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Quadratwurzeln natürlicher Zahlen

Das Quadrat einer Zahl ist das Produkt dieser Zahl mit sich selbst. Wenn du umgekehrt wissen willst, welche Zahl quadriert worden ist, musst du die (Quadrat-)Wurzel ziehen.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was bedeutet Quadrieren

Weißt du noch, was Potenzen sind? Potenzen haben die Form

an=a...anmala^{n}=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n-\text{mal}}

Du siehst, eine Potenz ist ein Produkt, in welchem der gleiche Faktor (hier aa) mehrmals (hier nn-mal) vorkommt.

Beim Quadrieren ist n=2n=2, also a2=aaa^{2}=a\cdot a.

Beispiele

  • 42=44=164^{2}=4\cdot 4=16
  • 112=1111=12111^{2}=11\cdot 11=121
  • 1,52=1,51,5=2,251,5^{2}=1,5\cdot 1,5=2,25

Was bedeutet Wurzelziehen

Willst du nun umgekehrt wissen, welche Zahl zum Quadrat 1616 oder 121121 oder 2,252,25 ist, musst du die Wurzel ziehen. Wenn man in der Mathematik von der Wurzel spricht, meint man die Quadratwurzel. Es gibt auch andere Wurzeln. Die wirst du sicher noch kennenlernen.

Du kannst eine Wurzel so definieren: Die Wurzel einer nichtnegativen Zahl xx ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat xx ist.

Bei den obigen Beispielen bedeutet dies:

  • 42=44=164^{2}=4\cdot 4=16, also ist 16=4\sqrt{16}=4.
  • 112=1111=12111^{2}=11\cdot 11=121, also ist 121=11\sqrt{121}=11.
  • 1,52=1,51,5=2,251,5^{2}=1,5\cdot 1,5=2,25, also ist 2,25=1,5\sqrt{2,25}=1,5.

Quadratzahlen

Quadratzahlen sind natürliche Zahlen, die das Quadrat einer anderen natürlichen Zahl sind. Umgekehrt kannst du auch die Wurzel bestimmen. Schaue dir hierfür einige Beispiel an.

Die Wurzel aus Quadratzahlen

Kennst du die Zahl, welche quadriert die Quadratzahl ergibt, so kennst du umgekehrt auch die Wurzel der Quadratzahl:

  • 52=255^{2}=25, also ist 25=5\sqrt{25}=5.
  • 72=497^{2}=49, somit ist 49=7\sqrt{49}=7.
  • 122=14112^{2}=141 und damit weißt du, dass 144=12\sqrt{144}=12 ist.

Nur, wie kannst du vorgehen, wenn du die Wurzel aus einer Zahl ziehen musst, von welcher du nicht weißt, ob sie eine Quadratzahl ist?

Die Wurzel anschaulich

Der Flächeninhalt AA eines Quadrates mit der Seitenlänge aa ist A=a2A=a^{2}. Kennst du nun den Flächeninhalt AA und möchtest die Seitenlänge berechnen, kannst du a=Aa=\sqrt{A} rechnen.

Du kannst auch mit dem Satz des Pythagoras die Wurzel veranschaulichen:

964_Wurzel_anschaulich.jpg

Wenn du das Quadrat entlang der gestrichelten Linie zerschneidest, erhältst du zwei kongruente rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke. Die gestrichelte Linie, also die Diagonale des Quadrates, ist die Hypotenuse in diesen Dreiecken und es gilt für deren Länge d2=42+42=16+16=32d^{2}=4^{2}+4^{2}=16+16=32, also d=32d=\sqrt{32}.

Wurzelgesetze

Nun schauen wir uns an, wie du die Wurzel aus größeren Zahlen ziehen kannst.

Die Wurzel aus drei- und vierstelligen Zahlen

Wir schauen uns hierfür die Wurzel aus 22092209 an. Bekannt ist, dass 22092209 eine Quadratzahl ist.

Da zum einen 92=819^{2}=81 und 102=10010^{2}=100 ist sowie 992=980199^{2}=9801 und 1002=10000100^{2}=10000 ist, kannst du schließen, dass die Wurzel aus einer drei- oder vierstelligen Zahl eine zweistellige Zahl sein muss.

