Gegenwahrscheinlichkeit

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist ein Gegenereignis in einem Zufallsexperiment?
• Gegenereignis
• Beispiel
• Gegenwahrscheinlichkeit
• Beispiel
• Anwendungsaufgaben für die Gegenwahrscheinlichkeit
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Vierfeldertafel
• Mindestwahrscheinlichkeiten
• Zauberwürfel

Was ist ein Gegenereignis in einem Zufallsexperiment?

Gegenereignis

• $E$ sei ein Ereignis, also eine Teilmenge an Ergebnissen eines Zufallsversuches mit der Ergebnismenge $\Omega$.
• Das Gegenereignis zu einem Ereignis $E$ enthält alle Elemente von $\Omega$, die nicht Teilmenge von $E$ sind. Dieses wird häufig mit einem Strich über dem Buchstaben angezeigt $\overline{E}$.
• Das Gegenereignis $\overline{E}$ tritt genau dann ein, wenn $E$ nicht eintritt.

Es gilt:

• Die Ereignisse haben keine gemeinsamen Ergebnisse $E\cap \overline E=\emptyset$ . Sie werden auch disjunkt genannt.

• Alle Elemente des Ereignisses $E$ und seines Gegenereignisses $\overline E$ zusammen ergeben die Menge des Ergebnisraums $\Omega$: $E\cup \overline E=\Omega$

Beispiel

Stelle dir das folgende mehrstufiges Zufallsexperiment vor. In einer Urne befinden sich vier Kugeln, zwei rote und zwei blaue.

Du ziehst dreimal hintereinander eine Kugel aus dieser Urne, ohne zu wissen welche. Die jeweils gezogene Kugel legst du wieder zurück. Die Zufallsgröße $X$ steht für die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. $X$ kann die Werte $0$; $1$; $2$ und $3$ annehmen. Dies sind die möglichen Ergebnisse. Diese Ergebnisse werden zu der Ergebnismenge $\Omega=\{0;1;2;3\}$ zusammengefasst.

Betrachten wir nun das Ereignis $E$: „Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.“

• So ist $E=\{1;2;3\}$.
• Das zugehörige Gegenereignis wäre ${\overline E}=\{0\}$: „Es wird keine rote Kugel gezogen.“

Möchtest du nun die Wahrscheinlichkeit für $E=\{1;2;3\}$ berechnet. Dann müsstest du die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von $1$ oder $2$ oder $3$ rote Kugeln berechnen und diese anschließend addierst. Erheblich weniger Aufwand bereitet es, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overline{E}=\{0\}$ zu ermitteln.

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenereignis $\overline{E}$ von $E$ eintritt.

Liegt ein Ereignis $E$ vor und dessen Ergebnismenge $\Omega$, so gilt folgende Komplementärregel:

• Nach dem Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten gilt nun: $1=P(\Omega)=P(E \cup \overline E)=P(E)+P( \overline E)$.

• Dann gilt $P(E)+P(\overline E)=1$ oder anders ausgedrückt $P(E)=1-P(\overline E)$.

• Ein Ereignis kann auch kein Ergebnis enthalten $E=\emptyset$. Dieses Ereignis wird als unmögliches Ereignis bezeichnet. Es gilt $P(\emptyset)=0$.

• $\Omega$ selbst kann auch ein Ereignissein $E=\Omega$. Dieses Ereignis wird als sicheres Ereignis bezeichnet. Es gilt $P(\Omega)=1$. Das zugehörige Gegenereignis wäre wiederum die leere Menge $P(\overline{E})=P(\emptyset)=0$.

Beispiel

Schauen wir uns noch einmal das obige Beispiel an. Anstatt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ zu berechnen, berechnest du die Wahrscheinlichkeit von $\overline E$ und subtrahierst diese von $1$. Wie kann nun die Wahrscheinlichkeit von $\overline E$ berechnet werden? Wenn du bei dreimaligem Ziehen nie eine rote Kugel ziehst, hast du dreimal eine blaue Kugel gezogen. Es ist dann

$P\left(\overline E\right)=\left(\frac12\right)^3$.

Dies erhältst du zum Beispiel mit der 1. Pfadregel oder auch Produktregel, welche du bei Baumdiagrammen anwendest.

Schließlich ist

$P(E)=1-P\left(\overline E\right)=1-\left(\frac12\right)^3=\frac{7}{8}=0,875$.

Anwendungsaufgaben für die Gegenwahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Vierfeldertafel

Sowohl bei bedingten Wahrscheinlichkeiten als auch bei Vierfeldertafeln werden Ereignisse und deren Gegenereignisse betrachtet und somit auch Gegenwahrscheinlichkeiten.

Mindestwahrscheinlichkeiten

Eine recht typische Aufgabenstellung lautet: „Wie oft muss ein Zufallsexperiment, genauer ein Bernoulli-Experiment, mindestens durchgeführt werden, damit mit einer Mindestwahrscheinlichkeit zum Beispiel $95~\%$ mindestens ein Treffer erzielt wird.“

Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist dabei gegeben.

„Mindestens ein Treffer“ bedeutet $1$ oder $2$ oder $3$ oder $4$ ... $n$ Treffer. Dabei ist die Anzahl $n$ der Durchführungen nicht bekannt. Es ist also sinnvoll, das Gegenereignis zu betrachten und dessen Wahrscheinlichkeit von $1$ zu subtrahieren:

$P(E)=1-P\left(\overline E\right)= 1-(1-p)^n$.

Zauberwürfel

Ein außen rot lackierter Würfel wird entlang der gestrichelten Linien aufgeschnitten. Alle Fläche, die von außen zu sehen sind, sind rot. Alle, die nicht von außen zu sehen sind, sind grau. Dies kannst du hier am Beispiel eines ausgeschnittenen Würfels sehen.

Wie viele kleinere Würfel entstehen dadurch? Richtig: $3\cdot 3\cdot 3=27$.

Von diesen Würfeln wird einer zufällig gezogen. Es soll die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnet werden $E$: „Es ist mindestens eine Seitenfläche rot.“ Nun kannst du natürlich zählen, wie viele der Würfel $1$ oder $2$ oder sogar $3$ rote Seitenflächen haben. (Mehr als $3$ rote Seitenflächen gibt es nicht!)

Du kannst allerdings auch überlegen, wie viele Würfel nur graue Seitenflächen haben. Du betrachtest also das Gegenereignis $\overline E$: „Es ist keine Seitenfläche rot.“

Da es genau einen solchen Würfel gibt, den in der Mitte, bei insgesamt $27$ Würfeln, ergibt sich nach der Formel von Laplace

$P\left(\overline E\right)=\frac1{27}$

Du teilst also die Anzahl aller günstigen Ergebnisse, hier $1$, durch die aller möglichen Ergebnisse, hier $27$.

Damit ist mittels Anwendung der Komplementärregel

$P(E)=1-\frac1{27}=\frac{26}{27}\approx 0,963$.