Wurzeln ziehen – Intervallschachtelung
Definition – Intervallschachtelung: Die Intervallschachtelung ist eine Methode zur Annäherung an reelle Zahlen, besonders wichtig bei der Wurzelbestimmung. So funktioniert der Schritt-für-Schritt-Prozess und wie man die Wurzel einer Zahl annähert. Interessiert? Dies und mehr im folgenden Text nachlesen!
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Grundlagen zum Thema Wurzeln ziehen – Intervallschachtelung
Definition – Intervallschachtelung
Die Intervallschachtelung ist eine Methode, mit der man sich schrittweise einer reellen Zahl $\mathbb{R}$ annähern kann. Sie findet Anwendung bei der Bestimmung von Wurzeln. Ist die Wurzel eine irrationale Zahl, so ist nur eine Näherung an die Zahl möglich. Das Intervall wird schrittweise immer weiter verkleinert, sodass die Näherung an die Wurzel beliebig genau erfolgt.
Vorgehen bei der Intervallschachtelung – Wurzel
Zur Bestimmung der Wurzel einer beliebigen natürlichen Zahl $n$ müssen zunächst die naheliegendsten Quadratzahlen ermittelt werden, von welchen anschließend die Wurzel gezogen wird. Man erhält zwei natürliche Zahlen, die das erste Intervall bilden. In weiteren Schritten wird nun das Intervall verkleinert bis die Annäherung an die gesuchte reelle Zahl beliebig genau ist.
$1.$ Schritt: Um das erste Intervall zu bestimmen, werden zunächst die nächsthöhere und die nächstkleinere, bekannte Quadratzahl ($a^2$ und $b^2$) bestimmt. Anschließend wird jeweils die Wurzel bei den ermittelten Quadratzahlen gezogen. Das erste Intervall der gesuchten reellen Zahl liegt zwischen diesen beiden natürlichen Zahlen. Es handelt sich hierbei um ein offenes Intervall, in dem die Zahlen $a$ und $b$ nicht enthalten sind. Das Intervall wird somit wie folgt angegeben: $(a; b)$. Da die Wurzel von $n$ in diesem Intervall liegt, ist sie größer als $a$, aber kleiner als $b$: $~a < \sqrt{n} < b$
$2.$ Schritt: Das Intervall wird halbiert, sodass zunächst zwei Intervalle entstehen, die jeweils nur halb so groß sind, wie das vorherige. Die beiden Intervalle sind nun $(a; \frac{b}{2})$ und $(\frac{b}{2}; b)$. Anschließend wird überprüft, in welchem der beiden Intervalle die gesuchte Wurzel $\sqrt{n}$ liegt, indem $\frac{b}{2}$ quadriert wird. Es folgt:
$\left( \frac{b}{2} \right)^{2} > n \rightarrow n \in (a; \frac{b}{2})$
oder
$\left( \frac{b}{2} \right)^{2} < n \rightarrow \in (\frac{b}{2}; b)$
$3.$ Schritt: Schrittweise wird nun die erste Nachkommastelle erhöht, um das Intervall zu verkleinern. Dies wird gemacht, um die erste Nachkommastelle der zu ermittelnden Wurzel zu bestimmen. Um das generelle Vorgehen zu beschreiben, müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen. Die Verkleinerung des Intervalls ist abhängig davon, in welchem Intervall des $2.$ Schrittes sich $\sqrt{n}$ befindet.
Fall $1$:
$\sqrt{n}$ liegt im Intervall $(a; \frac{b}{2})$, also $a<\sqrt{n}<\frac{b}{2}$:
Die Zahl $a$ bekommt eine Nachkommastelle. Es werden nun schrittweise die Quadrate der Zahlen mit den Nachkommastellen $1$ bis $4$ berechnet. Ist beispielsweise $a=8$, so werden schrittweise $(8,1)^2$, $(8,2)^2$, $(8,3)^2$ und $(8,4)^2$ berechnet. Die Zahlen zwischen denen $n$ liegt, bilden das neue Intervall.
