Flächeninhalt und Umfang von Parallelogrammen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist ein Parallelogramm?
• Beispiele für Parallelogramme
• Der Umfang eines Parallelogramms
• Schwimmwettbewerb
• Die Fläche eines Parallelogramms
• Herleitung der Flächenformel
• Die Streichaktion
• Fehlende Größen
• Fehlende Größen und Umfang

Was ist ein Parallelogramm?

Parallelogramme begegnen uns in der Geometrie. Ein Parallelogramm ist eine ebene Figur mit vier Ecken. Es ist also ein Viereck mit vier Seiten und vier Winkeln.

Das Besondere in einem Parallelogramm sind die jeweils einander gegenüberliegenden Seiten. Diese sind nämlich parallel zueinander. Daher kommt auch der Name.

Hier ist ein Parallelogramm zu sehen mit den entsprechenden Bezeichnungen der Ecken, Seiten und Winkel.

Jedes Parallelogramm hat folgende Eigenschaften:

• Zwei einander gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
• Zwei diagonal gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
• Aus Punkt 2, und weil die Summe der vier Innenwinkel in jedem Viereck $360^\circ$ beträgt, folgt $\alpha+\beta=180^\circ$.
• Die Strecke $h$ bezeichnet die Höhe des Parallelogramms. Dies ist der Abstand zwischen zwei parallelen Seiten. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite $a$.

Beispiele für Parallelogramme

Bestimmt kennst du Vierecke, bei denen die gegenüberliegenden Seiten ebenfalls parallel verlaufen. Diese Vierecke sind also auch Parallelogramme.

• Beim Rechteck sind die einander gegenüberliegenden Seiten parallel, alle Winkel sind rechte Winkel.
• Das Quadrat ist ein Rechteck, in welchem alle Seiten gleich lang sind.
• Die Raute (oder auch der Rhombus) ist ein Parallelogramm, in welchem alle Seiten gleich lang sind.

Der Umfang eines Parallelogramms

Für den Umfang eines Parallelogramms addierst du die Längen aller vier Seiten. Da jeweils zwei Seiten gleich lang sind, können wir schreiben:

$U=a+b+a+b=2(a+b)$.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Schwimmwettbewerb

Herr Salander veranstaltet einen Schwimmwettbewerb. Der Kurs hat die Form eines Parallelogramms mit den Seitenlängen $a=200~m$ und $b=300~m$.

Wie lang ist die Schwimmstrecke insgesamt?

Hier musst du die Längen der vier Seiten addieren. Etwas kürzer ist es, die beiden Seiten zu addieren und dann diese Summe mit $2$ zu multiplizieren:

$200~m + 300~m + 200~m + 300~m= 2\cdot (200~m+300~m)=1000~m$.

Die Gesamtlänge des Schwimmkurses ist $1000$ Meter lang.

Die Fläche eines Parallelogramms

Schauen wir uns noch einmal das Parallelogramm mit den entsprechenden Bezeichnungen an.

Der Flächeninhalt $A$ eines Parallelogramms ist gegeben durch

$A=a\cdot h$.

Wir wollen einmal genauer verstehen, wie sich diese Formel ergibt.

Herleitung der Flächenformel

Um diese Formel für den Flächeninhalt herzuleiten, können wir bei dem Parallelogramm

• rechts ein Dreieck abschneiden und
• dieses links anfügen.
• So erhältst du ein gleich großes Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $h$.

Die Streichaktion

Familie Glasbachtal möchte in ihrem Wohnzimmer auf einer Wand ein farbiges Parallelogramm malen.

Die Grundseite soll $a=6~m$ betragen und die Höhe $h=2,5~m$. Die Geschwister Paul und Camilla haben gerade die Flächenberechnung von Parallelogrammen in der Schule geübt und wissen daher, dass sie die Größen $a$ und $h$ multiplizieren müssen:

$A=6~m\cdot2,5~m=15~m^2$.

Nun kann die Familie in den Baumarkt fahren und die passende Menge Farbe einkaufen.

Fehlende Größen

Häufig geht es in der Geometrie darum, fehlende Größen zu berechnen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist $A=200~cm^2$ und die Länge der Grundseite beträgt $a=25~cm$. Wie hoch ist das Parallelogramm?

Wir stellen die Flächeninhaltsformel $A=a\cdot h$ nach $h$ um und setzen dann die bekannten Größen in die Formel ein:

$h=\frac Aa=\frac{200~cm^2}{25~cm}=8~cm$.

Das Parallelogramm ist also $8~cm$ hoch.

Fehlende Größen und Umfang

Gegeben ist ein Parallelogramm mit der Höhe $h=4~m$, dem Winkel $\alpha=45^\circ$ und dem Flächeninhalt $A=40~m^2$. Wir wollen die fehlenden Größen sowie den Umfang berechnen. Diese nicht maßstabsgetreue Skizze eines Parallelogramms kann uns dabei helfen.

Welche Größen müssen wir berechnen? Neben dem Umfang sind dies die Seiten $a$ und $b$ sowie der Winkel $\beta$.

• Da die Summe der beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ gerade $180^\circ$ ergibt, ist $\beta=180^\circ-\alpha=180^\circ-45^\circ=135^\circ$.
• Durch Umstellen der Flächenformel gelangst du zu $a=\frac Ah=\frac{40~m^2}{4~m}=10~m$.
• Gegenüber von dem Winkel $\alpha=45^\circ$ liegt die Höhe. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $b$. Nun kannst du die Definition des Sinussatzes verwenden: $ \sin(45^\circ)=\frac{4~m}b$. Wir stellen um und erhalten $b=\frac{4~m}{\sin(45^\circ)}=4\cdot \sqrt2 ~m\approx5,7~m$.
• Zuletzt kannst du den Umfang berechnen: $U\approx 2\cdot(10~m+5,7~m)=31,4~m$.