Drehmoment M
Das Drehmoment erklärt die Wirkung eines Hebels. Das Hebelgesetz besagt, dass der Hebel im Gleichgewicht ist, wenn das Produkt aus Kraft und Hebelarm gleich ist. Das Drehmoment kann mit der Formel M = F * r berechnet werden. Es wird in Newtonmeter gemessen und ist ein Maß für die Festigkeit einer Schraube. Lerne, wie ein Drehmoment-Schlüssel und Drehmomentsensoren verwendet werden!
- Drehmoment – Definition
- Drehmoment – einfach erklärt
- Drehmoment – Hebelgesetz
- Drehmoment – Formel
- Drehmoment – Einheit
- Drehmoment berechnen
- Drehmoment – Richtungsbestimmung
- Drehmoment – Messung
- Ausblick – das lernst du nach Drehmoment M
- Zusammenfassung des Drehmoments
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Drehmoment
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Grundlagen zum Thema Drehmoment M
Drehmoment – Definition
Das Drehmoment kann man mithilfe einer Schraube erklären, die in eine Wand eingedreht wird. Das Drehmoment der Schraube ist ein Maß dafür, wie fest die Schraube in der Wand verschraubt ist.
Um die Schraube fester zu drehen, kann man entweder eine größere Kraft zum Drehen aufwenden oder einen längeren Hebelarm beim Schraubendreher nutzen. Das Drehmoment hat immer eine Drehrichtung, die sich aus der Richtung der Kraft, der Lage des Hebelarms und dem Drehpunkt ergibt.
Das Drehmoment ist definiert als Produkt aus Kraft und Hebelarm. Eine Kurzbeschreibung des Drehmoments lautet wie folgt:
Das Drehmoment $M$ ist für die Drehbewegung das, was für die geradlinige Bewegung die Kraft $F$ ist.
Der besondere Unterschied ist, dass bei der Betrachtung des Drehmoments $M$ die Kraft $F$ und der Hebelarm $r$ senkrecht zueinander stehen, während bei der geradlinigen Bewegung Kraft und Bewegungsrichtung in die gleiche Richtung zeigen, also parallel sind.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal gesehen, wie zwei Kinder auf einem Spielplatz eine Wippe benutzen. Wenn eines der Kinder näher zur Mitte der Wippe sitzt, verändert sich das Gleichgewicht.
Das Drehmoment spielt hier eine entscheidende Rolle, denn es bestimmt, wie sich die Gewichtskräfte entlang der Wippe auswirken. So kannst du verstehen, warum unterschiedliche Gewichte und Positionen auf der Wippe unterschiedliche Auswirkungen haben.
Drehmoment – einfach erklärt
Um die Bedeutung des Drehmoments zu erklären, betrachten wir zuerst zweiseitige Hebel, dann einseitige Hebel und schließlich das Hebelgesetz. Ein Hebel besteht aus zwei Kraftarmen und einem gemeinsamen Drehpunkt. Die Hebelwirkung macht man sich in vielen alltäglichen Situationen zunutze, z. B. bei einer Schubkarre oder einem Korkenzieher.
Ein Beispiel eines zweiseitigen Hebels ist die Wippe auf einem Spielplatz. Um die Wippe im Gleichgewicht zu halten, muss die schwerere Person näher am Drehpunkt sitzen als die leichtere Person. Die beiden Hebelarme sind hier die Abstände $a$ und $b$ zwischen dem Drehpunkt und den beiden Personen. Dort, wo eine Person sitzt, greift die Gewichtskraft der Person senkrecht zum jeweiligen Hebelarm an.
Um mit einer Wippe einen einseitigen Hebel darzustellen, müssen beide Personen auf derselben Seite des Drehpunktes befinden. Die eine Person sitzt auf dem Arm der Wippe, die andere Person hält die Wippe auf derselben Seite fest und damit im Gleichgewicht.
Hier wirken die Gewichtskraft der sitzenden Person und die Haltekraft der stehenden Person in verschiedene Richtungen. Die Haltekraft, die die stehende Person aufbringen muss, hängt von der Position der sitzenden Person (und ihrer Gewichtskraft) ab.
Mithilfe dieser Betrachtungen können wir nun das Hebelgesetz formulieren.