Fall $2$:
$\sqrt{n}$ liegt im Intervall $(\frac{b}{2}; b)$, also ($\frac{b}{2} <\sqrt{n}< b$):
Schrittweise werden wieder die Quadrate der Zahlen mit den Nachkommastellen $6$, $7$, $8$ und $9$ berechnet. Das Vorgehen ist ansonsten identisch mit dem in Fall $1$.weitere Schritte: Das Intervall wird nun erneut verkleinert. Die zweite Nachkommastelle wird nun berechnet. Die Berechnung erfolgt analog zu Schritt $2$ und Schritt $3$. Führt man diese Schritte fort, so können beliebig viele Nachkommastellen ermittelt werden.
Beispiel Intervallschachtelung – Wurzel
Berechnung von $\sqrt{76}$
- $1.$ Schritt: Bestimmung der nächstkleineren und nächsthöheren Quadratzahlen
$? < 76 < ?$
Bekannt ist, dass $8^2=64$ und $9^2=81$. Da die $76$ zwischen der $8^2=64$ und der $9^2=81$ liegt, muss $\sqrt{76}$ zwischen $\sqrt{8^2}=8$ und $\sqrt{9^2}=9$ liegen. Das erste Intervall $(8 ; 9)$ ist hiermit bestimmt.
$8 < \sqrt{76} < 9$
- $2.$ Schritt: Das Intervall wird halbiert, sodass zunächst zwei Intervalle entstehen, die jeweils nur halb so groß sind, wie das vorherige. Anschließend wird überprüft, in welchem der beiden neuen Intervalle die Wurzel liegt.
$8< \sqrt{76} < 8,5 $
Oder:
$8,5 < \sqrt{76} < 9 $
Das Quadrieren von $8,5$ ergibt, dass $\sqrt{76}$ im zweiten Intervall liegen muss, denn:
$8,5^{2} = 72,25 < 76 < 9^{2} = 81$
- $3.$ Schritt: Schrittweise werden nun die Quadrate der Zahlen $8,6$; $8,7$; $8,8$ und $8,9$ bestimmt, um zu überprüfen, zwischen welchen zwei Zahlen $\sqrt{76}$ liegen muss.
$8,6^{2} = 73,96 < 76 $
$8,7^{2} = 75,69 < 76 $
$8,8^{2} = 77,44 > 76 $
$8,9^{2} = 79,21 > 76$
Der Vergleich von $76$ mit den quadrierten Zahlen ergibt, dass $\sqrt{76}$ zwischen $8,7$ und $8,8$ liegen muss, denn:
$8,7^{2} = 75,69 < 76 < 8,8^{2} = 77,44 \Rightarrow 8,7 < \sqrt{76} < 8,8$
Die erste Nachkommastelle ist demnach $7$.
- $4.$ Schritt: Um die zweite Nachkommastelle zu berechnen, wird das Intervall erneut halbiert. Da $8,75$ genau die Mitte des Intervalls ist, muss nun überprüft werden, auf welcher Hälfte die gesuchte Wurzel liegt. Da $8,75^2 > 76$ ist, muss $8,75$ die obere Grenze des neuen Intervalls sein.
$8,7^{2}=75,69 < 76 < 8,75^{2}= 76,5625 \Rightarrow 8,7 < \sqrt{76} < 8,75$
- $5.$ Schritt: Nacheinander werden die Quadrate bestimmt, um die zweite Nachkommastelle zu bestimmen.
$8,71^{2} = 75,8641 < 76$
$8,72^{2} = 76,0384 > 76 $
Hier kann bereits aufgehört werden, da das Intervall bereits bestimmt werden konnte:
$8,71^{2}=75,8641 <76 < 8,72^{2} = 76,0384 \Rightarrow 8,71 < \sqrt{76} < 8,72$
Die zweite Nachkommastelle ist demnach $1$, was bedeutet, dass $\sqrt{76} = 8,71...$ sein muss.
- weitere Schritte: Nun können noch beliebig viele Nachkommastellen ermittelt werden, indem das Intervall immer weiter verkleinert wird.
Verwendung der Intervallschachtelung
Die Berechnung einer Seitenlänge eines Quadrats mit gegebenem Flächeninhalt kann durch die Intervallschachtelung erfolgen. Der Flächeninhalt eines Quadrats lässt sich aus dem Quadrat seiner Seitenlänge ermitteln. Die Formel dazu lautet $A=a^2$. Da hier der Flächeninhalt gegeben ist und die Seitenlänge gesucht wird, muss die Formel nach $a$ umgestellt werden.
