Zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge
Zweistufige Zufallsexperimente, bei denen die Reihenfolge wichtig ist, spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Mithilfe von Baumdiagrammen wird visualisiert, wie man die Pfadregeln anwendet. In dem Video werden Beispiele und Lösungswege leicht verständlich erklärt. Interessiert? Das und mehr erfährst du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge
Einführung: Wettbewerb
Wenn bei einem Wettbewerb aus mehreren Kandidaten zwei ausgewählt werden sollen, so können wir dieses Experiment in der Mathematik durch ein Urnenexperiment beschreiben. Wenn der erste ausgewählte Kandidat im Wettbewerb einen Vorteil erhalten soll, ist die Reihenfolge, in der die beiden Kandidaten ausgewählt werden, relevant. Wir sprechen dann von einem zweistufigen Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge.
Beispiel zum zweistufigen Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge
Ein zweistufiges Zufallsexperiment ist beispielsweise, zweimal aus einer Urne zu ziehen, zweimal zu würfeln oder zwei Karten zu ziehen. Wir betrachten im Folgenden als Beispiel einen Wettbewerb, bei dem drei Kandidaten teilnehmen: Ein Schwarzbärtiger, ein Rotbärtiger und ein Blaubärtiger. Zwei der Kandidaten sollen gegeneinander antreten, wobei der erste gewählte Kandidat einen Wettbewerbsvorteil erhält. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass der Schwarzbärtige mit Vorteil gegen den Rotbärtigen antritt.
Wir können dieses Beispiel mit dem Urnenexperiment vergleichen: In unserer Urne befinden sich dann drei verschiedenfarbige Kugeln: eine schwarze, eine blaue und eine rote Kugel. Wir ziehen nacheinander zwei Kugeln aus dieser Urne. Wir sprechen in unserem Beispiel vom Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge.
Baumdiagramm
Mehrstufige Zufallsexperimente können wir durch Baumdiagramme veranschaulichen. Dazu zeichnen wir für jedes mögliche Ergebnis eines Zugs einen Ast. An das Ende kommt ein sogenannter Knoten – hier notieren wir das entsprechende Ergebnis. Wir haben im ersten Schritt den Schwarzbärtigen, den Rotbärtigen und den Blaubärtigen zur Auswahl. An die Äste notieren wir die jeweilige Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses. Weil die drei Kandidaten gleich wahrscheinlich sind, ist also jede dieser Wahrscheinlichkeiten gleich $\frac{1}{3}$. Ist im ersten Schritt der Schwarzbärtige als Kandidat festgelegt worden, gibt es im zweiten Zug noch die Möglichkeit, den Rotbärtigen oder den Blaubärtigen auszuwählen. Da es dann nur noch zwei Möglichkeiten gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit an jedem dieser Äste deshalb $\frac{1}{2}$.
Wir können in dem Baumdiagramm nun den Pfaden die möglichen Ergebnisse zuordnen. Der rot markierte Pfad gehört beispielsweise zu dem Ergebnis, dass der Schwarzbärtige als Erstgewählter mit Vorteil gegen den Rotbärtigen antritt.
Wie berechnet man ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge?
Für die Berechnung eines zweistufigen Zufallsexperiments mit Beachtung der Reihenfolge wenden wir die Pfadregeln an: Die erste Pfadregel lautet: Das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfads entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit des ganzen Pfads.
Wir wenden die Regel auf unser Beispiel an: Wir wollen die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass zuerst der Schwarzbärtige und dann der Rotbärtige gewählt wurden. Wir multiplizieren also die Wahrscheinlichkeiten entlang des rot markierten Pfads und erhalten:
$P(s,r) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
Die zweite Pfadregel lautet: Besteht das gesuchte Ereignis aus mehreren Pfaden in dem Diagramm, so addiert man die Pfadwahrscheinlichkeiten all dieser Pfade.
Wenn wir also die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen wollen, dass der zweite Kandidat rotbärtig ist, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade schwarzbärtig/rotbärtig und blaubärtig/rotbärtig addieren. Es handelt sich dabei um den obersten und den untersten Pfad. Da beide Pfadwahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ betragen, ergibt sich:
$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Zusammenfassung: zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge
In diesem Video zu mehrstufigen Zufallsexperimenten untersuchen wir verschiedene Beispiele zweistufiger Zufallsexperimente. Wir veranschaulichen die Zufallsexperimente durch Baumdiagramme. Anschließend formulieren wir die beiden Pfadregeln und wenden diese zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten an. Damit wird das zweistufige Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge einfach erklärt.