Drehmoment – Hebelgesetz
Aus der Darstellung des einseitigen oder zweiseitigen Hebels mit einer Wippe lässt sich das Hebelgesetz ableiten: Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn das Produkt aus der Gewichtskraft $F$ und dem Hebelarm $r$ bei beiden Personen gleich ist.
Das Hebelgesetz kann also mit der folgenden Formel ausgedrückt werden:
$F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2$
Drehmoment – Formel
Das Hebelgesetz hängt eng mit der Formel für das Drehmoment zusammen, denn jeder Punkt auf einem Hebelarm, der sich bewegt, hat ein Drehmoment.
Das Drehmoment $M$ ist das Produkt der senkrecht an einem Hebelarm angreifenden Kraft $F$ und der Länge $r$ des Hebelarms:
$M = F \cdot r$
Eine einfache Formulierung des Hebelgesetzes lautet damit:
Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn sich die Drehmomente aller Punkte auf den Hebelarmen ausgleichen.
Da die Balken einer Wippe üblicherweise links und rechts gleich groß und gleich schwer sind, reicht die Betrachtung der Personen bzw. ihrer Gewichtskräfte $F_1$ und $F_2$ an den jeweiligen Positionen $r_1$ und $r_2$ aus, um das Hebelgesetz einer Wippe zu formulieren.
Die Drehmomente $M_1 = F_1 \cdot r_1$ und $M_2 = F_2 \cdot r_2$ müssen also gleich groß sein, damit die Wippe im Gleichgewicht ist.
Schlaue Idee
Wenn du versuchst, eine Schraube mit einem Schraubenschlüssel zu lösen, halte den Griff weiter hinten. So nutzt du das Prinzip des Drehmoments, indem du den Hebelarm verlängerst und weniger Kraft aufwenden musst.
Drehmoment – Einheit
Die Einheit für das Drehmoment $M$ ist das Produkt der Einheit Newton $\left( \text{N} \right)$ für die Kraft $F$ und der Einheit Meter $\left( \text{m} \right)$ für den Hebelarm $r$:
$[M]=1~\text{Nm}$
Die Einheit des Drehmomentes heißt daher Newtonmeter.
Hierzu wollen wir noch eine wichtige Betrachtung festhalten: Einerseits ist $\text{Nm}$ die Einheit des Drehmomentes $M$, andererseits ist $\text{Nm}$ auch die Einheit der (mechanischen) Arbeit $W$.
Hier müssen wir die Unterscheidung beachten, dass bei der Betrachtung des Drehmoments die Kraft $F$ senkrecht am Hebelarm $r$ ansetzt. Damit Arbeit verrichtet wird, muss eine Kraft $F$ jedoch längs eines Weges $r$ (oder $s$) wirken. Durch das Drehmoment wird also keine Arbeit verrichtet, da die Kraft nicht parallel zum Weg gerichtet ist.
Nicht-senkrechte Krafteinwirkung
Wenn die Kraft nicht exakt senkrecht zum Hebelarm wirkt, dann wirkt für das Drehmoment nur der Anteil der Kraft, der senkrecht zum Hebelarm steht.
Wenn also die Kraft $F$ zum Hebelarm $r$ in einem Winkel $\alpha$ steht und $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ gilt, dann beträgt das Drehmoment:
$M=F\cdot r \cdot \sin\alpha$
Mit dieser Formel lässt sich auch dann ein Drehmoment berechnen, wenn Kraft und Hebelarm nicht exakt senkrecht zueinander stehen.
Wusstest du schon?
Das Drehmoment spielt auch eine entscheidende Rolle bei der Funktionsweise von Fahrrädern. Wenn du in die Pedale trittst, erzeugst du ein Drehmoment, das die Kette und schließlich die Räder antreibt. Das bedeutet, mit jedem Tritt bestimmst du, wie schnell und kraftvoll du vorankommst. So einfach kann Physik sein, wenn man Fahrrad fährt!
Drehmoment berechnen
Ist eine Wippe im Gleichgewicht, so sind die beiden Drehmomente gleich groß und haben entgegengesetzte Drehrichtungen: Die Gewichtskraft der Person auf der linken Seite der Wippe erzeugt ein Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn, die Gewichtskraft der Person rechts ein Drehmoment im Uhrzeigersinn. Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn beide Drehmomente einander ausgleichen. Das kann man mit der Drehmoment-Formel ausdrücken, die genau dem Hebelgesetz entspricht:
$F_1 \cdot r_1 = M_1 = M_2 = F_2 \cdot r_2$
Wir betrachten als Beispiel nun die Wippe aus den obigen Abbildungen.
