Arten von Winkeln

Was ist ein Winkel?

Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen sie einen Winkel ein. Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels. Der Punkt, von dem die Schenkel ausgehen, heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel. Ein Winkel kann auch von zwei Geraden oder zwei Strecken eingeschlossen sein. Winkel werden in der Einheit Grad gemessen. Die Einheit wird mit dem Symbol $^\circ$ bezeichnet. Das Maß des Winkels heißt Winkelgröße.

Welche Winkelarten und Winkeltypen gibt es?

Es gibt verschiedene Winkelarten. Sie unterscheiden sich nach ihrer Winkelgröße, also danach, wie viel Grad sie betragen. In dieser Tabelle siehst du eine Übersicht über die verschiedenen Winkelarten:

Außerdem gibt es verschiedene Winkeltypen. Bei Winkeltypen handelt es sich um die Beschreibung, wie sich zwei oder mehr Winkel zueinander verhalten. Im Folgenden gehen wir auf die Winkeltypen Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel ein.

Nullwinkel

Bei dieser Winkelart ist kein Winkel zu erkennen.

Vollwinkel

Diese Winkelart erhalten wir, indem wir einen der Schenkel einmal um den Winkelscheitel herumdrehen. Der Winkel sieht nach dem Zeichnen aus wie ein kompletter Kreis. Wir gehen vom Vollwinkel aus, um andere Winkelgrößen in Grad anzugeben. Diese sind dann nur ein Teil des Kreises. Der $360.$ Teil des Vollwinkels hat die Winkelgröße $1^\circ$. Jede Winkelgröße wird nach dem Anteil des Winkels am Vollwinkel bestimmt.

Rechter Winkel

Der rechte Winkel ist ein Viertel des Vollwinkels, also ein Viertel von $360^\circ$. Rechte Winkel werden oft mit einem Punkt im Winkelbogen gezeichnet.

Ein Viertel des Vollwinkels sieht so aus:

Wir wissen nämlich, dass der abgebildete Winkel $\frac{1}{4}$ von $360^\circ$ ist. Das bedeutet, der rechte Winkel besitzt $90^\circ$, denn: $360:4=90$.

Gestreckter Winkel

Ein Winkel, der die Hälfte des Vollwinkels umfasst, besitzt keine Ecke. Trotzdem handelt es sich dabei um einen Winkel.

Der Nullwinkel, der rechte Winkel, der gestreckte Winkel und der Vollwinkel sind jeweils durch einen eindeutigen Wert der Winkelgröße festgelegt. Bei anderen Winkelarten ist die Winkelgröße nicht durch einen einzigen Wert, sondern durch eine Wertspanne charakterisiert.

Spitzer Winkel

Diese Winkel besitzen eine Winkelgröße, die zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ liegt.

Für einen Winkel $\alpha$ schreiben wir dann: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Stumpfer Winkel

Diese Winkel besitzen eine Winkelgröße, die zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ liegt.

Für einen Winkel $\alpha$ schreiben wir dann: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Überstumpfer Winkel

Bei diesen Winkeln beträgt die Winkelgröße zwischen $180^\circ$ und $360^\circ$.

Für einen Winkel $\alpha$ schreiben wir dann: $180^\circ < \alpha < 360^\circ$.

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen insgesamt vier Winkel. Im Folgenden geht es um die verschiedenen Winkeltypen, also um die Beschreibung des Verhaltens der Winkel zueinander.

Scheitelwinkel

Es gilt also: $\alpha = \gamma$.

Mehr Informationen zum Scheitelwinkel findest du in einem anderen Lernvideo.

Nebenwinkel

Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$. Damit erhalten wir für das folgende Bild:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Mehr Informationen zum Nebenwinkel findest du in einem anderen Lernvideo.

Stufenwinkel

Wenn zwei Parallelen durch eine Gerade geschnitten werden, entstehen jeweils an beiden Schnittpunkten vier Winkel. Die jeweiligen Winkel eines Schnittpunkts entsprechen den Winkeln des anderen Schnittpunkts.