- $a=\sqrt{A}$
Transkript Wurzeln ziehen – Intervallschachtelung
Das ist Edelbert von Grasstutz. Sein größter Stolz ist sein akkurat gestutzter englischer Rasen. Sein Nachbar Kürbis-Kalle ist naja sagen wir eher ein Naturfreund. Er lässt alle seine Pflanzen, besonders die Kürbisse, einfach wachsen, wie sie wollen. Das geht Edelbert gehörig auf den Keks, denn Kalles Pflanzen wachsen über die Grundstücksgrenze und gefährden den saftigen Rasen von Edelbert. Edelbert sieht nur einen Ausweg: Er will einen geschlossenen Zaun zwischen den beiden Grundstücken bauen. Er weiß, dass alle Gärten in der Schrebergarten-Kolonie, quadratisch sind und dass sein Garten eine Fläche von genau 76 Quadratmetern umfasst. Die Seitelänge des Gartens, kennt er jedoch nicht. Das Messen mit dem Lineal ist ihm zu ungenau. Deshalb will er die Lösung lieber berechnen und hierfür muss er wurzeln ziehen mit Hilfe der Intervallschachtelung. Um die Seitenlänge eines Quadrats mit dem Flächeninhalt von 76 Quadratmetern zu bestimmen, müssen wir die Wurzel aus 76 berechnen. Die Wurzel aus 76 ist aber eine irrationale Zahl. Für viele Anwendungen genügt beim Wurzelnziehen aber eine näherungsweise Angabe. Um die Wurzel näherungsweise anzugeben, überlegen wir uns zunächst, zwischen welchen Quardatzahlen die 76 liegt. 64 ist eine Quadratzahl, denn 8 mal 8 ergibt 64. Die nächst größere Quadratzahl ist 81, denn 9 mal 9 ergibt 81. Zwischen diesen beiden Werten liegt die 76. 64 können wir schreiben als 8 zum Quadrat und entsprechend die 81 als 9 zum Quadrat. Zieht man zunächst, die Wurzel aus einer Zahl und quadriert sie dann, so erhält man wieder die Zahl selbst. Also können wir 76 schreiben, als die Wurzel aus 76 und das ganze zum Quadrat. Ziehen wir nun die Wurzel aus jedem Term, so erhalten wir: 8 ist kleiner als die Wurzel aus 76, ist kleiner als 9. Damit wissen wir, dass die Wurzel aus 76 im Intervall, zwischen 8 und 9 liegen muss. Das Ziel der Intervallschachtelung ist es, das Intervall, in welchem die Lösung liegt, immer weiter einzuschränken. Dazu wollen wir zunächst, die erste Nachkommastelle der näherungsweisen Lösung finden. Hierfür teilen wir dieses Intervall genau in der Mitte, also bei 8,5 und überprüfen, ob das Quadrat von 8,5 kleiner oder größer ist als 76. 8,5 zum Quadrat ergibt 72,25 und da 72,25 kleiner ist als 76, wissen wir, dass die Wurzel aus 76, zwischen 8,5 und 9,0 liegen muss. Mit diesem EINEN Rechenschritt, haben wir also das Lösungsintervall halbiert und haben damit die Genauigkeit der Lösung deutlich erhöht. Im nächsten Schritt, erhöhen wir die erste Nachkommastelle schrittweise um 1, und berechnen die entsprechenden Quadrate. 8,6 zum Quadrat, ergibt 73,96 was wieder kleiner als 76 ist. Wir wissen nun also, dass die Wurzel aus 76 zwischen 8,6 und 9,0 liegen muss. Erhöhen wir die erste Nachkommastelle also weiter. 8,7 zum Quadrat ergibt 75,69 auch das ist kleiner als 76, aber schonmal ziemlich nah dran. Die Wurzel aus 76, muss also zwischen 8,7 und 9,0 liegen. Die nächste zu überprüfende Zahl ist die 8,8. 8,8 zum Quadrat ergibt 77,44. Endlich, die 77,44 ist größer als 76, somit wissen wir also, dass die Wurzel aus 76, zwischen der 8,7 und der 8,8 liegen muss. Wir konnten die näherungsweise Lösung, also auf das Intervall zwischen 8,7 und 8,8, einschränken. Bei der Berechnung der zweiten Nachkommastelle, gehen wir genauso vor. Zunächst teilen wir das Intervall genau in der Mitte, also bei 8,75. 