Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge – Einführung

Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge – Einführung Übung

• Gib die Anzahl aller möglichen Kombinationen an.

  Tipps

  Die Reihenfolge der Ziffern einer PIN ist wichtig, denn $6 499$ ist eine andere PIN als $9 469$.

  Beim Tippen der ersten Ziffer gibt es $n$ Möglichkeiten. Dann wird die zweite Ziffer eingetippt. Wieder gibt es $n$ Möglichkeiten für das Eintippen der zweiten Ziffer. Beim Eintippen von zwei Ziffern gibt es also insgesamt $n^2$ Möglichkeiten. Die PIN besteht allerdings aus $4$ Ziffern.

  Die Anzahl möglicher Kombinationen für den Kombinatorikfall „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge“ entspricht $n^k$. Es gilt:

  $n^k=\underbrace{n\cdot n\cdot\ ...\ \cdot n}_{k\text{-mal}}$

  Lösung

  Für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen müssen wir zunächst herausfinden, um welchen Kombinatorikfall es sich hier handelt. Die folgende Tabelle führt alle Kombinatorikfälle auf:

  $ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{mit Zurücklegen} & \textbf{ohne Zurücklegen} \\ \hline \textbf{mit Reihenfolge} & n^k & \binom{n}{k}\cdot k! \\ \textbf{ohne Reihenfolge} & \binom{n+k-1}{k}& \binom{n}{k} \\ \end{array} $

  Um herauszufinden, um welchen Fall es sich bei uns handelt, überlegen wir gemeinsam, wie unser Problem strukturiert ist:

  Beim Eintippen einer PIN können wir jede Ziffer mehrfach nutzen. Es handelt sich also schon einmal um das Ziehen mit Zurücklegen. Wir brauchen also eine der beiden Formeln aus der ersten Tabellenspalte.

  Außerdem ist die Reihenfolge bei der PIN wichtig. Also liegt der Fall Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge vor. Wir brauchen somit die Formel aus der ersten Spalte und ersten Zeile der Tabelle.

  In unserem Fall gibt es also $n^k$ mögliche Kombinationen. Bei unserer PIN gibt es $10$ mögliche Ziffern. Das entspricht den $n$ Elementen aus der Formel. Und wir tippen $4$ davon ein, also ist bei uns $k=4$.

  Die Anzahl der möglichen Kombinationen entspricht somit $n^k=10^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10 000$.

• Berechne die Anzahl aller möglichen Kombinationen.

  Tipps

  Schaue dir die folgende Tabelle an:

  $ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{mit Zurücklegen} & \textbf{ohne Zurücklegen} \\ \hline \textbf{mit Reihenfolge} & n^k & \binom{n}{k}\cdot k! \\ \textbf{ohne Reihenfolge} & \binom{n+k-1}{k}& \binom{n}{k} \\ \end{array} $

  Es handelt sich um den Kombinatorikfall „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfole.

  Lösung

  In diesem Beispiel untersuchen wir ein fünfstelliges Passwort, das sich aus den $26$ Buchstaben des Alphabets zusammensetzt.

  Für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen müssen wir den Kombinatorikfall „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge“ betrachten. Der folgenden Tabelle können wir entnehmen, dass wir für diesen Fall die Anzahl möglicher Kombinationen mittels $n^k$ berechnen können:

  $ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{mit Zurücklegen} & \textbf{ohne Zurücklegen} \\ \hline \textbf{mit Reihenfolge} & n^k & \binom{n}{k}\cdot k! \\ \textbf{ohne Reihenfolge} & \binom{n+k-1}{k}& \binom{n}{k} \\ \end{array} $

  In unserem Beispiel gibt es also $n^k$ mögliche Kombinationen. Für jede Stelle des Passwortes gibt es je $26$ mögliche Buchstaben. Das entspricht den $n$ Elementen aus der Formel. Und wir tippen $5$ davon ein, also ist bei uns $k=5$.

  Die Anzahl der möglichen Kombinationen entspricht somit $n^k=26^5=26\cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26= 11 881 376 $.

• Ermittle, wie viele Kombinationsmöglichkeiten vorliegen.

  Tipps

  Bei beiden Beispielen handelt es sich um das Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.

  Verwende für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen die Formel $n^k$.

  Wir ziehen $k$ Elemente aus einer Menge mit $n$ Elementen.

  Die Vokale sind a, e, i, o und u. Somit ist im ersten Beispiel $n=5$.

  Lösung

  Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Beispiele zu dem Kombinatorikfall „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge“.

  Für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen verwenden wir die Formel $n^k$. Wir müssen dafür die Werte für $n$ und $k$ bestimmen.

  Beispiel 1

  Wir betrachten ein achtstelliges Passwort, das sich ausschließlich aus Vokalen zusammensetzen soll. Die Vokale sind a, e, i, o und u. Somit gibt es insgesamt $5$ Elemente in der betrachteten Menge. Aus dieser Menge ziehen wir $8$ Elemente mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Es ist also $n=5$ und $k=8$ und somit $n^k=5^8= 390 625$.