Hier gilt also: $\alpha = \delta$.

Mehr Informationen zum Stufenwinkel findest du in einem anderen Lernvideo.

Wechselwinkel

So wie bei den Stufenwinkeln handelt es sich hier auch um Winkel, die beim Schnittpunkt von zwei Parallelen durch eine Gerade entstehen.

Zwei Wechselwinkel liegen sich also auf unterschiedlichen Seiten der Parallelen gegenüber. Damit gilt für das folgende Bild: $\alpha = \epsilon$.

Mehr Informationen zum Wechselwinkel findest du in einem anderen Lernvideo.

Winkel berechnen

Wir können Winkel in Dreiecken und Vierecken berechnen, indem wir dafür die jeweiligen Innenwinkelsummensätze benutzen.

In einem Dreieck gibt es drei Winkel. Wenn eines davon unbekannt ist, können wir das berechnen, indem wir alle gegebenen Winkel von $180^\circ$ abziehen. Genauso können wir einen unbekannten Winkel im Viereck berechnen, indem wir alle anderen gegebenen Winkel von $360^\circ$ abziehen.

Beispiele:

• In einem Dreieck sind die Winkel $\alpha = 35^\circ$ und $\beta = 45^\circ$ gegeben. Der dritte Winkel beträgt dann:
  $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 35^\circ - 45^\circ = 100^\circ$
• In einem Viereck sind die Winkel $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 70^\circ$ und $\gamma = 90^\circ$ gegeben. Der vierte Winkel beträgt dann:
  $\gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \gamma = 360^\circ - 60^\circ - 70^\circ - 90^\circ = 140^\circ$

Mehr zum Berechnen der Innenwinkelsummen von Dreiecken und der Winkelsummen von Vierecken findest du in zwei anderen Lernvideos.

Winkel messen

Beim Messen von Winkeln benutzen wir meistens ein Geodreieck. Dieses legen wir am Winkelscheitel oder am Schnittpunkt zweier Geraden so an, dass die lange Seite auf einem der Schenkel liegt. Dann verfolgen wir den zweiten Schenkel so weit auf dem Geodreieck, bis wir auf die Winkelskala treffen, und lesen den Winkel dort ab. Beim Messen von Winkeln benutzen wir meistens ein Geodreieck.

Winkelarten bestimmen

Um die Winkelart zu bestimmen, können wir gegebene Winkel mit rechten Winkeln, gestreckten Winkeln oder Vollwinkeln vergleichen. Im Bild hier sind Blätter mit verschiedenen Winkeln abgebildet:

Bei einem Blatt ist der Winkel $\alpha$ größer als der Nullwinkel, aber kleiner als ein rechter Winkel. Wir schreiben für die Winkelgröße $\alpha$ daher die Ungleichung:

$0^\circ < \alpha < 90^\circ$

Solche Winkel heißen spitze Winkel. Der Winkel $\beta$ des anderen Blatts ist größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als der gestreckte Winkel. Die Winkelgröße $\beta$ erfüllt daher die Ungleichung:

$90^\circ < \beta < 180^\circ$

Solche Winkel heißen stumpfe Winkel. Das dritte Blatt hat einen Winkel $\gamma$, der größer als ein gestreckter Winkel ist, aber kleiner als der Vollwinkel. Die Winkelgröße erfüllt daher die folgende Ungleichung:

$180^\circ < \gamma < 360^\circ$

Solche Winkel werden überstumpfe Winkel genannt.

Aufgaben zu Winkelarten und Winkeltypen – teste dein Wissen!

Ausblick – das lernst du nach Arten von Winkeln

Mache dich bereit für die unterschiedlichen Winkeltypen und vertiefe dein Wissen über Winkelpaare an Geradenkreuzungen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelarten