Gleichungen aufstellen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Einleitung lineare Gleichungen
• Äquivalenzumformung
• Lineare Gleichungen rechnerisch lösen
• Termumformungen
• Grafische Lösung linearer Gleichungen

Einleitung lineare Gleichungen

In der Gleichung $x + 2 = 7$ tritt die Variable $x$ nur linear auf. Deshalb nennt man diese Gleichung eine lineare Gleichung. Die allgemeine Form der linearen Gleichung lautet: $ax+ b = 0$. Dabei sind $a$ und $b$ zwei beliebige (reelle) Zahlen.

Eine Zahl $x^\ast$ heißt Lösung einer linearen Gleichung, wenn durch das Einsetzen von $x^\ast$ für $x$ die Aussage der Gleichung wahr wird. Man sagt auch: $x^\ast$ erfüllt die Gleichung. Die Menge aller Lösungen nennt man die Lösungsmenge $\mathbb L$.

Äquivalenzumformung

Bei einfachen linearen Gleichungen wie $x = 3$ erkennst du die Lösung sofort, sie steht ja schon da. Kompliziertere Gleichungen musst du hingegen erst umformen und auf eine einfachere Form bringen, um die Lösung zu bestimmen. Diese Umformungen dürfen aber die Aussage und damit die Lösung der Gleichung nicht ändern. Man nennt sie deshalb Äquivalenzumformungen. Die zulässigen Äquivalenzumformungen sind:

1. Additions- und Subtraktionsregel: Addierst oder subtrahierst du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl, so ändert sich die Lösungsmenge nicht.
2. Multiplikations- und Divisionsregel: Multiplizierst du beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl bzw. dividierst sie durch dieselbe Zahl, so ändert sich die Lösungsmenge nicht. Aber Vorsicht: Das Multiplizieren mit $0$ ist nicht erlaubt und keine Äquivalenzumformung. (Und das Dividieren durch $0$ ist gar nicht erst definiert.)

Lineare Gleichungen rechnerisch lösen

Die Vorgehensweise beim Lösen von linearen Gleichungen soll anhand eines Beispiels gezeigt werden. Gegeben ist die lineare Gleichung $3 \cdot (x + 2) - 4 = x + 22$.

Beide Seiten vereinfachst du zunächst so weit wie möglich:

$\begin{array}{llll} 3 \cdot (x + 2) - 4 &=& x + 22 &\vert \text{Klammer auflösen} \\ 3x + 6- 4 &=& x + 22 &\vert \text{Zusammenfassen} \\ 3x + 2 &=& x + 22 & \end{array}$

Jetzt addierst bzw. subtrahierst du die passenden Terme und Zahlen auf beiden Seiten, sodass anschließend auf der linken Seite nur noch ein Term mit $x$ und auf der rechten Seite nur noch eine Zahl stehen:

$\begin{array}{llll} 3x + 2 &=& x + 22 &\vert -x\\ 2x + 2 &=& 22 &\vert -2 \\ 2x &=& 20 & \end{array}$

Anschließend dividierst du die Gleichung durch die Zahl, die vor dem $x$ steht. Dadurch entsteht eine Gleichung der Form $x =$ Zahl:

$\begin{array}{llll} 2x &=& 20 &\vert :2 \\ x &=& 10 & \end{array} $

Die Lösung lautet also $x = 10$, die Lösungsmenge ist $\mathbb L = \{10 \}$.

Termumformungen

Manchmal "verstecken" sich lineare Gleichungen und zeigen sich erst nach bestimmten Termumformungen. So ist auch die Gleichung $(x + 2)\cdot(x + 5) = (x + 7) \cdot (x+1)$ eine lineare Gleichung, da nach dem Ausmultiplizieren auf beiden Seiten der quadratische Term $x^2$ subtrahiert werden kann. Die Gleichung $\frac 1 x = 3 x$ ist hingegen keine lineare Gleichung, da du sie mit $x$ multiplizieren musst, um den Bruch aufzulösen. Dadurch entsteht auf der rechten Seite ein quadratischer Term.

Ein weiteres Beispiel:

$\begin{array}{llll} (x + 2)^2 - (x - 4)^2 &=& 24 &\vert \text{Ausmultiplizieren}\\ x^2 + 4x + 4 - x^2 + 8x - 16 &=& 24 &\vert \text{Zusammenfassen}\\ 12x - 12 &=& 24 &\vert + 12\\ 12x &=& 36 &\vert : 12\\ x &=& 3 & \end{array}$

Die Lösung lautet $x = 3$, die Lösungsmenge ist $\mathbb L = \{3\}$.

Grafische Lösung linearer Gleichungen

Lineare Gleichungen besitzen eine naheliegende grafische Interpretation.

Betrachte dazu das Beispiel $3x - 9 = 0$. Die linke Seite kannst du als Funktionsterm der linearen Funktion $y = f(x) = 3x - 9$ auffassen. Das Schaubild dieser Funktion ist eine Gerade.

Der Schnittpunkt der Geraden mit der $x$-Achse (genauer: die Abzisse des Schnittpunkts) liefert die Lösung der Gleichung, weil ja für den Schnittpunkt gilt:$f(x) = 0$.