Rotationsenergie

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute, wieder aus der Mechanik, mit der Rotationsenergie eines Körpers. Für dieses Video solltet Ihr bereits den Film über das Trägheitsmoment J gesehen haben. Wir lernen heute: Was die Rotationsenergie ist, wie ich ihre Formel herleiten kann, und in welchen tagtäglichen Anwendungen mir die Rotationsenergie begegnet. Dann wollen wir mal. Wie wir bereits wissen, wird ein Körper, auf den eine Kraft wirkt, beschleunigt. Das heißt, er erhält eine Geschwindigkeit - und damit verknüpft - kinetische Energie, also Bewegungsenergie. Für eine Rotation funktioniert das ganz ähnlich. Wir schreiben uns auf: Wird ein Körper durch die Winkelbeschleunigung α auf die Winkelgeschwindigkeit ω beschleunigt, so wird ihm Energie zugeführt. Ihr habt es Euch wahrscheinlich schon gedacht: Diese Energie nennt man die Rotationsenergie. Wir kürzen sie mit Erot ab. In der Schule führt man häufig eine Reihe von Versuchen, zum Beispiel mit verschiedenen Kreiseln dazu durch, und findet heraus: Diese Rotationsenergie hängt von der Winkelgeschwindigkeit ω, der Masse des Körpers und vor allem der Verteilung der Masse des Körpers ab. Wie man die Formel für die Rotationsenergie nun aber genau herleiten kann, das wollen wir uns im nächsten Kapitel ansehen. Die Herleitung der Rotationsenergie ist gar nicht so kompliziert. Wir benutzen dafür folgenden Ansatz: Jeder einzelne Massenpunkt unseres rotierenden Körpers hat eine bestimmte Bahngeschwindigkeit. Wenn wir also die Summe der kinetischen Energien aller einzelnen Massenpunkte ausrechnen, dann haben wir die Rotationsenergie. Hier kommen nun einige abschreckende Formeln ins Spiel. Aber lasst Euch nicht verunsichern, eigentlich ist das gar nicht so schwer. Wir schreiben auf: Die Rotationsenergie ist die Summe über die kinetische Energie aller Massenpunkte. Ich kann das Ganze umformen in ein Integral, und zwar das Integral über die gesamte Masse von ½ vm² dm. Falls Euch das verwirrt: Dieses Integral tut nichts anderes, als für jeden Massenpunkt ½v² zusammenzurechnen. Da die Geschwindigkeiten aller Massenpunkte Bahngeschwindigkeiten sind, können wir v/r×m durch ω ersetzen. Damit erhalten wir Integral über die Masse von ½rm² ω²dm. Da weder ½ noch ω² davon abhängen, wo der Massenpunkt sitzt, kann ich sie nun einfach vor das Integral ziehen. Dann steht da: =½ω² Integral über die Masse von rm²dm. Und dieses Integral haben wir schon einmal gesehen. Das Integral über die gesamte Masse des Körpers von r²dm berechnet die Verteilung der Masse zur Drehachse und ist damit genau das Trägheitsmoment J. Und damit haben wir die Formel für die Rotationsenergie eines Körpers berechnet. Sie ist ½×J×ω² mit dem Trägheitsmoment J und der Winkelgeschwindigkeit ω. Ihr seht, wie ähnlich diese Formel der Formel für die kinetische Energie ist. ½mv² und ½Jω². Wie auch in der Grundgleichung der Rotation übernimmt das Trägheitsmoment J die Rolle der Masse m und die Winkelgeschwindigkeit ω die Rolle der Geschwindigkeit v. Wir können aus dieser Formel auch ablesen, je höher das Trägheitsmoment J ist, umso mehr Rotationsenergie kann ich bei gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit ω in einem Körper speichern. Und das bringt uns auch gleich zu den Anwendungsmöglichkeiten, denn für welche Zwecke man eigentlich Rotationsenergie speichern will, das sehen wir uns im letzten Kapitel an. Wir haben gerade gehört: Je größer das Trägheitsmoment, desto mehr Rotationsenergie kann ich in einem Körper speichern. Deshalb speichert man Rotationsenergie in sogenannten Schwungrädern, die so ähnlich aussehen, wie in der Animation rechts. Sie sind ungefähr aufgebaut wie ein Hohlzylinder mit Speichen, d. h. fast die gesamte Masse befindet sich im Abstand r. Das Schwungrad hat also ein sehr hohes Trägheitsmoment. Man wendet Schwungräder in den verschiedensten Gebieten an. Bei Generatoren und Elektromotoren zum Beispiel besteht immer die Gefahr, dass der Prozess unrund läuft. Nehmen wir als Beispiel mal einen Verbrennungsmotor. In der Phase, in der das Benzin-Luftgemisch im Zylinder gezündet wird, erzeugt unser Zylinder kinetische Energie. Ein Schwungrad sorgt dafür, dass ein Teil dieser kinetischen Energie dafür verwendet werden kann, die nächste Portion Benzin-Luftgemisch im Zylinder zu komprimieren und wieder auf eine Zündung vorzubereiten. Ein weiterer wichtiger Einsatzbereich von Schwungrädern ist die Feinmechanik. Also zum Beispiel in Aufziehautos oder in Armbanduhren. Die meisten dieser Geräte werden durch eine Feder betrieben, die man aufziehen kann. Ohne ein Schwungrad würde diese in den meisten Fällen dazu führen, dass die Energie der Feder viel zu schnell abgegeben wird, z. B. für das Aufziehauto: Die Räder würden durchdrehen und die Feder hätte sofort ihre gesamte Energie abgegeben. Baue ich aber nun ein Schwungrad ein, das von der Feder erst mühselig beschleunigt werden muss, dann sorge ich dafür, dass die Energie in kleineren Portionen über einen längeren Zeitraum abgegeben werden kann. Eine weitere, technisch nicht ganz so wichtige Anwendung, ist zum Beispiel das Jo-Jo, das sozusagen eine bestimmte Bauform des Maxwellschen Rades ist. Bei einem Jo-Jo wird Höhenenergie in Rotationsenergie umgewandelt. Und ist das Jo-Jo am tiefsten Punkt der Schnur angekommen, ist die Rotationsenergie auf ihrem Maximum und führt dazu, dass das Jo-Jo sich in die andere Richtung wieder aufwickelt. Dadurch erreicht es wegen der Reibung fast wieder die ursprüngliche Höhe und dann fängt das Ganze von vorne an. Es gibt natürlich noch deutlich mehr Beispiele. In vielen alten Fabriken zum Beispiel wurden Schwungräder zur Speicherung von Energie eingesetzt. Das sieht ungefähr so aus, wie im Bild rechts. Der Vollständigkeit halber will ich auch noch anmerken, dass Schwungräder nicht nur Energiespeicher, sondern auch Stabilisatoren sein können. Wenn Ihr wissen wollt, was das bedeutet und warum das so ist, dann muss ich Euch aber leider auf die nächsten beiden Videos vertrösten, die sich mit dem Drehimpuls und dem Drehimpuls-Erhaltungssatz beschäftigen. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Wird ein Körper auf die Winkelgeschwindigkeit ω beschleunigt, so wird ihm Rotationsenergie zugeführt. Die Rotationsenergie hängt von Winkelgeschwindigkeit ω und Trägheitsmoment J ab. Erot=½Jω². Rotationsenergie kann zum Beispiel in einem Schwungrad gespeichert werden. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.