Was ist ein Maßstab?

Was ist ein Maßstab? Übung

• Beschreibe, was man unter einem Maßstab versteht.

  Tipps

  Betrachtest du einen Maßstab von $a$ zu $b$ (beziehungsweise $a : b$), so gilt:

  • $a > b$: Vergrößerung
  • $a < b$: Verkleinerung

  Wenn eine Bildstrecke von $1\ \text{cm}$ einer Originalstrecke von $100\ \text{m}$ entspricht, so kannst du wie folgt die Originalstrecke zu einer Bildstrecke von $3\ \text{cm}$ bestimmen:

  • $3\cdot 1\ \text{cm}$ Bildstrecke $~\hat{=} ~ 3\cdot 100\ \text{m}$ Originalstrecke

  Lösung

  Du kannst den Lückentext wie folgt vervollständigen:

  Eine Karte in einem Maßstab von $1:2 500 000$ bedeutet, dass $1\ \text{cm}$ auf der Karte $2 500 000\ \text{cm}$ oder $25\ \text{km}$ in der Wirklichkeit entsprechen. Die Karte ist also eine Verkleinerung der Wirklichkeit.

  • Betrachtest du einen Maßstab von $a$ zu $b$, so erhältst du für $a>b$ eine Vergrößerung und für $a \lt b$ eine Verkleinerung. Eine Verkleinerung heißt, dass die Maße im Bild kleiner sind als die Maße im Original.

  Mit dem Maßstab kann man Entfernungen auf der Karte in Entfernungen in der Wirklichkeit umrechnen. So gelten folgende Zuordnungen:

  • $2\ \text{cm}$ auf der Karte entsprechen $50\ \text{km}$ in der Wirklichkeit.
  • $3\ \text{cm}$ auf der Karte entsprechen $75\ \text{km}$ in der Wirklichkeit.
  • $4\ \text{cm}$ auf der Karte entsprechen $100\ \text{km}$ in der Wirklichkeit.

  Wenn eine Bildstrecke von $1\ \text{cm}$ einer Originalstrecke von $100\ \text{m}$ entspricht, so kannst du die Originalstrecke zu einer anderen Bildstrecke durch Multiplikation beider Strecken mit demselben Faktor erhalten.

  Der Maßstab ist folgendermaßen definiert:

  • Maßstab $=$ Länge der Bildstrecke $:$ Länge der Originalstrecke

  Hier erkennst du, dass die Zahl, die links vom Doppelpunkt steht, die Länge der Bildstrecke angibt. Demnach handelt es sich um seine Verkleinerung, da die linke Zahl kleiner als die rechte ist.

• Bestimme die gesuchten Größen.

  Tipps

  Es gilt: $\text{Maßstab}= \dfrac{\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge der Bildstrecke}}{\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge der Originalstrecke}}$

  Achte auf die richtige Umrechnung zwischen den Einheiten.

  Es handelt sich bei den Modellen um Verkleinerungen.

  Lösung

  Es gilt: $\text{Maßstab}= \dfrac{\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge der Bildstrecke}}{\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge der Originalstrecke}}$

  Beispiel 1

  Das Modell der Moai-Statue ist im Maßstab $1:21$ angefertigt. Die originale Moai-Statue hat eine Höhe von $4,2$ Metern.

  Um die Höhe des Modells in Zentimetern zu erhalten, rechnen wir die Höhe des Originals zunächst in Zentimeter um:

  • $4,2\ \text{m}=420\ \text{cm}$

  Nun gehen wir wie folgt vor:

  • $420\ \text{cm}:21=20\ \text{cm}$

  Demnach ist das Modell $20\ \text{cm}$ hoch.

  Beispiel 2

  Das Modell von Stonehenge in England ist $20\ \text{cm}$ hoch. Es hat den Maßstab $1:32$.

  Wir rechnen wieder zuerst in die jeweilige Einheit um:

  • $20\ \text{cm}=0,2\ \text{m}$

  Nun berechnen wir die Größe des Originals:

  • $0,2\ \text{m}\cdot 32=6,4\ \text{m}$

  Demnach ist das Bauwerk in Wirklichkeit $6,4$ Meter hoch.

• Entscheide, welche Maßstäbe und Streckenverhältnisse zusammenpassen.

  Tipps

  Du kannst von der Aussage „$30~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $6 000~\text{cm}$ in der Wirklichkeit.“ direkt auf einen Maßstab von $30:6 000$ schließen. Diese Angabe ist jedoch unüblich: Maßstäbe werden im Allgemeinen so angegeben, dass auf der kleineren der beiden Seiten eine $1$ steht.

  Den Maßstab $30:6 000$ kannst du auch wie folgt angeben:

  • $3:600$
  • $1:200$
  • $2:400$

  usw.

  Lösung

  Zur besseren Unterscheidung nutzen wir hier $:$ nur für den Maßstab, für das Dividieren wird im Folgenden $\div$ verwendet.

