Ganze Zahlen – Einführung

Ganze Zahlen – Einführung Übung

• Ergänze die Eigenschaften ganzer Zahlen.

  Tipps

  Die negativen Zahlen kommen als Lösungen von Minus-Rechnungen vor.

  Das Ergebnis zu $8-12$ ist die Gegenzahl zu dem Ergebnis zu $12-8$.

  Das Weitergehen auf dem Zahlenstrahl um fünf Schritte nach rechts entspricht der Addition von $5$.

  Lösung

  Der Zahlenstrahl der ganzen Zahlen ist eine Erweiterung des natürlichen Zahlenstrahls: er erstreckt sich in beide Richtungen. Die ganzen Zahlen bestehen aus den positiven Zahlen, den negativen Zahlen und $0$.

  Negative Zahlen treten ganz natürlich beim Subtrahieren auf. Das Ergebnis zu $8-12$ findest Du, indem Du von der Zahl $8$ aus $12$ Schritte auf dem Zahlenstrahl nach links gehst. Vertauschst Du in der Aufgabe Minuend und Subtrahend, so ist das Ergebnis die Gegenzahl des vorigen Ergebnisses.

  Den Nachfolger einer ganzen Zahl findest Du heraus, indem Du von der ganzen Zahl um $1$ weiterzählst, den Vorgänger findest Du, indem Du um $1$ zurückzählst. Der Vorgänger von $-4$ ist demnach $-5$, der Nachfolger von $-4$ ist $-3$. Der Nachfolger ist dabei immer die nächstgrößere, der Vorgänger die nächstkleinere ganze Zahl.

  Beachte, dass der letzte Satz nur in den ganzen Zahlen richtig ist: den Vorgänger von $0$ gibt es nicht, solange Du nur natürliche Zahlen berücksichtigst, denn $0$ ist die kleinste natürliche Zahl. Den Vorgänger von $0$ findest Du, wenn Du die nächstkleinere ganze Zahl suchst: diese ist $-1$.

• Benenne die Eigenschaften ganzer Zahlen.

  Tipps

  Den Vorgänger einer Zahl findest Du, indem Du auf dem Zahlenstrahl einen Schritt nach links gehst.

  Auf dem Zahlenstrahl werden die Zahlen von links nach rechts größer, von rechts nach links kleiner.

  Ist eine ganze Zahl die Lösung einer Subtraktionsaufgabe, so ist ihre Gegenzahl die Lösung der Subtraktionsaufgabe mit vertauschtem Subtrahend und Minuend.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Zu jeder natürlichen Zahl gibt es einen Nachfolger und einen Vorgänger.“ Die Zahl $0$ hat keine natürliche Zahl als Vorgänger.

  • „Die $0$ hat keine Gegenzahl.“ Die Gegenzahl von $0$ ist $0$ selbst.

  • „Der Nachfolger einer negativen Zahl ist kleiner als ihr Vorgänger.“ Für jede ganze Zahl gilt: Ihr Nachfolger ist um $1$ größer als diese Zahl und die Zahl selbst ist um $1$ größer als ihr Vorgänger. Damit ist der Nachfolger einer Zahl immer um $2$ größer als ihr Vorgänger.

  • „Jede ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ.“ Die ganze Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ. $0$ ist die einzige solche Zahl.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Der Vorgänger von $0$ ist keine natürliche Zahl.“ Der Vorgänger von $0$ ist die ganze, nicht-natürliche Zahl $-1$.

  • „Die einzige ganze Zahl, die weder positiv noch negativ ist, ist $0$.“

  • „$-6$ ist kleiner als $-5$, denn $-6$ ist der Vorgänger von $-5$.“

• Bestimme Vorgänger und Nachfolger.

  Tipps

  Du findest den Vorgänger einer Zahl, indem Du um eins zurückzählst.

  Ist die letzte Ziffer einer negativen Zahl nicht $9$, so ist die letzte Ziffer des Vorgängers um $1$ größer.

  Der Vorgänger von $-3.210$ ist $-3.211$.

  Lösung

  Den Nachfolger einer ganzen Zahl findest Du, indem Du um $+1$ weiterzählst bzw. die nächstgrößere Zahl suchst. Den Vorgänger findest Du durch rückwärts zählen oder $-1$ rechnen. Der Vorgänger ist die nächstkleinere Zahl. Bei den Zehner-Übergängen musst Du aufpassen, um die richtigen Vorgänger oder Nachfolger zu finden.

  Folgende Paare kommen hier vor:

  • Der Nachfolger von $6.789$ ist die Zahl $6.790$, der Vorgänger ist $6.788$.

  • Zu der Zahl $-6.797$ ist der Vorgänger $-6.798$ und der Nachfolger $-6.796$.

  • Die Zahl $6.790$ hat den Vorgänger $6.789$ und den Nachfolger $6.791$.