Das Kind habe die Masse $m_2=30~\text{kg}$ und sitze im Abstand $r_2=2~\text{m}$ vom Drehpunkt der Wippe entfernt. Wo muss der Erwachsene der Masse $m_1= 80~\text{kg}$ sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?
Gegeben: $m_1= 80~\text{kg}$, $m_2=30~\text{kg}$, $r_2=2~\text{m}$ Gesucht: $r_1$
Im Gleichgewicht sind beide Drehmomente gleich, es gilt also: $M_1=M_2$
Um die Aufgabe lösen zu können, benötigen wir Kräfte, haben aber nur Massen gegeben. Wir nehmen an, dass sich die Wippe auf der Erde befindet, sodass wir mit Hilfe des gerundeten Ortsfaktors $\left( g = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \right)$ berechnen können, welche Gewichtskraft die beiden Massen ausüben.
Es gilt: $F_\text{G}= g\cdot m = 10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot m$
In unserem Falle gilt also:
$F_1= 10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 80~\text{kg}=800~\text{N}$
$F_2=10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 30~\text{kg}=300~\text{N}$
Dann gilt im Gleichgewicht also:
$M_1=M_2$
$F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2$
$800~\text{N} \cdot r_1 = 300 ~\text{N} \cdot 2~\text{m}$
Wir formen nach $r_1$ um:
$800~\text{N} \cdot r_1 = 300 ~\text{N} \cdot 2~\text{m} \quad \vert : 800~\text{N}$
$r_1=\dfrac{300~\text{N} \cdot 2~\text{m}}{800~\text{N}}$
$r_1=0{,}75~\text{m}$
Der Erwachsene müsste also $75~\text{cm}$ von der Drehachse entfernt Platz nehmen.
Drehmoment – Richtungsbestimmung
Das Drehmoment ist streng genommen eine vektorielle Größe mit einer Richtung. Der Richtungsvektor steht senkrecht auf der Kraft und senkrecht auf dem Hebelarm bzw. Kraftarm. Der Betrag des Vektors entspricht der Größe des Drehmoments.
Rechte-Hand-Regel
Wenn wir bei der rechten Hand Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger so halten, dass sie jeweils rechte Winkel bilden, dann entsprechen diese den physikalischen Größen nach folgendem Schema:
- der Daumen: Richtung des Kraftarms (vom Drehpunkt aus)
- der Zeigefinger: Richtung der Kraft
- der Mittelfinger: Richtung des Drehmoments
Mathematisch wird dies durch folgenden Zusammenhang (ein Vektorprodukt) ausgedrückt:
$\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$
Die Drehrichtung entspricht der Richtung der Kraft, also in unserer obigen Betrachtung der Richtung, in die der Zeigefinger zeigt.
Du kannst aber auch eine andere Betrachtungsweise wählen: Wenn du mit dem Daumen der rechten Hand in die Richtung des Drehmoments zeigst, zeigen die gekrümmten Finger deiner Hand in Drehrichtung.
Drehmoment – Messung
Die Festigkeit einer Schraubverbindung kann man mit dem Drehmoment ausdrücken. Ein Drehmoment-Schlüssel ist ein Schraubwerkzeug, bei dem das Drehmoment genau eingestellt werden kann.
Zur Drehmomentmessung verwendet man einen Drehmomentsensor. Solche Sensoren werden z. B. in Akkuschraubern oder in e-Bikes verbaut. Ein Drehmomentsensor basiert darauf, dass sich die elektrischen Eigenschaften verschiedener Materialien verändern können, wenn diese verformt werden. Wenn also ein Drehmoment eine Verformung eines solchen Materials in einem Sensor bewirkt, kann die Stärke des Drehmoments durch ein elektrischen Signal ausgedrückt werden.
Ausblick – das lernst du nach Drehmoment M
Erweitere dein Wissen in der Physik und tauche tiefer in die Welt der Rotation ein. Lerne mehr über Kreisbewegungen und das Trägheitsmoment. So bekommst du spannende Einblicke und bist optimal vorbereitet. Lass dich von der Faszination der Mechanik anstecken und entdecke mehr über die Kräfte, die unsere Welt bewegen!
Zusammenfassung des Drehmoments
- Das Drehmoment beschreibt die Wirkung einer Kraft auf ein drehbares Objekt. Dabei ist die Wirkung umso größer, je größer die angreifende Kraft $F$ ist und je größer der Abstand $r$ zwischen Angriffspunkt und Drehachse (der Hebelarm oder auch Kraftarm) ist.
- Wenn die Kraft senkrecht auf dem Hebelarm steht, gilt: $M=F \cdot r$
- Die Einheit des Drehmoments ist Newtonmeter: $[M]=1~\text{Nm}$
- Das Drehmoment M ist eine vektorielle Größe. Es gilt: $\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Drehmoment
Transkript Drehmoment M
Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir machen heute ein neues Kapitel in der Mechanik auf, und zwar die Rotation starrer Körper. Und als Erstes wollen wir uns dafür das Drehmoment M ansehen. Wir lernen heute: Was Rotation ist und welche Rolle das Drehmoment für sie spielt. Mit welchen Formeln ich das ganze berechnen kann. Und zum Schluss sehen wir uns noch ein einfaches Beispiel an. Wir beschäftigen uns ja schon eine ganze Weile mit Bewegungen, zum Beispiel ein Auto fährt von A nach B oder Peter wirft einen Ball zu Paul. Was wir dabei meist nicht berücksichtigen ist, dass ein starrer Körper sich auf 2 Arten bewegen kann. Er kann eine Translation ausführen, das ist die klassische Bewegung, die wir bis jetzt hatten oder physikalisch gesagt: Der Schwerpunkt des Körpers ändert mit der Zeit seinen Ort. Er kann aber genauso eine Rotation ausführen, das heißt der Körper rotiert um eine feste Drehachse. Die beiden schließen sich übrigens gegenseitig nicht aus. Denkt nur an unsere Erde! Die Erde dreht sich um sich selbst, während sie mit einer ziemlich großen Geschwindigkeit durch das Weltall um die Sonne fliegt. Ein Körper, der sich bewegt, führt also eine Translation und/oder eine Rotation aus. Wie aber kommen dieses Bewegungen nun zustande? Wir wissen bereits, die Geschwindigkeit V der Translation kann durch Kräfte verändert werden, denn nach dem 2. Newtonschen Axiom, F=m×a, wirkt eine Kraft auf einen Körper, dann wird er beschleunigt. Ihr habt es euch wahrscheinlich schon gedacht, denn immerhin ist es der Titel des Videos. Die Rotationsgeschwindigkeit ω wird durch Drehmomente beeinflusst. Wir erinnern uns: ω war die Winkelgeschwindigkeit. Also die Änderung des Winkels Δφ geteilt durch die dafür benötigte Zeit δt. Wir merken uns also: Das Drehmoment M ist für die Rotation, was die Kraft für die Translation ist, nämlich das Mittel zur Veränderung des Bewegungszustandes. Wie das Ganze genauer aussieht und welche Formeln ich zur Berechnung verwenden darf, das sehen wir im nächsten Kapitel. Zum besseren Verständnis stellen wir uns einfach vor, wir sind auf einem Kinderspielplatz und schubsen dort ein kleines Kinderkarussell an. Dieses Kinderkarussell dreht sich um eine Achse in der Mitte, an der sie auch festgemacht ist - dies ist die Drehachse. Ich kann dieses Karussell nun anschieben, indem ich an einer bestimmten Stelle anpacke und schiebe. Wir zeichnen uns das Ganze kurz auf. Die Drehachse ω befindet sich in der Mitte, und wir wählen 2 verschiedene Punkte zum Anschieben und probieren aus, was passiert. Aus eigener Erfahrung und, wenn ihr euch an das Hebelgesetz erinnert, wisst ihr bestimmt, je weiter außen ihr anschiebt, desto weniger Kraft braucht ihr. Dafür müsst ihr aber auch eine längere Strecke schieben. Greife ich also, wie es meistens der Fall wird bei einem Karussell, ganz außen an und schiebe, dann wirkt im Abstand r2 von der Achse eine Kraft F - und genau das ist das Drehmoment, eine Kraft, die im Abstand r senkrecht zu r und der Drehachse angreift. Die Berechnung ist denkbar einfach. Das Drehmoment M=r×F×Sinus des Winkels α zwischen den beiden. Oder, in Vektorschreibweise: Der Vektor von M ist das Kreuzprodukt der Vektoren von r und F. Denn das Drehmoment soll ja senkrecht auf Radius und Kraft stehen. Wenn das Drehmoment nur den Betrag der Winkelgeschwindigkeit ändern soll und nicht deren Richtung, dann muss er genau