Vierecke und Vielecke: Berechnungen, Sätze und Konstruktionen

Vierecke

Ein Viereck hat vier Ecken, vier Seiten und vier Innenwinkel. Die Innenwinkel werden oft auch einfach als Winkel bezeichnet. In der Abbildung siehst du ein allgemeines Viereck.

Es gibt viele verschiedene Vierecke. Eine Übersicht ist das Haus der Vierecke.

Für jedes beliebige Viereck gilt:

• Die Winkelsumme in Vierecken beträgt $360^\circ$.
• Der Umfang ist die Summe der vier Seiten $u=a+b+c+d$.

Schauen wir uns nun einige Vierecke mit besonderen Eigenschaften an.

Rechtecke

Bei einem Rechteck sind die einander gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel zueinander.

Alle Winkel sind rechte Winkel. Ein spezielles Rechteck ist das Quadrat. Bei diesem sind alle Seiten gleich lang.

Wenn du die Formel für den Umfang eines Vierecks auf das Rechteck anwendest, ergibt sich:

$u = a + b+ c + d = a + b +a + b = 2a + 2b = 2(a+b)$

Beim Quadrat erhältst du auf diese Weise für den Umfang $u=4a$.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks lässt sich als Produkt der beiden Seitenlängen $a$ und $b$ berechnen. Es gilt $A=a\cdot b$. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist deshalb $A=a^{2}$.

Parallelogramm

In einem Parallelogramm sind ebenfalls die einander gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel zueinander. Allerdings sind nicht alle Winkel gleich groß.

Wie du in dem Bild siehst, sind die einander gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Die nebeneinander liegenden Winkel ergänzen sich immer zu $180^\circ$.

Ebenso wie beim Rechteck beträgt der Umfang $u=2(a+b)$.

Der Flächeninhalt ist gegeben durch $A=a\cdot h$, wobei $h$ die zu $a$ gehörende Höhe des Parallelogramms ist.

Trapeze

In einem Trapez sind mindestens zwei Seiten parallel zueinander.

Den Flächeninhalt kannst du mit der Formel $A=\frac{a+c}2\cdot h$ berechnen. Dabei sind $a$ und $c$ die zueinander parallelen Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes, also der Abstand dieser Seiten zueinander.

Drachenvierecke

Ein Drachenviereck zeichnet sich dadurch aus, dass paarweise zwei einander anliegende Seiten gleich lang sind. Ein besonderes Drachenviereck ist die Raute, auch Rhombus genannt. In diesem sind alle Seiten gleich lang.

Der Umfang des Drachenvierecks beträgt $u=2(a+b)$ und der der Raute $u=4a$. Zur Berechnung des Flächeninhaltes benötigst du die beiden Diagonalen $e$ und $f$. Es gilt $A=\frac12\cdot e\cdot f$.

Fünfecke

Ein Fünfeck hat dem Namen entsprechend fünf Ecken. Dadurch ergeben sich fünf Seiten und fünf Innenwinkel.

Die Summe der fünf Innenwinkel beträgt $540^\circ$. Allgemein gilt für ein beliebiges $n$-Eck, dass die Summe der Innenwinkel $(n-2)\cdot 180^\circ$ beträgt.

Prüfe das doch einmal für Dreiecke und Vierecke:

• Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt $(3-2)\cdot 180^\circ=180^\circ$.✓
• Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt $(4-2)\cdot 180^\circ=2\cdot 180^\circ=360^\circ$. ✓

Für den Umfang eines Fünfecks addierst du die Seitenlängen:

$u=a+b+c+d+e$

Die Flächenberechnung ist bei einem Fünfeck nicht ganz so einfach herzuleiten wie bei den oben dargestellten Vierecken.

Hier siehst du als Beispiel ein regelmäßiges Fünfeck. In diesem sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß.

Das regelmäßige Fünfeck mit der Seitenlänge $a$ setzt sich zusammen aus fünf gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis $a$. Ein solches Dreieck kannst du in dem Bild erkennen. Du kannst dir für ein regelmäßiges Fünfeck die folgende Formel zur Flächenberechnung merken:

$A=\frac{\sqrt{25+10\sqrt 5}}{4}\cdot a^2$