  Beispiel 2

  Wir betrachten ein Glücksrad mit sieben gleich großen Sektoren. Tom soll dreimal an diesem Rad drehen und sich die Reihenfolge der Farben bzw. der dazugehörigen Zahlen merken. Da das Glücksrad sieben verschiedene Farben hat, ist die Menge aller möglichen Elemente $n=7$. Das dreimalige Drehen liefert uns $k=3$. Damit erhalten wir $n^k=7^3= 343 $.

• Bestimme die Anzahl möglicher dreistelliger Zahlen.

  Tipps

  Die Anzahl aller Elemente, die zur Auswahl stehen, bezeichnet man mit $n$.

  Wir ziehen $k$ Elemente aus einer Menge mit $n$ Elementen.

  Die Anzahl möglicher Kombinationen beträgt $n^k$.

  Lösung

  Hier betrachten wir folgendes Kartenspiel:

  • Aus einem Kartenstapel mit $9$ Karten soll dreimal je eine Karte gezogen werden.
  • Nach jedem Zug soll die gezogene Karte wieder in den Kartenstapel zurückgelegt werden, bevor erneut gezogen wird.
  • Die Reihenfolge der gezogenen Karten muss man sich merken.

  Somit haben wir den Kombinatorikfall „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge“. Dabei ist die Anzahl aller Elemente, die zur Auswahl stehen, $n=9$. Aus der Menge mit $9$ Elementen ziehen wir $k=3$ Elemente. Somit erhalten wir $n^k=9^3=729$ verschiedene Zahlenkombinationen.

• Gib die Formel an, mit der du die Anzahl möglicher Kombinationen berechnen kannst.

  Tipps

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  Gesucht ist die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen für ein sechsstelliges Passwort aus Ziffern. Hierzu rechnet man $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=1 000 000$.

  Du kannst die Multiplikation $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$ auch wie folgt in der Potenzschreibweise darstellen:

  $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^6$

  Lösung

  Es gibt insgesamt vier verschiedene Kombinatorikfälle. Diese sind:

  • Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
  • Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
  • Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
  • Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

  Die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen erfolgt bei jedem Kombinatorikfall mit einer anderen Formel. Diese sind in der folgenden Tabelle gegeben:

  $ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{mit Zurücklegen} & \textbf{ohne Zurücklegen} \\ \hline \textbf{mit Reihenfolge} & n^k & \binom{n}{k}\cdot k! \\ \textbf{ohne Reihenfolge} & \binom{n+k-1}{k}& \binom{n}{k} \\ \end{array} $

  Da wir wissen, dass es bei unserem Problem um den Fall „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge“ geht, müssen wir für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen die Formel $n^k$ verwenden.

• Prüfe, welches der gegebenen Zahlenschlösser die sicherste Zahlenkombination hat.

  Tipps

  Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, nämlich die $1$ und sich selbst. Somit ist die $1$ keine Primzahl.

  Die Anzahl möglicher Kombinationen beträgt $n^k$. Dabei ist $n$ die Anzahl aller Elemente, die zur Auswahl stehen.

  Da die Zahlenkombination bei allen vier Freunden eine vierstellige Zahl ist, ist in allen Beispielen $k=4$.

  Lösung

  Die Beispiele für Zahlenkombinationen entsprechen dem Kombinatorikfall „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge“.
  Da es sich bei allen vier Zahlenkombinationen um eine vierstellige Zahl handelt, gilt immer $k=4$. Die Anzahl der Elemente, die zur Auswahl stehen, ändert sich bei jeder Person. Die Anzahl möglicher Kombinationen erhalten wir dann über $n^4$.

  Lennarts Zahlenschloss

  Tipp: Zahlenkombination besteht ausschließlich aus geraden Zahlen von $0$ bis $5$

  In dem Bereich von $0$ bis $5$ liegen genau $3$ gerade Zahlen. Diese sind $0$, $2$ und $4$. Somit ist $n=3$ und die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen $n^k=3^4=81$.

  Roberts Zahlenschloss

  Tipp: Zahlenkombination besteht ausschließlich aus ungeraden Zahlen

  Da bei einem Zahlenschloss die Zahlen von $0$ bis $9$ gewählt werden können, betrachten wir nun in diesem Bereich alle ungeraden Zahlen. Diese sind $1$, $3$, $5$, $7$ und $9$. Somit ist $n=5$ und die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen $n^k=5^4=625$

  Janas Zahlenschloss

  Tipp: Zahlenkombination besteht aus den Zahlen $1$ und $7$

  Der Tipp von Jana beschränkt die Auswahl auf nur zwei Elemente. Somit ist $n=2$ und die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen $n^k=2^4=16$.

  Sabrinas Zahlenschloss

  Tipp: Zahlenkombination besteht ausschließlich aus Primzahlen

  Im Bereich von $0$ bis $9$ liegen vier Primzahlen. Diese sind $2$, $3$, $5$ und $7$. Somit ist $n=4$ und die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen $n^k=4^4=256$.

  Damit ist das Zahlenschloss von Robert trotz des Tipps am sichersten!