8,75 hoch 2 ergibt etwa 76,56, was größer ist als 76. Damit muss die Wurzel aus 76, also im Intervall zwischen 8,70 und 8,75 liegen. Du siehst, das Intervall wird immer kleiner und wir nähern uns immer weiter der Lösung an. Wie zuvor bei der ersten Nachkommastelle, erhöhen wir nun die zweite Nachkommastelle jeweils um 1 und berechnen die jeweiligen Quadrate. Als erstes überprüfen wir die 8,71. 8,71 hoch 2, ergibt etwa 75,86 was kleiner ist als 76. Für die Lösung bedeutet das, dass die Wurzel aus 76 zwischen 8,71 und 8,75 liegt. Überprüfen wir die 8,72. Das Quadrat ergibt etwa 76,04, ist also größer als 76, sehr schön! [nicht ironisch! Wir freuen uns wirklich!] Wir haben also das Lösungsintervall weiter eingegrenzt. Und die Wurzel aus 76, liegt also zwischen 8,71 und 8,72. Auf zur dritten Nachkommastelle, also wieder zunächst das Intervall halbieren, die Mitte liegt bei 8,715. Das Quadrat dieser Zahl ist kleiner als 76, somit können wir das Lösungsintervall einschränken auf 8,715 bis 8,720. Genau wie zuvor, erhöhen wir die entsprechende Nachkommastelle um 1, und betrachten die Quadrate. 8,716 hoch zwei, ist kleiner als 76, ebenso das Quadrat von 8,717. Bei 8,718 zum Quadrat sehen wir aber, dass das Ergebnis größer ist als 76. Die Lösung muss also im Intervall zwischen 8,717 und 8,718 liegen. Teilen wir dieses Intervall wieder in der Mitte, also bei 8,7175, und quadrieren diese Zahl, erhalten wir etwa 75,995. Das ist immer noch kleiner als 76, aber schon ganz nah dran! Wir konnten also die Lösung auf drei Nachkommastellen angeben und haben gesehen, dass die Lösung zwischen 8,7175 und 8,7180 liegen muss. Die dritte Nachkommastelle runden wir auf 8 auf, und erhalten als näherungsweises Ergebnis 8,718. Edelberts Zaun soll also 8,718 Meter lang werden. Während Edelbert nun den Zaun errichtet, fassen wir kurz das Gelernte zusammen. Oftmals sind Wurzeln aus Zahlen irrational. Du kannst sie also nicht so einfach angeben. Um die Lösung jedoch näherungsweise zu finden, kannst du das Verfahren der Intervallschachtelung nutzen. Dazu grenzt du das Lösungsintervall zunächst ein, indem du die zwei Quadratzahlen findest, zwischen denen die gesuchte Zahl liegt. Das gefundene Intervall, teilst du in der Mitte und berechnest das Quadrat dieser Zahl. Ist das Ergebnis kleiner als die gesuchte Zahl, liegt die Lösung im Intervall zwischen dieser "Mitte", und der oberen Intervallgrenze. Ist das Ergebnis größer als die gesuchte Zahl, so liegt die Lösung im Intervall zwischen der unteren Intervallgrenze, und dieser "Mitte". Im nächsten Schritt, suchst du durch Probieren diejenigen beiden benachbarten Zahlen, die quadriert kleiner, beziehungsweise größer sind als die gesuchte Zahl. Anschließend betrachtest du die nächste Nachkommastelle und wiederholst das Verfahren so lange, bis du mit der näherungsweisen Lösung zufrieden bist. Zurück zu Edelbert: Endlich hat er den Zaun bis auf den Millimeter genau errichtet! Aber, was ist das? Maulwürfe? Der benachbarte Garten auf der anderen Seite gehört ja Maulwurf-Manni und seine Maulwürfe finden englischen Rasen auch splendid, wonderful!
Wurzeln ziehen – Intervallschachtelung Übung
-
Gib wieder, wie die Wurzelbestimmung durch Intervallschachtelung funktioniert.
TippsEine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht.
Um das Lösungsintervall zu halbieren, muss man dessen Mitte finden.
In diesem Verfahren rechnet man so lange Nachkommastellen aus, bis man mit der Genauigkeit der Lösung zufrieden ist.
LösungDa manche Wurzeln irrational sind, kann man sie nicht genau berechnen. Deshalb nutzt man Verfahren wie die Intervallschachtelung, um das Ergebnis näherungsweise zu bestimmen.
Im Verfahren wird das Intervall, in dem die Lösung liegt, schrittweise eingegrenzt.
- Im ersten Schritt werden deshalb die beiden Quadratzahlen (das sind Zahlen, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entstehen) gefunden, die die gesuchte Zahl eingrenzen. Da aber die Wurzel der gesuchten Zahl bestimmt werden soll, müssen auch die Wurzeln der Intervallgrenzen gezogen werden.
- Im zweiten Schritt wird das Intervall halbiert, indem man die Mitte dieses Intervalls bestimmt. Dann findet man heraus, ob die Lösung im Intervall oberhalb oder unterhalb dieser Mitte liegt.
- Deshalb bestimmt man im dritten Schritt durch Probieren die genauen Grenzen des Intervalls. Dazu quadriert man nacheinander die verbleibenden Zahlen des Intervalls und vergleicht sie mit der gesuchten Zahl. Hat man die beiden Zahlen gefunden, die jeweils kleiner und größer als die gesuchte Zahl sind, ist das Verfahren für diese Nachkommastelle beendet.
-
Berechne die Wurzel von $76$ näherungsweise.
TippsHier gilt: Wenn $a^2$ < $b^2$ ist, dann muss $a$ < $b$ sein.
Falls dich die Intervalle verwirren, so stelle sie dir auf dem Zahlenstrahl vor.
LösungDas Intervall, in dem die Lösung liegt, wird schrittweise eingegrenzt.
Im ersten Schritt werden die beiden Quadratzahlen gefunden, die die gesuchte Zahl eingrenzen.
Hier sind das $64$ und $81$.
Da aber die Wurzel der gesuchten Zahl bestimmt werden soll, müssen auch die Wurzeln der Intervallgrenzen gezogen werden, also:
$\sqrt{64}=8$ und $\sqrt{81}=9$
Das bedeutet, dass die Wurzel aus $76$ zwischen den Zahlen $8$ und $9$ liegt.
Jeder weitere Schritt grenzt das Lösungsintervall weiter ein.
Im zweiten Schritt wird das Intervall halbiert, indem man die Mitte dieses Intervalls bestimmt. Da man diese Mitte allerdings mit $76$ vergleichen muss, quadriert man sie:
${8,5}^2=72,25$
Dann findet man heraus, ob die Lösung im Intervall oberhalb oder unterhalb dieser Mitte liegt.
Dazu vergleicht man sie mit $76$ und überlegt, was das für das Lösungsintervall bedeutet.
Da $72,25$ kleiner ist als $76$, muss $\sqrt{76}$ zwischen $8,5$ und $9$ liegen.
Jetzt gibt es nicht mehr viele Möglichkeiten, wo die Lösung liegen kann. Deshalb bestimmt man im dritten Schritt durch Probieren die genauen Grenzen des Intervalls. Dazu erhöht man die Nachkommastelle um $1$, quadriert diese Zahlen und vergleicht sie mit der $76$:
$8,6^2=73,96 < 76$
$8,7^2=75,69 < 76$
$8,8^2=77,44 >76$
Da $76$ größer ist als $75,69$ und kleiner als $77,44$, muss die Lösung zwischen $8,7$ und $8,8$ liegen.
Damit ist das Verfahren für diese Nachkommastelle beendet.
Weil die Lösung aber für zwei Nachkommastellen bestimmt werden soll, muss das Verfahren noch für die nächste Nachkommastelle angewendet werden.
Das gerade bestimmte Intervall wird in der Mitte geteilt und das Quadrat dieser Zahl berechnet:
$8,75^2=76,56>76$
Also gilt:
$8,70 < \sqrt{76} < 8,75$
Danach wird die zweite Nachkommastelle schrittweise um $1$ erhöht und die Quadrate werden bestimmt:
$8,71^2=75,86 < 76$
$8,72^2=76,04 > 76$
Die Lösung muss also im Intervall zwischen $8,71$ und $8,72$ liegen.
