei um eine Ziehung mit oder ohne Zurücklegen?

  Die Wahrscheinlichkeit berechnet man bei Laplace-Experimenten, indem man die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilt.

  Bestimme bei Julius' und Robertos Schlössern jeweils $n$ und $k$.

  Lösung

  Julius' Schloss hat $n=9$ verschiedene Zahlen und $k=4$ Stellen zum Einstellen. Robertos Schloss hat hingegen $n=6$ verschiedene Zahlen und $k=5$ Stellen zum Einstellen.

  Zahlenschlösser sind bezogen aufs Urnenmodell geordnete Stichproben mit Zurücklegen, da Zahlen auch wiederholt auftreten können. Also verwenden wir zur Berechnung der Anzahl möglicher Schlosskombinationen jeweils $n^k$.

  Für Julius' Schloss gibt es $9^4=6561$ mögliche Kombinationen. Für Robertos Schloss gibt es $6^5=7776$ mögliche Kombinationen.

  Die Wahrscheinlichkeit bei solchen Laplace-Experimenten berechnen wir, indem wir die Anzahl der günstigen Ergebnisse, welche bei beiden Schlössern $1$ beträgt, durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilen. Also ist die Wahrscheinlichkeit, Julius Schloss zu knacken, mit $\frac{1}{6561}$ größer als die Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{7776}$, Robertos Schloss zu knacken. Roberto hatte recht!