Teilweises Wurzelziehen – Anwendung von Wurzelgesetzen

Teilweises Wurzelziehen – Anwendung von Wurzelgesetzen Übung

• Berechne die Wurzel aus $8$.

  Tipps

  Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich sich selbst und die $1$. Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine Zahl durch Faktoren ausgedrückt, die Primzahlen sind.

  Faktoren sind Zahlen, die miteinander multipliziert werden. Bei einer Faktorisierung zerlegt man eine Zahl in seine Faktoren, also die Zahlen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben.

  Lösung

  Die Rechnung kannst du so sortieren:

  Zuerst führt er eine Primfaktorzerlegung durch:

  $\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 2}=\sqrt{2^3}$.

  • Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich sich selbst und die $1$. Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine Zahl durch Faktoren ausgedrückt, die Primzahlen sind.

  Die Wurzel lässt sich faktorisieren:

  $=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2}$.

  • Faktoren sind Zahlen, die miteinander multipliziert werden. Bei einer Faktorisierung zerlegt man eine Zahl in seine Faktoren, also die Zahlen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben.

  Hier kann er teilweise die Wurzel ziehen und das Ergebnis angeben:

  $=2 \cdot \sqrt{2}$.

• Berechne die Wurzel aus $648$.

  Tipps

  Ob du die Wurzel aus einer Potenz ziehen kannst oder nicht, kannst du folgendermaßen überprüfen: Zuerst schreibst du die Wurzel der Potenz um. Dazu verwendest du die Formel: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Ist der Bruch $\frac{m}{n}$ ohne Rest teilbar, kannst du die Wurzel ziehen.

  Hast du die Wurzeln der Potenzen umgeschrieben, kannst du die Brüche im Exponenten kürzen, um die Zahlen zu vereinfachen. Zum Beispiel ist:

  $\sqrt{5^6}=5^{\frac{6}{2}}=5^3$.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du wie folgt vervollständigen:

  „Unter der Wurzel führt Trudi zuerst eine Primfaktorzerlegung durch. Das ergibt:

  $\sqrt{648}=\sqrt{2^3 \cdot 3^4}$“.

  • Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler besitzt, nämlich sich selbst und die $1$. Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine Zahl durch Faktoren ausgedrückt, die Primzahlen sind.

  „Sie kann die Wurzeln der Faktoren einzeln betrachten, indem sie die Wurzel faktorisiert:

  $\sqrt{2^3 \cdot 3^4}=\sqrt{2^3}\cdot \sqrt{3^4}$“.

  „Die Wurzel aus $3^4$ kann sie ziehen. Von $2^3$ lässt sich die Wurzel teilweise ziehen. Deshalb teilt sie diesen Faktor weiter auf und erhält in ihrer Rechnung.

  $\sqrt{2^3}\cdot \sqrt{3^4}=\sqrt{2^1 \cdot 2^2 }\cdot \sqrt{3^4}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2^2}\cdot \sqrt{3^4}$“

  • Ob du die Wurzel aus einer Potenz ziehen kannst oder nicht, kannst du folgendermaßen überprüfen: Zuerst schreibst du die Wurzel der Potenz um. Dazu verwendest du die Formel: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Ist der Bruch $\frac{m}{n}$ ohne Rest teilbar, kannst du die Wurzel ziehen.

  „Sie zieht die ziehbaren Wurzeln und lässt nicht ziehbare Wurzeln stehen.

  $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^4} =\sqrt{2} \cdot 2 \cdot 3^2$“

  • Hast du die Wurzeln der Potenzen umgeschrieben, kannst du die Brüche im Exponenten kürzen, um die Zahlen zu vereinfachen. Zum Beispiel ist: $\sqrt{3^4}=3^{\frac{4}{2}}=3^2=9$.

  „Im Anschluss berechnet sie das Ergebnis zu:

  $\sqrt{648}=18 \cdot \sqrt{2}$“.

• Bestimme die vereinfachten Quadratwurzeln.

  Tipps

  Quadratwurzeln kannst du vereinfachen, indem du zuerst die Primfaktorzerlegung ihres Radikanden durchführst und anschließend die Wurzel ziehst. Dabei musst du überprüfen, ob du die Wurzel teilweise, komplett oder gar nicht ziehen kannst. Diese Wurzel kannst du beispielsweise nur teilweise ziehen:

  $\sqrt{8}=\sqrt{2^3}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2^2} = \sqrt{2} \cdot 2$.