parallel zu ihr sein. Wir überprüfen kurz: Senkrecht zur Kraft und zum Radius bedeutet, der Vektor unseres Drehmoments ist parallel zur Winkelgeschwindigkeit. Sehr gut! Die Einheit des Drehmoments ist, wie wir aus M=r×F schnell sehen können, das Newtonmeter. Als Nächstes wollen wir uns ansehen, welche Arbeit ich verrichtet habe, also welche Energie ich übertragen habe, wenn ich meinen Körper um einen Winkel Δφ drehe. Ich habe dabei ein Segment des Kreises zurückgelegt, und zwar s. Wie wir wissen, ist Arbeit gleich Kraft mal Weg. Die Formel für die Länge des Kreissegmentes s ist: s=r×Δφ. Damit ist die aufgebrachte Energie also F×r×Δφ. Und für F×r kann ich gleich das Drehmoment M einsetzen. Die Energie W ist also M×Δφ. Verrichte ich diese Arbeit in einer Zeit Δt, dann kann ich auch eine Leistung ausrechnen. P ist ja immer Energie/Zeit, also ΔW/Δt. Damit kann ich schreiben: P=M×ΔW/Δt. Wie ihr wisst, heißt die Winkelgeschwindigkeit nicht zum Spaß so. ω gibt mir an, wie groß der Winkel Δφ ist, der in der Zeit Δt überstrichen wird. Für Δφ/Δt kann ich also gleich ω einsetzen. Und damit ergibt sich: Die Leistung P=M×ω. Als Letztes wollen wir uns noch einen kurzen Spezialfall ansehen: Stellen wir uns vor, an einem Punkt unserer Drehscheibe greift eine Kraft F1 an, an einem 2. greift eine Kraft F2 in eine andere Richtung an. Die beiden Kräfte sollen nun so groß sein, dass die Drehmomente M1 und M2 genau gleich groß sind. Dann passiert nämlich Folgendes: Hat sich das Rad vorher schon bewegt, wird es sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit weiterbewegen. Hat es vorher stillgestanden, steht es auch weiterhin still. Wie für die Kräfte bei der Translation, gibt es also auch für die Drehmomente bei der Rotation eine Art Trägheitsprinzip. Und dieses lautet: Ist die Summe aller wirkenden Drehmomente 0, so rotiert der Körper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit weiter. Oder, wenn er vorher in Ruhe war, bleibt er in Ruhe. Mathematisch kann ich das schnell so aufschreiben: M1+M2, also die Summe aller Drehmomente, =0 und daraus folgt ω= konstant. So, genug Formeln für heute! Zum Schluss schauen wir uns noch kurz ein kleines Beispiel an: Links seht ihr als Beispiel ein rotierendes Fahrradpedal. Wie ihr sehen könnt, befindet sich in der Mitte die Drehachse. Die Punkte, die weiter weg von der Drehachse sind, bewegen sich schneller - die, die näher dran sind, bewegen sich langsamer. Am Langsamsten bewegen sich die Punkte, die auf der Drehachse liegen, denn diese bewegen sich gar nicht. Und das schreiben wir uns gleich mal auf: Alle Punkte des Körpers, die auf der Drehachse liegen, verändern ihre Position nicht. Alle anderen bewegen sich auf einer Kreisbahn um die Achse. Wenn ihr das nächste Mal an eurem Fahrrad seid, könnt ihr es leicht am Pedal oder, noch besser, am Vorderrad, ausprobieren. Die Formel für das Drehmoment lässt sich leicht nachprüfen. Je kleiner der Abstand r zur Achse, desto größer ist die Kraft, die für dasselbe M aufgebracht werden muss. Allerdings ist natürlich auch der Weg, der für dieses M zurückgelegt werden muss, kleiner, je kleiner r ist. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Die Bewegung eines starren Körpers besteht aus Translation und/oder Rotation. Durch ein Drehmoment, also eine Kraft F, die im Abstand r zur Drehachse angreift, kann die Winkelgeschwindigkeit verändert werden. Die Formel des Drehmoments lautet: Das Drehmoment M=r×F×Sinus des Winkels α zwischen den beiden. Oder in Vektorschreibweise: Der Vektor von M ist das Kreuzprodukt der Vektoren von r und F. Die verrichtete Arbeit W = das Drehmoment M, mal der überstrichene Winkel Δφ. Und die dabei aufgebrachte Leistung P=M×ω. Außerdem gilt auch hier das Trägheitsprinzip: Ist die Summe aller Drehmomente gleich 0, so ist die Winkelgeschwindigkeit konstant. So, das war's schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen! Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal - euer Kalle!