  • Schließlich ist von $-6.800$ der Vorgänger $-6.801$ und der Nachfolger $-6.799$.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Das Erdgeschoss trägt die Etagen-Zahl $0$. Es liegt weder über noch unter der Erde.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Der Nachfolger der Gegenzahl ist die Gegenzahl des Vorgängers.“ So ist z.B. der Nachfolger von $-5$ die Zahl $-4$, und dies ist die Gegenzahl zu $4$, also zum Vorgänger von $5$.

  • „Der Nachfolger einer negativen Zahl ist eine nicht-positive Zahl.“ Der Nachfolger jeder negativen Zahl außer $-1$ ist selbst eine negative Zahl. Der Nachfolger von $-1$ ist die nicht-positive Zahl $0$.

  • „Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl.“ Negative Zahlen liegen auf dem Zahlenstrahl weiter links als positive, also sind sie kleiner.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Der Vorgänger einer nicht-negativen Zahl ist eine positive Zahl.“ $0$ ist eine nicht-negative Zahl, aber der Vorgänger ist $-1$, dies ist keine positive Zahl.

  • „Die Gegenzahl einer Zahl ist kleiner als die Zahl.“ $0$ ist ihre eigene Gegenzahl, aber $0$ ist nicht kleiner als $0$.

  • „Eine beliebige nicht-negative Zahl ist größer als eine beliebige nicht-positive Zahl.“ Wieder ist die $0$ das Gegenbeispiel: $0$ ist sowohl nicht-negativ als auch nicht-positiv. Und $0$ ist nicht größer als $0$.

• Gib die Eigenschaften ganzer Zahlen an.

  Tipps

  Fährt Paket-Peter um fünf Stockwerke nach oben, so rechnet er die Etagenzahl $+5$.

  Fährt Paket-Peter von der dritten Etage fünf Stockwerke nach unten, so kommt er in der Etage

  $3-5=-2$

  an.

  Zur Vorgänger-Etage fährt Paket-Peter mit dem Aufzug nach unten, zur Nachfolger-Etage nach oben.

  Lösung

  Paket-Peter fährt mit dem Aufzug in dem Hochhaus rauf und runter. Die Etagen-Zahlen sind angeordnet wie die Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Der Richtung nach rechts auf dem Zahlenstrahl entspricht die Richtung nach oben im Hochhaus.

  Von der Etage $12$ fährt Paket-Peter $8$ Stockwerke nach unten. Um die Etagenzahl zu bestimmen, rechnet er:

  $12-8 = 4$

  Allgemein gilt: Fährt er mit dem Aufzug nach oben, so ist die Zahl der nächsten Etage der Nachfolger der aktuellen Etagenzahl. Fährt er nach unten, so ist die Zahl der nächsten Etage der Vorgänger der aktuellen Etagenzahl.

  Von der Etage $8$ fährt Paket-Peter zwölf Stockwerke nach unten. Die Fahrt dauert lange genug, um auszurechnen, in welcher Etage er ankommen wird:

  $8-12 = -4$

  In diesem speziellen Hochhaus gibt es zu jeder ganzen Zahl eine Etage. Das sind unendlich viele, denn der Zahlenstrahl erstreckt sich unendlich in beide Richtungen. Die Etagen mit den positiven Zahlen liegen über der Erde, die mit den negativen Zahlen im Keller. Das Erdgeschoss liegt weder über noch unter der Erde, die Etagenzahl $0$ ist daher weder positiv noch negativ.

  Zu jeder Etagenzahl findet Paket-Peter den Nachfolger, indem er um $1$ weiter zählt oder mit dem Aufzug nach oben fährt. Den Vorgänger findet er, indem er um $1$ zurück zählt oder nach unten fährt.

• Bestimme die ganzen Zahlen.

  Tipps

  Beachte stets die Regel:

  Minus mal Minus ergibt Plus

  Lösung

  Für die Multiplikation ganzer Zahlen musst Du die Regel

  Minus mal Minus ergibt Plus

  beachten. Diese Regel legt das Vorzeichen eines Produktes fest. Die Zahl (ohne Vorzeichen) findest Du wie beim Multiplizieren natürlicher Zahlen.

  Du kannst Dir die Regel so klar machen: Multiplizieren mit $-1$ dreht immer die Richtung des Aufzuges um. Statt ins dritte Kellergeschoss fährt der Aufzug ins Stockwerk mit der Zahl $3$, wenn Du die $-3$ des Kellergeschosses mit $-1$ multiplizierst. Umgekehrt führt die Multiplikation des Stockwerks $4$ mit $-1$ ins vierte Kellergeschoss, also das Stockwerk $-4$.

  Mit dieser Regel findest Du folgende Zuordnungen:

  • $(-12) \cdot 3 = -36$

  • $(-6) \cdot (-6) = 36$

  • $(-3) \cdot 43 = -129$

  • $26 \cdot (-5) = -130$

  • $(-32) \cdot (-4) = 128$