Wenn du noch weitere Übungen zu zweistufigen Zufallsexperimenten mit Beachtung der Reihenfolge suchst, so wirst du auf dieser Seite von sofatutor fündig. Hier gibt es außerdem Aufgaben und Lösungen zum zweistufigen Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge.
Transkript Zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge
Im Zwergenreich Unfairien herrscht König Dyschronus mit eiserner Hand. Zu seiner Belustigung möchte er ein Turnier veranstalten. Dabei entscheidet das Los, welche 2 seiner 3 Ritter dieses Duell austragen werden. Wotan Weichkopf ist der älteste der drei Ritter und kein besonders spannender Kämpfer. Ganz anders Holm Hassmuth: schon beim Klang seines Namens erzittern seine Feinde, nur nicht Sören Schwarzbart. Holm und Sören sind seit ihrer Jugend Rivalen und nutzen jede Möglichkeit, ihre Fehde auszufechten. Dafür bietet dieses Turnier doch eine ideale Gelegenheit! Aber im Königreich Unfairien geht es nicht besonders fair zu. Für jeden Kämpfer wird ein Los in eine Urne geworfen. Danach wird zweimal gezogen und die gezogenen Namen notiert. Allerdings: derjenige Ritter, der zuerst gezogen wird, bekommt einen Bonus! Nur er darf beim Duell eine Rüstung tragen. König Dyschronus fände es auch furchtbar langweilig, wenn es beim Duell fair zuginge. Wie groß ist denn nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Sören und Holm gegeneinander antreten – und Sören dabei die Rüstung tragen darf? Weil zwei Namen gezogen werden und der zuerst gezogene einen Vorteil hat, handelt es sich hier um ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge. Schauen wir uns das Losverfahren also etwas genauer an. Aus den drei Namen in der Urne werden zwei per Zufall gezogen. Dabei merkt man sich, welcher Ritter zuerst gezogen wurde. Beim Ziehen mit Zurücklegen könnte jeder Ritter auch zweimal gezogen werden. Aber natürlich kann ein Ritter nicht gegen sich selbst antreten – das wäre sogar in Unfairien kein akzeptables Duell. Also handelt es sich insbesondere um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Mehrstufige Zufallsexperimente beschreibt man am besten mit einem Baumdiagramm. Dabei zeichnest du für jedes mögliche Ergebnis eines Zuges von der Urne ausgehend einen Ast. Ans Ende kommt ein sogenannter Knoten– in den schreibst du das entsprechende Ergebnis. Wir haben im ersten Zug die drei Ritter Wotan, Holm und Sören. An die Äste notierst du die jeweilige Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses. Weil die drei Namen gleich wahrscheinlich sind, ist also jede dieser Wahrscheinlichkeiten gleich 'ein Drittel'. Ist ein Ritter im ersten Schritt gezogen worden, gibt es im zweiten Zug noch die Möglichkeit, einen der beiden anderen Ritter zu ziehen. Da es dann nur noch zwei Möglichkeiten gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit an jedem dieser Pfade deshalb 'einhalb'. Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass zuerst Sören und dann Holm ausgelost werden. Dieses Ereignis entspricht diesem Pfad in dem Diagramm – es müssen Sören und Holm in der richtigen Reihenfolge entlang des Pfads auftauchen. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Pfad berechnen wir mit der ersten Pfadregel. Die besagt, dass wir alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren müssen. Also lautet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 'erst Sören, dann Holm', 'ein Drittel mal einhalb'. Das ergibt ein Sechstel, also etwa 16 Komma 7 Prozent. Gar nicht mal so wahrscheinlich! Wir könnten zum Beispiel auch ausrechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass Holm gegen irgendeinen der beiden anderen Ritter antreten muss – dabei aber keine Rüstung tragen darf. Die beiden Pfade, die zu diesem Ereignis gehören, sind dieser hier und dieser. Sie müssen immer mit Holm enden, aber wer sein Kontrahent wird, ist egal. Für jede einzelne dieser Paarungen lautet die Wahrscheinlichkeit mit der ersten Pfadregel ein Sechstel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen wir dann mit der zweiten Pfadregel. Die erlaubt es uns, Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen, die aus mehreren Pfaden bestehen. Wir müssen dafür die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren.In unserem Fall also 'ein Sechstel' plus 'ein Sechstel', das ergibt 'ein Drittel'. Überlassen wir die Kämpfer also ihrem Schicksal und fassen zusammen. Ein zweistufiges Zufallsexperiment ist es beispielsweise, zweimal aus einer Urne zu ziehen, zweimal zu würfeln oder zwei Karten zu ziehen. Dabei solltest du dir immer überlegen, ob die einzelnen Möglichkeiten mehrmals eintreffen können: wie beim Würfeln. Oder eben nicht, wie zum Beispiel beim Kartenziehen. Beim Ziehen ohne Zurücklegen