Drehmoment M Übung
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Nenne die Definitionen und Beispiele für die Rotation und Translation.
TippsÜberlege, wie sich ein Kinderkarussell bewegt und wie sich der Ort deines Schrankes verändert, wenn du ihn verrückst.
Wie lauten die Formelzeichen für die Geschwindigkeit einer Bewegung und für die Drehgeschwindigkeit?
LösungDie Translation ist eine fortschreitende Bewegung. Das heißt, einzelne Punkte des Körpers bewegen sich entlang von Bahnen, wobei die Punkte des Körpers immer parallel zueinander verlaufen. Stelle dir vor, du guckst von oben auf die Situation: Du fährst mit einem Freund oder einer Freundin in einem Zug und er/sie sitzt versetzt zwei Reihen hinter dir. Jetzt werden eure Ortsveränderungen durch die Bewegung des Zuges mit einer feinen Linie markiert. Dabei kannst du erkennen, dass die Bahnen in dem Zug immer parallel zueinander sind.
Die Rotation ist eine Drehbewegung. Bei dieser Bewegung sind die Bahnen, auf denen sich die einzelnen Punkte des Körpers entlang bewegen, Kreisbahnen. Das kannst du dir vielleicht noch einfacher vorstellen. Du guckst wieder von oben auf die Situation: Du fährst diesmal mit deiner Freundin/deinem Freund auf dem Kettenkarussell. Du sitzt ganz außen und sie/er innen. Eure Bewegungen werden wieder mit einer feinen Linie markiert. Daraus folgen zwei Kreisbahnen um die Mitte des Karussells, also die Drehachse.
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Gib die physikalischen Größen für die Translation und Rotation an.
TippsWie kannst du die allgemeinen Formeln mit den speziellen Formeln der Rotation vereinfachen?
Was sind die physikalischen Größen und was beschreiben sie?
LösungAuch beim Thema der Rotation spielt die Berechnung eine große Rolle. Dafür werden die allgemeinen Formeln in spezielle Formeln, die nur für die Rotation gelten, umgewandelt.
Zuerst benötigen wir die spezifische physikalische Größe des Drehmoments $M$. Das Drehmoment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft $F$, die im Abstand $r$ zur Drehachse, senkrecht zu $r$ und zur Drehachse, angreift. Das Drehmoment $M$ ist also: $M = r \cdot F \cdot \sin(\alpha)$.
Um auszurechnen, welche Energie ich benötige, um den Körper um den Winkel $\Delta \varphi$ zu drehen, brauche ich die Formel der Arbeit $W$. Dafür gilt im Allgemeinen: Die Arbeit ist gleich der Kraft mal dem Weg $W = F \cdot s$. Für den Weg $s$ im Kreissegment kann man schreiben: $ s = r \cdot \Delta \varphi $. Daraus kann man die Arbeit für die Rotation jetzt spezifisch schreiben als $W = M \cdot \Delta \varphi$.
Wenn die Arbeit $W$ in einer bestimmten Zeit verrichtet wird, kann auch die Leistung $P$ berechnet werden. Die Leistung $P$ ist im Allgemeinen die Arbeit $W$ pro benötigter Zeit $\Delta t$. Dafür kann man in der Rotation schreiben: $P = M \cdot \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$. Da jetzt die Winkelgeschwindigkeit $\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$ in der Rotation gilt, kann man die Leistung einer Rotation wie folgt beschreiben: $P = M \cdot \omega$.
Damit kannst du viele Rechnungen bei einer Rotation durchführen.
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Ordne die Formelzeichen zu.
TippsWas ist der Radius im Kreis?
Wo greift die Kraft am Kreis an?
LösungDie Drehachse $\vec \omega$ ist in der Mitte des rotierenden Körpers.
Die Punkte, an denen die Kraft für eine Bewegung wirken kann, liegen auf dem Radius. Sie haben als Wert den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu sich, in diesem Fall: $r_1$ und $r_2$.
Die Kraft $F$ wirkt am Punkt mit Abstand $r_2$, also dem Radius. Die Kraft wirkt für das Drehmoment immer senkrecht zu $r$ und zur Drehachse.
Die Änderung des Winkels $\Delta \varphi$ wird an der Drehachse abgelesen.
Das dazugehörige Kreissegment $s$ ist der Teil des Kreisbogens, der vom Winkel $\Delta \varphi$ eingeschlossen ist.
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Prüfe Aussagen zur Translation und Rotation.
TippsDenke nochmal daran, was eine Rotation in Bezug auf einen Körper ist.
Von welchen Größen hängt das Drehmoment ab?
LösungAlle Körper, die um eine Drehachse rotieren, sind Beispiele für die Rotation.
Die Punkte, die näher an der Drehachse liegen, bewegen sich langsamer und die Punkte, die weit entfernt von der Drehachse liegen, bewegen sich schneller. Das lässt sich ganz einfach erklären: Die Punkte, die weiter entfernt liegen, müssen für die gleiche Winkeldifferenz in der gleichen Zeit ein größeres Segment des Kreisbogens zurücklegen. Dafür müssen sie sich also auch schneller bewegen.
Die Arbeit, die verrichtet werden muss, hängt natürlich von der Größe des Rads ab. Hier ein Rechenbeispiel:
Wir haben zwei Räder: eins mit dem Radius $r_1=0,5 \text{m}$ und eins mit dem Radius $r_2= 1\text{m}$. Beide Räder drehen wir außen mit der Kraft $F = 3 \text{N}$ um zwei Umdrehungen. Daraus ergibt sich ein Winkel $\Delta \varphi = 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4 \pi \approx 12,6$.
Daraus folgt für das kleine Rad: $W = 3 \text{N} \cdot 0,5 \text{m} \cdot 12,6 \approx 18,85 \text{Nm}$.
Für das große Rad folgt: $W = 3 {N} \cdot 1 \text{m} \cdot 12,6 \approx 37,70 \text{Nm}$.
Wie du siehst, hängt die zu verrichtende Arbeit und damit auch das Drehmoment stark von der Größe des Rades ab.
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Berechne die Arbeit $W$ der Rotation.
TippsWelche Einheit hat s, cm oder m?
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Arbeit $W$ ?
Welche physikalische Einheit gehört zur Arbeit $W$?
LösungFür die Berechnung der verrichteten Arbeit $W$ benötigst du in diesem Fall nicht das Drehmoment $M$.
Du benutzt also nur die Formel für die Arbeit $W = F \cdot r \cdot \Delta \varphi$. Die Kraft $F$ ist dir gegeben und den Winkel $\Delta \varphi$ kannst du mit der vorgegebenen Formel berechnen. Den Radius kannst du ganz einfach ermitteln mit $r = \frac{d}{2} $. Bei dem Radius musst du zusätzlich noch die Einheit verändern und mal 5 Umdrehungen rechnen.
$\Delta \varphi=2\cdot \pi \cdot z=2\cdot \pi \cdot 5=10 \pi$
Diese Werte setzt du anschließend in die Gleichung ein:
$W= 0,5 \text{N} \cdot 0,06 \text{m} \cdot 10 \pi$ und daraus folgt: $W\approx 0,94 \text{Nm}$.
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Bestimme die Ergebnisse.
TippsAchte auf die korrekten Einheiten.
LösungDiese Beispiele sind alles Rechnungen zum Drehmoment und der Rotation.
Du benötigst für die Berechnung diese Formeln:
$M = F \cdot r$ und
$W = F \cdot r \cdot \Delta \varphi$.
Zeit-Bahngrößen-Gesetze der Rotation
Winkelbeschleunigung α
Drehimpuls L
Impulserhaltung bei der Kreisbewegung
Drehmoment M
Trägheitsmoment J
Rotationsenergie
Grundgesetz der Dynamik der Rotation
Corioliskraft und foucaultsches Pendel
Fliehkraft, eine Scheinkraft – Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft
Analogien bei Translation und Rotation
8.883
sofaheld-Level
6.601
vorgefertigte
Vokabeln
7.852
Lernvideos
37.617
Übungen
33.734
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