  • Beginne mit den Zehnern: 402=160040^{2}=1600 und 502=250050^{2}=2500. Die Zehnerzahl ist also 44.
  • Komm nun zu den Einern: Schau dir hierfür die letzte Stelle der Quadratzahl, also die 99, an. Welche Zahlen ergeben quadriert eine Zahl mit einer 99 an der letzten Stelle? Diese sind die 33, da 32=93^{2}=9, und die 77, da 72=497^{2}=49.
  • Weil 22092209 näher an 25002500 liegt als an 16001600, muss die größere der beiden Zahlen, also die 77, die Einerzahl sein.

Damit kannst du folgern, dass 2209=47\sqrt{2209}=47 ist. Mach doch einmal die Probe.

Die Wurzel ziehen mit Primfaktorzerlegung

Du kannst auch die Wurzel einer Quadratzahl ziehen, wenn du deren Primfaktorzerlegung bildest. Hierfür betrachten wir die Wurzel aus 576576.

Los geht's:

  • 576=2288576=2\cdot 288
  • 288=2144288=2\cdot 144, also ist 576=22144576=2\cdot 2\cdot 144.
  • 144=272144=2\cdot 72, also erhältst du 576=22272576=2\cdot 2\cdot 2\cdot 72.
  • Wenn du so weiter machst, kommst du zu 576=22222233576=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3.
  • Nun kannst du jeweils zwei gemeinsame Faktoren als Quadrat schreiben 576=22222232576=2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}.

Wende die Wurzelgesetze an. So erhältst du

576=22222232=22222232=2223=24\sqrt{576}=\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}}=\sqrt{2^{2}}\cdot\sqrt{2^{2}}\cdot\sqrt{2^{2}}\cdot\sqrt{3^{2}}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=24

Die näherungsweise Berechnung der Quadratwurzel

Nun lernst du noch zwei Möglichkeiten kennen, eine Quadratwurzel näherungsweise zu bestimmen:

Die Intervallschachtelung

Diese schauen wir uns an dem Beispiel 5\sqrt{5} an:

  • Da 22=4<5<9=322^{2}=4\lt 5\lt 9=3^{2} ist, muss gelten 2<5<32\lt \sqrt 5\lt 3. Nun liegt 55 näher bei 44 als bei 99, also liegt auch 5\sqrt{5} näher bei 22 als bei 33.
  • Weiter geht's: 2,52=6,252,5^{2}=6,25. Es muss also gelten 2<5<2,52\lt \sqrt{5}\lt 2,5.
  • 2,22=4,842,2^{2}=4,84, nun weißt du bereits 2,2<5<2,52,2\lt \sqrt{5}\lt 2,5.
  • 2,32=5,292,3^{2}=5,29, das bedeutet 2,2<5<2,32,2\lt \sqrt{5}\lt 2,3. Die erste Dezimalstelle von 5\sqrt{5} ist gefunden: 5=2,2...\sqrt{5}=2,2....
  • So kannst du weiter fortfahren, je nachdem wie genau das Ergebnis sein soll: 5=2,2360...\sqrt{5}=2,2360....

Übrigens: 5\sqrt{5} ist eine irrationale Zahl.

Das Heron-Verfahren

Mit Hilfe des Heron-Verfahrens kannst du Schritt für Schritt (iterativ) die Wurzel einer Zahl bestimmen. Auch hierfür schauen wir uns das Beispiel 5\sqrt{5} an.

Die Iterationsvorschrift für das Heron-Verfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel von a0a\ge 0 lautet:

xn+1=12(xn+axn)x_{n+1}=\frac12\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)

Dabei startest du mit einem Startwert x0x_{0}. Diesen wählst du geschickterweise so, dass er recht nahe bei der gesuchten Wurzel liegt. Probiere dies einmal mit x0=2x_{0}=2 zur Berechnung von 5\sqrt{5}.

  1. x1=12(2+52)=2,25x_{1}=\frac12\left(2+\frac{5}{2}\right)=2,25: Quadriere nun 2,52=5,06252,5^{2}=5,0625. Das ist schon recht nahe bei 55. Rechne doch einmal weiter:
  2. x2=12(2,25+52,25)2,2361x_{2}=\frac12\left(2,25+\frac{5}{2,25}\right)\approx 2,2361. Quadriere auch hier 2,23612=5,0001...2,2361^{2}=5,0001.... Du siehst, du hast schon einen recht guten Näherungswert für 5\sqrt{5} gefunden.