  Beachte:

  $\sqrt{2 \cdot 5}=\sqrt{10}$.

  Lösung

  Quadratwurzeln kannst du vereinfachen, indem du zuerst die Primfaktorzerlegung ihres Radikanden durchführst und anschließend die Wurzel ziehst. Dabei musst du überprüfen, ob du die Wurzel teilweise, komplett oder gar nicht ziehen kannst. Die unterschiedlichen Faktoren berechnest du getrennt. Für $\sqrt{48}$ gilt:

  $48$ kannst du in die Primfaktoren $2^4 \cdot 3$ zerlegen. Damit erhältst du:

  $\sqrt{48}=\sqrt{2^4 \cdot 3}=\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3}$.

  Um das zu berechnen, schreibst du die Wurzel um. Dazu verwendest du die Formel: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Da du hier Quadratwurzeln betrachtest, deren Wurzelexponent $n=2$ beträgt, erhältst du:

  $\sqrt{2^4}=2^{\frac{4}{2}}=2^2=4$.

  $\sqrt{3}$ kannst du nicht weiter vereinfachen. Also erhältst du:

  • $\sqrt{48}=\sqrt{2^4 \cdot 3}=\sqrt{3} \cdot 4$.

  Die anderen Rechnungen kannst du analog bestimmen:

  • $\sqrt{144}=\sqrt{2^4 \cdot 3^2}=12$

  • $\sqrt{800}=\sqrt{2^5 \cdot 5^2}=\sqrt{2} \cdot 20$

  • $\sqrt{360}=\sqrt{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}=\sqrt{2 \cdot 5}\cdot 6= \sqrt{10} \cdot 6$

• Bestimme, ob die Wurzel ziehbar ist.

  Tipps

  Um zu bestimmen, wie weit du eine Wurzel ziehen kannst, musst du den Radikanden der Wurzel zuerst in seine Primfaktoren zerlegen (sofern das noch nicht gemacht wurde).

  Manchmal kannst du eine Wurzel in einen ziehbaren und einen nicht ziehbaren Teil faktorisieren:

  $\sqrt{5^5}=\sqrt{5} \cdot \sqrt{5^4}=\sqrt{5} \cdot 5^2=\sqrt{5} \cdot 25$.

  Lösung

  Um zu bestimmen, wie weit du eine Wurzel ziehen kannst, musst du den Radikanden in seine Primfaktoren zerlegen (sofern das noch nicht gemacht wurde). Dann überprüfst du, ob du die Exponenten der einzelnen Potenzen durch den Wurzelexponenten teilen kannst. Zum Beispiel:

  $\sqrt{2^2 \cdot 3^4}=\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^4}$.

  Hier handelt es sich um Quadratwurzeln. Der Wurzelexponent ist also $2$. In diesem Fall kannst du die Wurzeln beider Faktoren ziehen, da die Exponenten der Potenzen ($2$ und $4$) sich ohne Rest durch den Wurzelexponenten $2$ teilen lassen. Die Wurzel ist also ziehbar.

  Betrachtest du allerdings $\sqrt{3^3}$, lässt sich der Exponent $3$ der Potenz nicht durch den Wurzelexponenten $2$ ohne Rest teilen. Allerdings kannst du die Wurzel in einen ziehbaren und einen nicht ziehbaren Teil faktorisieren:

  $\sqrt{3^3}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3^2}=\sqrt{3} \cdot 3$.

  Die Wurzel ist also teilweise ziehbar.

  $\sqrt{3}$ kannst du nicht weiter in einen ziehbaren und nicht ziehbaren Faktor aufteilen. Diese Wurzel ist nicht ziehbar. Damit kannst du die Wurzeln folgendermaßen zuordnen:

  Ziehbare Wurzeln sind:

  • $\sqrt{144}=12$

  • $\sqrt{2^2 \cdot 3^4}=18$

  • $\sqrt{36}=6$

  • $\sqrt{5^2 \cdot 25}=25$

  Nicht ziehbare Wurzeln sind:

  • $\sqrt{5}$

  • $\sqrt{43}$

  Diese Wurzeln sind teilweise ziehbar:

  • $\sqrt{4^3 \cdot 3}= \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3}= 8 \sqrt{3}$

  • $\sqrt{3^3}= 3 \sqrt{3} $

  • $\sqrt{2^5}= 4 \sqrt{2} $

• Bestimme die korrekten Aussagen zum teilweisen Wurzelziehen.