kann jedes Ergebnis nur einmal auftauchen. Als nächstes solltest du dich fragen, ob die Reihenfolge beim Ziehen eine Rolle spielt. Zum Beispiel könntest du in einer Urne drei verschiedenfarbige Kugeln haben und dich fragen, wie wahrscheinlich es ist, zuerst die gelbe und dann die rote Kugel zu ziehen. Man nennt das dann: Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge. Am besten kannst du solche Zufallsexperimente in einem Baumdiagramm darstellen. Dafür zeichnest du für jedes mögliche Ergebnis einen Knoten und verbindest die Knoten mit Ästen. An die Äste schreibst du die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Knoten. Die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ereignisse berechnest du dann mit den beiden Pfadregeln. Die erste lautet: Das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit des ganzen Pfades. Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine gelbe und dann eine rote Kugel zu ziehen, ist also 'ein Drittel mal einhalb', also 'ein Sechstel'. Die zweite Pfadregel lautet: besteht das gesuchte Ereignis aus mehreren Pfaden in dem Diagramm, so addiert man die Pfadwahrscheinlichkeiten all dieser Pfade. Wenn uns zum Beispiel nur interessiert, dass die zuletzt gezogene Kugel blau war, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Pfade addieren. Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade betragen jeweils 'ein Sechstel'. Und das Ergebnis wäre 'ein Sechstel plus ein Sechstel' also 'ein Drittel'. Nun aber zurück zum Turnier! Holm Hassmuth ist entrüstet! Er muss ohne Rüstung gegen seinen Erzfeind Sören Schwarzbart antreten! Das Duell beginnt! Oh... die schwere Rüstung hat Sören zu Fall gebracht! Wie unfair!
Zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge Übung
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Beschrifte das Baumdiagramm.
TippsDie Wahrscheinlichkeit eines Pfades wird mit der ersten Pfadregel bestimmt.
In der zweiten Pfadregel werden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert, in der ersten Pfadregel nicht.
Bei der ersten Ziehung gilt für jeden der drei Ritter dieselbe Wahrscheinlichkeit. Die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten ist $1$.
LösungWir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass Sören im Duell gegen Holm die Rüstung trägt, mithilfe der ersten Pfadregel: Im Baumdiagramm entspricht das Ereignis genau einem Pfad: zuerst Sören und dann Holm.
Bei der ersten Ziehung mit drei Karten haben alle Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$. Bei der zweiten Ziehung mit nur noch zwei Karten im Topf haben alle Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$. Gemäß der ersten Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades multipliziert.
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass Sören gegen Holm die Rüstung trägt, ist demnach:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
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Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die ungünstige Duellsituation.
TippsMit der zweiten Pfadregel wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus den Wahrscheinlichkeiten seiner Pfade berechnet.
Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade werden nicht multipliziert.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden ist größer als die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades.
LösungWir berechnen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Holm wird als Zweiter gezogen“ mithilfe der zweiten Pfadregel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten der Pfade eines Ereignisses addiert werden, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen.
Das Ereignis „Holm wird als Zweiter gezogen“ besteht aus zwei Pfaden: Der eine beginnt mit Sören, der andere mit Wotan, und beide enden mit Holm. Die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Pfades beträgt $\frac{1}{6}$. Damit ist die Wahrscheinlichkeit des aus zwei Pfaden bestehenden Ereignisses:
$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$
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Prüfe die Formulierung der Pfadregeln.
TippsEin Pfad mit Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.
Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade eines Ereignisses addieren sich zu der Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses.
Alle Pfade zusammengenommen ergeben das Ereignis aller möglichen Ausgänge des mehrstufigen Zufallsexperiments. Diese Wahrscheinlichkeit ist immer $1$.
LösungFolgende Sätze sind falsch:
- Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.
- Ein Pfad aus drei Abschnitten, die jeweils die Wahrscheinlichkeit $0,2$ haben, hat die Wahrscheinlichkeit $0,6$.
- Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist $1$.
Folgende Sätze sind richtig:
- Besteht ein Ereignis aus mehreren Pfaden, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade.
- Die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden multipliziert.
- Besteht ein Ereignis aus drei Pfaden, die jeweils die Wahrscheinlichkeit $0,2$ haben, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $0,6$.
- Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist $1$.
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Untersuche die Formulierungen der Pfadregeln.
TippsDie erste Pfadregel besagt: Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden multipliziert. Das Produkt ergibt die Wahrscheinlichkeit des Pfades.
Die zweite Pfadregel bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehren Pfaden.
Ein Pfad mit Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.
LösungDie erste Pfadregel bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Pfades als das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Die zweite Pfadregel bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden als die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade.
Wir schreiben die korrekt zugeordneten Sätze auf:
- Ein Ereignis aus drei Pfaden der Wahrscheinlichkeit $0,1$ hat die Wahrscheinlichkeit $0,3$.
- Ein Pfad mit Wahrscheinlichkeiten $0,2$ und $0,5$ längs des Pfades hat die Wahrscheinlichkeit $0,1$.
- Das Ereignis aus allen Pfaden hat die Wahrscheinlichkeit $1$.
- Ein Ereignis aus drei Pfaden der Wahrscheinlichkeiten $0,1$ und $0,2$ und $0,3$ hat eine Wahrscheinlichkeit $> 0,5$ und $<1$.
- Ein Pfad mit Wahrscheinlichkeiten $0,1$ und $0,2$ und $0,3$ längs des Pfades hat eine Wahrscheinlichkeit kleiner als $0,1$.
-
Ergänze die Begriffe zu den Pfadregeln.
TippsDie Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ längs des Pfades ist $\frac{1}{6}$.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus zwei Pfaden mit Pfadwahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$ ist $\frac{5}{6}$.
Multipliziert man Wahrscheinlichkeiten, so ist das Ergebnis kleiner als die Einzelwahrscheinlichkeiten.
LösungMit der ersten Pfadregel bestimmt man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades aus den Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades. Diese Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind kleiner als $1$, sie werden beim Multiplizieren daher kleiner. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit kleiner als die Einzelwahrscheinlichkeiten.
Mit der zweiten Pfadregel dagegen bestimmt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden. Diese Wahrscheinlichkeiten werden addiert. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind größer als $0$, sie werden beim Addieren daher größer. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit größer als die Einzelwahrscheinlichkeiten.
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Analysiere die Zufallsexperimente.
TippsZeichne ein passendes Baumdiagramm und überlege, welche Pfade zu dem Ereignis gehören, dass Wotan an dem Duell teilnimmt.
Prüfe anhand des Baumdiagramms, bei welchen Pfaden bei der zweiten Ziehung Wotan bzw. Holm vorkommen.
Finde alle Pfade im Baumdiagramm, die Wotan nicht enthalten, und addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade.
LösungFolgende Sätze sind falsch:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass Wotan an dem Duell nicht teilnimmt, ist $\frac{1}{2}$.
- Die Wahrscheinlichkeit für Wotan bei der zweiten Ziehung ist dieselbe wie die für Holm bei der ersten Ziehung.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass Wotan an dem Duell nicht teilnimmt, ist kleiner als die Wahrscheinlichkeit, dass Sören eine Rüstung tragen darf.
Folgende Sätze sind richtig:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass Holm als Erster und Wotan nicht als Zweiter gezogen wird, beträgt $\frac{1}{6}$.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass Holm und Wotan gezogen werden, egal in welcher Reihenfolge, ist $\frac{1}{3}$.
- Die Wahrscheinlichkeit für Holm und Wotan bei der zweiten Ziehung ist nur dann dieselbe, wenn bei der ersten Ziehung Sören gezogen wird.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass Sören eine Rüstung tragen darf, ist dieselbe wie diejenige, dass Holm an dem Duell ohne Rüstung teilnimmt.
Beachte aber: Das Ereignis, dass Holm nicht die Rüstung bekommt, enthält zusätzlich die beiden Pfade Sören–Wotan und Wotan–Sören. Es besteht also aus vier Pfaden und hat daher die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{3}$.
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Lustige Geschichte und richtig gut erklärt!
haha super
schönes Video habe es gleich viel besser verstanden ; )
wo findet man die Lösungen der Arbeitsblätter?
Gut da gestellt