Volumen und Oberfläche von Quadern und Würfeln

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Würfel
• Aussehen und Eigenschaften
• Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Würfeln
• Beispiel: Oberfläche Würfel
• Beispiel: Volumen Würfel
• Quader
• Aussehen und Eigenschaften
• Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens
• Beispiel: Oberfläche und Volumen Quader
• Zusammengesetzte Körper

Würfel

Aussehen und Eigenschaften

Was ist ein Würfel? Ein Würfel ist ein geometrischer Körper. Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang, in diesem Bild sind die Kanten mit $a$ bezeichnet. Ein Würfel hat 12 Kanten, 8 Ecken und 6 gleichgroße Seitenflächen.

Die Zahl der Seitenflächen kannst du dir gut mit Spielwürfeln merken, weil sie dort von 1 bis 6 durchnummeriert sind.

Die 6 Seitenflächen sind jeweils Quadrate. Jedes dieser Quadrate hat den gleichen Flächeninhalt.

Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Würfeln

Jede der Seitenflächen eines Würfels mit der Seitenlänge $a$ ist ein Quadrat, also ein besonderes Rechteck mit gleichem Flächeninhalt, nämlich $a^2$.

Da der Würfel $6$ Seitenflächen hat, ist die Oberflächenformel für einen Würfel leicht zu merken:

$\quad~~~O=6\cdot a^2$.

Die Volumenformel eines Würfels lautet:

$\quad~~~V=a \cdot a \cdot a=a^3$.

Beispiel: Oberfläche Würfel

Paul möchte seiner Schwester Lilly einen selbstgebastelten Würfel aus Pappe schenken. Die Kantenlänge des Würfels ist $a=8~cm$. Wie viel Material benötigt Paul?

Hier ist nach der Oberfläche gefragt. Schau dir dazu das Netz eines Würfels an:

Paul benötigt also insgesamt so viel Pappe:

$\quad~~~\begin{array}{rcl}O&=& 6 \cdot a^{2} = 6\cdot (8~cm)^2\\&=& 6\cdot 64~cm^2\\&=&384~cm^2\end{array}$.

Er hat die Oberflächenformel verwendet.

Die Maßeinheit für Flächen ist zum Beispiel $cm^2$ (Quadratzentimeter), oder $m^2$ (Quadratmeter).

Beispiel: Volumen Würfel

Paul möchte seiner Schwester Lilly einen selbstgebastelten Würfel mit der Seitenlänge $a=8~cm$ schenken. Wenn Paul den Würfel aus Holz schnitzt, wie viel Holz benötigt er?

Dieses Mal ist nach dem Volumen gefragt. Du verwendest die Volumenformel:

$\quad~~~\begin{array}{rcl}V&=&(8~cm)^3\\&=&512~cm^3\end{array}$

Die Maßeinheit für ein Volumen ist zum Beispiel $cm^3$ (Kubikzentimeter), oder $m^3$ (Kubikmeter).

Quader

Aussehen und Eigenschaften

Auch der Quader ist ein Körper. Im Gegensatz zu einem Würfel sind die Kanten des Quaders nicht alle gleich lang.

Sicher kennst du einige Gegenstände, die die Form eines Quaders haben, zum Beispiel:

• ein Buch
• eine Milchtüte
• ein Schwamm

Ein Quader hat 12 Kanten, so wie auch der Würfel. Es sind jeweils die 4 zueinander parallelen Kanten gleich lang. In dem Bild sind sie mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet. Er hat wie der Würfel 8 Ecken und 6 Seitenflächen. Jedoch haben diese Flächen nicht alle den gleichen Flächeninhalt. Es sind aber immer mindestens die parallelen Seitenflächen gleich groß.

Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens

Die Seitenfläche des Quaders, auf die der Pfeil zeigt, hat den Flächeninhalt $b\cdot c$. Die dazu parallele Fläche hat den gleichen Flächeninhalt. Dann gibt es zwei Flächen mit dem Flächeninhalt $a\cdot b$ und zwei mit dem Flächeninhalt $a\cdot c$. So ergibt sich die Formel für die Oberfläche eines Quaders

$\quad~~~O=2(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)$

Die Volumenformel eines Quaders lautet

$\quad~~~V=a\cdot b\cdot c$.

Man verwendet dafür auch häufig den Merksatz „Länge mal Breite mal Höhe“.

Beispiel: Oberfläche und Volumen Quader

Die Firma „Lecker Milch“ möchte eine neue Milchtüte produzieren.

Der Künstler der Firma findet, dass eine Milchtüte in Form eines Quaders mit den Kantenlängen $a=12~cm$, $b=8~cm$ und $c=16~cm$ am schönsten aussieht.

Der Chef fragt sich, wie viel Material dafür gebraucht wird und wie viel Milch in die Tüte gefüllt werden kann, was man auch „Fassungsvermögen“ nennt.

Nichts leichter als das:

• Für das Material verwendet man die Oberflächenformel.

$\quad~~~\begin{array}{rcl}O&=&2((12~cm)\cdot (8~cm)+(12~cm)\cdot (16~cm)+(8~cm)\cdot (16~cm))\\&=&832~cm^2\end{array}$

• Für das Fassungsvermögen wird die Volumenformel verwendet:

$\quad~~~\begin{array}{rcl}V&=&(12~cm)\cdot (8~cm)\cdot(16~cm)\\&=&1536~cm^3\end{array}$.

Weißt du, wie viel Liter das sind?

$1000~cm^3\hat = 1 L$. In die Tüte passen also ungefähr $1,5~L$ Milch.

Zusammengesetzte Körper

Wie rechnet man das Volumen zusammengesetzter Körper aus? Du kannst natürlich auch aus Quadern und Würfeln und allen anderen Körpern weitere Körper zusammensetzen und deren Oberfläche und Volumen berechnen.

Hier siehst du einen Körper, der aus zwei Quadern, den grünen, und zwei Würfeln, den roten, zusammengesetzt ist. Um zum Beispiel das Volumen dieses zusammengesetzten Körpers zu berechnen, berechnest du

• das Doppelte des Volumens des grünen Quaders sowie
• das Doppelte des Volumens des roten Würfels und
• addierst die Ergebnisse.