Nun wurde das Intervall auf zwei Nachkommastellen genau gefunden. Um herauszufinden, welche dieser Zahlen näher an der Lösung liegt, wird die Mitte dieses Intervalls bestimmt.
Man erhält $8,715$. Das Quadrat dieser Zahl ergibt:
$8,715^2=75,95<76$
Die Lösung muss also zwischen $8,715$ und $8,720$ liegen. Hier wird aufgerundet und die Lösung mit zwei Nachkommastellen mit $8,72$ angegeben.
-
Bestimme die Wurzel von $38$ näherungsweise.
TippsHier gilt: Wenn $a^2$ < $38$ < $b^2$ ist, dann muss $a$ < $\sqrt{38}$ < $b$ sein.
Die Lösung soll auf zwei Nachkommastellen genau angegeben werden. Also muss auf die Zahl mit zwei Nachkommastellen gerundet werden.
Dabei gehst du wie folgt vor:
- Steht an der dritten Nachkommastelle eine Zahl von $1$ bis $4$, wird die zweite Nachkommastelle abgerundet.
- Steht an der dritten Nachkommastelle eine Zahl von $5$ bis $9$, wird die zweite Nachkommastelle aufgerundet.
LösungDas Intervall, in dem die Lösung liegt, wird schrittweise eingegrenzt.
Im ersten Schritt werden die beiden Quadratzahlen gefunden, die die gesuchte Zahl eingrenzen.
Hier sind das $36$ und $49$.
Weil aber die Wurzel der gesuchten Zahl bestimmt werden soll, müssen auch die Wurzeln der Intervallgrenzen gezogen werden. Es folgt:
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{49}=7$
Das bedeutet, dass die Wurzel aus $38$ zwischen den Zahlen $6$ und $7$ liegt.
Jeder weitere Schritt grenzt das Lösungsintervall weiter ein.
Im zweiten Schritt wird das Intervall halbiert, indem man die Mitte dieses Intervalls bestimmt. Da man die Mitte allerdings mit $38$ vergleichen muss, quadriert man sie:
${6,5}^2=42,25$
Dann findet man heraus, ob die Lösung im Intervall oberhalb oder unterhalb dieser Mitte liegt.
Dazu vergleicht man sie mit $38$ und überlegt, was das für das Lösungsintervall bedeutet.
Weil $42,25$ größer ist als $38$, muss $\sqrt{38}$ zwischen $6$ und $6,5$ liegen.
Jetzt gibt es nicht mehr viele Möglichkeiten, wo die Lösung liegen kann. Deshalb bestimmt man im dritten Schritt durch Probieren die genauen Grenzen des Intervalls. Dazu quadriert man nacheinander die verbleibenden Zahlen des Intervalls und vergleicht sie mit der $38$:
$6,1^2=37,21 < 38$
$6,2^2=38,44 > 38$
Da $38$ größer ist als $37,21$ und kleiner als $38,44$, muss die Lösung zwischen $6,1$ und $6,2$ liegen.
Damit ist das Verfahren für diese Nachkommastelle beendet.
Weil die Lösung aber für zwei Nachkommastellen bestimmt werden soll, muss das Verfahren noch einmal angewendet werden.
Das gerade bestimmte Intervall wird also in der Mitte geteilt und das Quadrat dieser Zahl berechnet:
$6,15^2=37,82<38$
Demnach gilt:
$6,15 < \sqrt{38} < 6,2$
Danach wird die zweite Nachkommastelle schrittweise um $1$ erhöht und die Quadrate werden bestimmt:
$6,16^2=37,95 < 38$
$6,17^2=38,07 > 38$
Die Lösung muss also im Intervall zwischen $6,16$ und $6,17$ liegen.
Jetzt wurde das Intervall auf zwei Nachkommastellen genau gefunden. Um herauszufinden, welche dieser Zahlen näher an der Lösung liegt, wird die Mitte dieses Intervalls bestimmt.