  Tipps

  Rationale Zahlen kannst du als Quotient von zwei ganzen Zahlen ausdrücken.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  „Quadratwurzeln haben den Wurzelexponenten $2$. Diesen muss man immer an die Wurzel schreiben.“

  • Quadratwurzeln haben zwar den Wurzelexponenten $2$, dieser wird jedoch meistens weggelassen.

  „Nicht ziehbare Wurzeln kann man als rationale Zahl ohne Wurzel darstellen.“

  • Nicht ziehbare Wurzeln kannst du ohne Wurzel nur als irrationale Zahl schreiben.

  Diese Aussagen sind wahr:

  „Wurzeln kann man mit folgender Formel faktorisieren: $\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$“.

  „Ob du die Wurzel aus einer Potenz $\sqrt[n]{a^m}$ ziehen kannst, kannst du überprüfen, indem du den Exponenten $m$ der Potenz durch den Wurzelexponenten $n$ teilst.“

  • Ist der Quotient dieser beiden Zahlen ohne Rest teilbar, kannst du die Wurzel ziehen.

  „Teilweise ziehbare Wurzeln teilt man in einen ziehbaren Faktor und einen Faktor, der nicht ziehbar ist.“

• Prüfe, ob die Terme korrekt vereinfacht wurden.

  Tipps

  Wie alle Rechenregeln, kannst du die Wurzelgesetze auch auf Variablen anwenden.

  Befindet sich der gleiche Faktor (z.B. $\sqrt{a}$) im Nenner und Zähler eines Bruchs, kannst du diesen kürzen.

  $\frac{3\sqrt{a}}{5\sqrt{a}}=\frac{3}{5}$

  Eine teilweise ziehbare Wurzel kannst du in einen ziehbaren und einen nicht ziehbaren Teil aufspalten. Z.B.

  $\sqrt[5]{a^{11}}=\sqrt[5]{a^{10}\cdot a^1}= a^2 \sqrt[5]{a}$

  Lösung

  Hier wurden Fehler gemacht:

  • $\sqrt[3]{a^6} \sqrt{5^4 \cdot b^3} b^2 \neq 5 \sqrt{b} b^3 a^2$

  So kannst du den Term korrekt vereinfachen:

  $\begin{array}{llll} \sqrt[3]{a^6} \sqrt{5^4 \cdot b^3} b^2 &= a^{\frac{6}{3}} \sqrt{5^4} \sqrt{b} \sqrt{b^2} b^2\\ &=a^2 5^2 \sqrt{b} b b^2\\ &= 25 \sqrt{b} b^3 a^2\\ \end{array}$

  • $\sqrt[5]{a^{10}} \sqrt[3]{b^3} \sqrt{2} \neq \sqrt{2} b^2$

  So kannst du den Term korrekt vereinfachen:

  $\begin{array}{llll} \sqrt[5]{a^{10}} \sqrt[3]{b^3} \sqrt{2} &= a^{\frac{10}{5}} b^{\frac{3}{3}} \sqrt{2} \\ &= a^2 b \sqrt{2} \end{array}$

  Diese Terme wurden korrekt vereinfacht:

  • $\dfrac{3 a^7 \sqrt{a^3} b^5}{\sqrt{a} \sqrt{b^3} \sqrt{9}}=a^8 b^3 \sqrt{b}$.

  So wurde der Term bestimmt. Zuerst wurden Faktoren abgespalten, die du kürzen kannst und anschließend vereinfacht.

  $\begin{array}{llll} \dfrac{3 a^7 \sqrt{a^3} b^5}{\sqrt{a} \sqrt{b^3} \sqrt{9}}&=\dfrac{3 a^7 \sqrt{a^2} \sqrt{a} b^3 \sqrt{b} \sqrt{b^3} }{\sqrt{a} \sqrt{b^3} 3} \\ &=a^8 b^3 \sqrt{b} \end{array}$

  • $\dfrac{5 \sqrt{a^2} \sqrt[3]{b^6}}{a \sqrt[3]{125}}=b^2$

  • $\sqrt[3]{a^{10}} \sqrt{b^9}= \sqrt[3]{a} a^3 \sqrt{b} b^4$