  • Der Maßstab $2:16 000$, der aus der Aussage „$2~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $16 000~\text{cm}$ in der Wirklichkeit.“ folgt, lässt sich besser vergleichen, wenn man ihn so umrechnet, dass links vom Doppelpunkt eine $1$ steht. $2:16 000$ lässt sich in den Maßstab $1:8 000$ umwandeln, wenn man $ 2 \div 2 = 1$ und $16 000 \div 2=8 000$ berechnet.

  • Genauso geschieht es mit $1 000:1$. Dort erhalten wir $1:0,001$, nachdem wir $1$ durch $1 000$ geteilt haben. Allerdings versucht man häufig, Kommazahlen in Maßstäben zu vermeiden. Da die linke Zahl hier größer ist als die rechte, liegt eine Vergrößerung vor, konkret um den Faktor $1 000$. Auf einer solchen Karte entspräche $1\,\text{cm}$ genau $0,001\,\text{cm}$ in der Wirklichkeit.

  • Aus der Aussage „$6~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $4 200~\text{cm}$ in der Wirklichkeit.“ können wir einen Maßstab von $6:4 200$ ableiten. Teilen wir nun auf beiden Seiten durch $6$, erhalten wir $1:700$.

  • Die Aussage „$20~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $1,8~\text{m}$ in der Wirklichkeit.“ liefert den Maßstab $20:180$, also $1:9$. Hier rechnen wir $1,8~ \text{m}$ zunächst in Zentimeter um und geben dann den Maßstab an.

• Bestimme den Maßstab der Schiffsmodelle.

  Tipps

  Rechne die Längen von dem Original und dem zugehörigen Modell zunächst in eine gemeinsame Längeneinheit um.

  Beachte, dass links vom Doppelpunkt eine $1$ steht.

  Lösung

  Beispiel 1:

  Die MS Beere ist $270~\text{m}=27 000~\text{cm}$ lang. Ihr Modell hat eine Länge von $75~\text{cm}$. Damit erhalten wir als Verhältnis dieser Längen zunächst $75:27 000$. Um auf der linken Seite eine $1$ zu erhalten, teilen wir beide Seiten durch $75$. Als Maßstab ergibt sich damit $1:360$.

  Beispiel 2:

  Da das Modell der MS Sol eine Länge von $25~\text{cm}=0,25~ \text{m}$ hat und das Original $200$ Meter lang ist, erhalten wir hier das Längenverhältnis $0,25:200$. Nachdem wir beide Zahlen jeweils durch $0,25$ teilen (oder mit $4$ multiplizieren), um links wieder eine $1$ zu erhalten, folgt der Maßstab $1:800$.

• Gib die Eigenschaften des betrachteten Maßstabs wieder.

  Tipps

  Der Maßstab $a:b$ beschreibt eine Vergrößerung, wenn $a>b$ ist.

  Ein Mikroskop dient zur Vergrößerung von Objekten.

  Lösung

  Wenn du durch ein Mikroskop schaust, kannst du kleine Dinge vergrößern. Das Bild eines Mikroskops mit $1 350$-facher Vergrößerung hat folgende Eigenschaften:

  • Der Maßstab des Bildes ist $1 350$ zu $1$, also $1 350:1$.
  • $1\ \text{cm}$ im Bild entspricht $\frac 1{1 350}\ \text{cm}$ in der Wirklichkeit.
  • Ist das Bild größer als das Original – so wie hier – dann spricht man von einer Vergrößerung.
  • Eine Vergrößerung erkennst du daran, dass die größere Zahl im Maßstab links steht.

• Ermittle die Längen der Modelle.

  Tipps

  Nur weil das Original einer Sehenswürdigkeit im Vergleich größer ist, muss das zugehörige Modell nicht auch größer sein. Die Größe des Modells hängt nämlich vom jeweiligen Maßstab ab.

  Ist das Original $1$ Meter groß und das Modell im Maßstab $1:120$ angefertigt, so ist das Modell $\frac{1}{120}$ Meter groß.

  Lösung

  Eiffelturm

  Wir wissen, dass das Original eine Höhe von $324\ \text{m}$ hat und das Modell im Maßstab $1:1 800$ angefertigt ist. Damit hat das Modell folgende Höhe:

  • $324\ \text{m}:1 800=0,18\ \text{m}=18\ \text{cm}$

  Cheops-Pyramide

  Das Modell ist im Maßstab $1:400$ angefertigt. Das Original hat eine Höhe von $146\ \text{m}$ und damit beträgt die Höhe des Modells:

  • $146\ \text{m}:400=0,365\ \text{m}=36,5\ \text{cm}$

  Berliner Fernsehturm

  Die Originalhöhe beträgt $368\ \text{m}$. Mit einem Maßstab von $1:1 600$ beträgt die Höhe des Modells dann:

  • $368\ \text{m}:1600=0,23\ \text{m}=23\ \text{cm}$

  Galataturm

  Das Modell im Maßstab $1:100$ des Galataturms, der $67\ \text{m}$ hoch ist, hat eine Höhe von:

  • $67\ \text{m}:100=0,67\ \text{m}=67\ \text{cm}$

  Damit können wir die Modelle wie folgt absteigend der Größe nach sortieren:

  1. Eiffelturm
  2. Fernsehturm
  3. Cheops-Pyramide
  4. Galataturm