Man erhält $6,165$. Das Quadrat dieser Zahl ergibt:
$6,165^2=38,01>38$
Die Lösung muss also zwischen $6,160$ und $6,165$ liegen. Da die Lösung auf zwei Nachkommastellen genau sein soll und $6,165$ zu viele Nachkommastellen hat, wird abgerundet und $6,16$ angegeben.
-
Gib an, in welchen Intervallen die Wurzeln liegen.
TippsBerechne die Wurzeln mit der Intervallschachtelung und ordne sie so den Intervallen zu.
Ein Zahlenstrahl macht Intervalle übersichtlicher.
LösungDie Berechnung der Wurzeln mit der Intervallschachtelung ergibt:
A: $\sqrt{26} \approx 5,099$
- $\sqrt{26}$ liegt also in den Intervallen $(5;~6)$ und $(5,09;~5,10)$.
- $\sqrt{14}$ liegt also in den Intervallen $(3;~4)$ und $(3,74;~3,75)$.
- $\sqrt{19}$ liegt also in den Intervallen $(4;~5)$ und $(4,35;~4,36)$.
-
Gib an, welche Aussagen wahr sind.
TippsRationale Zahlen werden auch Bruchzahlen genannt. Man kann sie also darstellen, indem man eine Zahl durch eine andere Zahl teilt.
Rundet man, um eine Lösung zu erhalten, so ist diese Lösung nicht genau.
Man bestimmt den Flächeninhalt eines Quadrats, indem man die Seitenlänge quadriert.
Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die beim Zählen verwendet werden:
- $1, 2, 3, 4, ...$
Lösung- Nicht alle Quadratwurzeln sind natürliche Zahlen.
- Wurzeln sind immer rationale Zahlen.
- Mit der Intervallschachtelung bestimmt man eine genaue Lösung.
- Man bestimmt die Seitenlänge eines Quadrats, indem man die Wurzel der Fläche bestimmt.
- Die Wurzel einer Quadratzahl ist eine natürliche Zahl.
-
Bestimme den Flächeninhalt von Edelberts zweitem Grundstück.
TippsDer Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ ergibt sich durch:
$A = a\cdot b$
LösungDie eingrenzenden Quadratzahlen von $32$ sind:
$25<32<36$
Die Wurzel aus $32$ liegt also zwischen den Zahlen $5$ und $6$. Für die erste Nachkommastelle berechnet man die Mitte und quadiert diese:
$5,5^2=30,25$
Da $30,25<32$ gilt, muss $\sqrt{32}$ zwischen $5,5$ und $6$ liegen. Anschließend berechnet man:
$5,6^2=31,36 < 32$
$5,7^2=32,49 > 32$
Die Lösung liegt also zwischen $5,6$ und $5,7$. Auf eine Nachkommastelle gerundet ergibt sich:
$\sqrt{32}\approx 5,7$
Die eingrenzenden Quadratzahlen von $2$ sind:
$1<2<4$
Die Wurzel aus $2$ liegt also zwischen den Zahlen $1$ und $2$. Für die erste Nachkommastelle bestimmt man die Mitte dieses Intervalls und quadriert diese:
$1,5^2=2,25$
Da $2,25>2$ gilt, liegt $\sqrt{2}$ zwischen $1$ und $1,5$. Nun rechnet man schrittweise wie folgt:
$1,1^2=1,21 < 2$
$1,2^2=1,44 < 2$
$1,3^2=1,69 < 2$
$1,4^2=1,96 < 2$
$1,5^2=2,25 > 2$
Man erkennt, dass die Lösung zwischen $1,4$ und $1,5$ liegt. Man rundet nun ab und erhält:
$1,4$
Der Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ ergibt sich durch:
$A = a\cdot b $
Mit den berechneten Seitenlängen erhält man also folgenden Flächeninhalt:
$A= \sqrt{2}\cdot\sqrt{32}\approx 1,4 \cdot 5,7 =7,98$
Mit dem Wurzelgesetz $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ hätte man die Lösung auch direkt bestimmen können zu:
$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}= \sqrt{64} = 8$
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not bad
toll
In den Videos kann man leider nicht nachvollziehen wie die Rechnung berechnet wird auch geht das alles viel zu schnell. In YouTube erklären die Lehrer es einfach viel verstandlicher !
diese Video hat mir sehr geholfen!! thx
*nutzen