Lineare Gleichungen in allgemeiner Form – ax + by + c = 0

Lineare Gleichungen in allgemeiner Form – ax + by + c = 0 Übung

• Gib die gesuchte lineare Gleichung in allgemeiner Form an.

  Tipps

  Die allgemeine Form einer linearen Gleichung lautet:

  $Ax+By+C=0$,

  außer $A=B=0$.

  Die Einnahmen durch den Limonadenverkauf kannst du wie folgt berechnen:

  Preis für einen Becher Limonade $\mathbf{\cdot}$ Anzahl verkaufter Limonaden.

  Die Einnahmen durch den Keksverkauf kannst du wie folgt berechnen:

  Preis für einen Keks $\mathbf{\cdot}$ Anzahl verkaufter Kekse.

  Der Tagesumsatz setzt sich wie folgt zusammen:

  Einnahmen durch Limoverkauf $\mathbf{+}$ Einnahmen durch Keksverkauf.

  Lösung

  Folgende Angaben sind bekannt:

  • Preis für einen Becher Limonade: $2\ €$
  • Preis für einen Keks: $1,50\ €$
  • Tagesumsatz: $180\ €$

  Außerdem kennen wir die allgemeine Form einer linearen Gleichung:

  • $Ax+By+C=0$ außer $A=B=0$.

  Zudem sollen wir Folgendes annehmen:

  • Variable $x$: Anzahl verkaufter Limos
  • Variable $y$: Anzahl verkaufter Kekse

  Die Einnahmen durch den Limo- und Keksverkauf sowie der Tagesumsatz lassen sich wie folgt berechnen:

  • Einnahmen durch Limoverkauf $=$ Preis für einen Becher Limo $\mathbf{\cdot}$ Anzahl verkaufter Limos
  • Einnahmen durch Keksverkauf $=$ Preis für einen Keks $\mathbf{\cdot}$ Anzahl verkaufter Kekse
  • Tagesumsatz $=$ Einnahmen durch Limoverkauf $\mathbf{+}$ Einnahmen durch Keksverkauf

  Drücken wir dies nun mathematisch aus:

  • Einnahmen durch Limoverkauf $= 2\cdot x$
  • Einnahmen durch Keksverkauf $= 1,5\cdot y$
  • Tagesumsatz $=2\cdot x+1,5\cdot y$

  Der Tagesumsatz ist uns bekannt und beträgt $180\ €$. Somit erhalten wir:

  $2\cdot x+1,5\cdot y=180$

  In der allgemeinen Form für lineare Gleichungen ist auf der rechten Seite der Gleichung eine $0$, also formen wir unsere Gleichung noch um:

  $ \begin{array}{lllll} 2\cdot x+1,5\cdot y &=& 180 && \vert -180 \\ 2\cdot x+1,5\cdot y-180 &=& 0 && \end{array} $

• Berechne die gesuchten Größen.

  Tipps

  Bei der Annahme, dass Carla keine Kekse, sondern nur Limos verkauft, ist der $x$-Achsenabschnitt gesucht.

  Der $x$-Achsenabschnitt ist die $x$-Koordinate des $x$-Achsenschnittpunktes. Die $y$-Koordinate eines $x$-Achsenschnittpunktes ist immer gleich $0$.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  Gegeben ist die lineare Gleichung $x+y-2=0$ in allgemeiner Form. Gesucht ist der $x$-Achsenschnittpunkt, also setzen wir $y=0$ ein und lösen nach $x$ auf.

  $ \begin{array}{llll} x+0-2 &=& 0 && \vert +2 \\ x &=& 2 && \end{array} $

  Lösung

  Gegeben ist die lineare Gleichung:

  $2x+1,5y-180 = 0$.

  in allgemeiner Form. Sie stellt alle möglichen Kombinationen aus Limo- und Keksverkauf für einen Tagesumsatz von $180\ €$ dar. Nun können wir verschiedene Fälle betrachten.

  Alle Fälle, die wir uns im Folgenden ansehen werden, sind rechts in dem dargestellten Koordinatensystem abgebildet. Wir möchten diese vier Fälle nun rechnerisch überprüfen.

  Fall 1: Carla verkauft Kekse, aber keine Limos. Wie viele Kekse muss sie dann verkaufen?

  Wir nehmen also an, dass die Anzahl verkaufter Limos gleich null ist, also $x=0$. Das bedeutet, dass der $y$-Achsenabschnitt gesucht ist. Nun setzen wir in unserer linearen Gleichung für die Variable $x$ null ein und lösen nach der Variablen $y$ auf.

  $ \begin{array}{llll} 2\cdot 0+1,5y-180 &=& 0 && \vert +180 \\ 1,5y &=& 180 && \vert :1,5 \\ y &=& 120 && \end{array} $

  Fall 2: Carla verkauft Limos, aber keine Kekse. Wie viele Limos muss sie dann verkaufen?

  Unter der Annahme, dass die Anzahl verkaufter Kekse gleich null ist, also $y=0$ gilt, folgt für den $x$-Achsenabschnitt folgende Rechnung:

  $ \begin{array}{llll} 2x+1,5\cdot 0-180 &=& 0 && \vert +180 \\ 2x &=& 180 && \vert :2 \\ x &=& 90 && \end{array} $

  Fall 3: Carla verkauft $80$ Kekse und fragt sich, wie viele Limos sie dann noch verkaufen muss.

  Für $80$ verkaufte Kekse, also $y=80$, erhalten wir die folgende Anzahl an Limos:

  $ \begin{array}{llll} 2x+1,5\cdot 80-180 &=& 0 && \\ 2x+120-180 &=& 0 && \\ 2x-60 &=& 0 && \vert +60 \\ 2x&=& 60 && \vert :2 \\ x &=& 30 && \end{array} $

  Fall 4: Carla verkauft $60$ Limos und fragt sich, wie viele Kekse sie dann noch verkaufen muss.

  Wir nehmen an, dass die Anzahl verkaufter Limos gleich $60$ ist. Mit $x=60$ erhalten wir dann folgende Rechnung:

  $ \begin{array}{llll} 2\cdot 60+1,5y-180 &=& 0 && \\ 120+1,5y-180 &=& 0 && \\ 1,5y-60 &=& 0 && \vert +60 \\ 1,5y &=& 60 && \vert :1,5 \\ y &=& 40 && \end{array} $

• Leite für die gegebenen linearen Gleichungen die allgemeine Form her.

  Tipps

  Mithilfe einer Äquivalenzumformung kannst du die gegebenen linearen Gleichungen in die allgemeine Form $Ax+By+C=0$ umformen.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $ \begin{array}{llll} 4y &=& 7x+10 && \vert -7x \\ -7x+4y &=& 10 && \vert -10 \\ -7x+4y-10 &=& 0 && \end{array} $

  Lösung

  Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird im Folgenden am Beispiel $2x+y=5x-3y-6$ verdeutlicht.

  Durch eine einfache Äquivalenzumformung bringen wir diese lineare Gleichung in die allgemeine Form:

  $ \begin{array}{llll} 2x+y &=& 5x-3y-6 && \vert -5x \\ -3x+y &=& -3y-6 && \vert +3y\\ -3x+4y&=& -6 && \vert +6 \\ -3x+4y+6 &=& 0 && \end{array} $

  Auf diese Weise kannst du jede der gegebenen linearen Gleichungen auf die allgemeine Form bringen.

  Wir hätten die Gleichung natürlich auch wie folgt umformen können:

  $ \begin{array}{llll} 2x+y &=& 5x-3y-6 && \vert -2x \\ y &=& 3x-3y-6 && \vert -y\\ 0 &=& 3x-4y-6 && \end{array} $

  Auch diese Gleichung würde die gegebene quadratische Gleichung in allgemeiner Form angeben. Allerdings gibt die Aufgabe bereits vor, dass in der gesuchten Gleichung in allgemeiner Form der Term $+ 6$ vorkommt. Somit trifft hier die obere Gleichung zu.

• Ermittle die lineare Gleichung der abgebildeten Geraden in allgemeiner Form.

  Tipps

  Du kannst den Wert $0$ für $x$ einsetzen und so den $y$-Achsenabschnitt ermitteln.

  Dort, wo eine Gerade die $y$-Achse schneidet, kannst du den $y$-Achsenabschnitt ablesen.

  Die allgemeine Form einer linearen Gleichung lautet:

  $Ax+By+C=0$.

  Dabei dürfen die Koeffizienten $A$ und $B$ nicht gleichzeitig null sein. Ist der Koeffizient $C$ gleich null, so handelt es sich um Ursprungsgeraden. Dabei gibt es auch folgende Spezialfälle:

  • Für $A=0$ und $B\neq 0$ ist die Gerade eine Parallele zur $x$-Achse.
  • Für $B=0$ und $A\neq 0$ ist die Gerade eine Parallele zur $y$-Achse.

  Lösung

  Betrachten wir nun gemeinsam die gegebenen Geradengleichungen. Wenn wir die Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen, erkennen wir sofort, um welchen Graphen es sich handelt. Allerdings muss der Graph einer linearen Gleichung nicht immer beide Achsen schneiden. In so einem Fall liegt eine zur $x$- oder $y$-Achse parallele Gerade vor.

  Wir möchten hier zunächst die allgemeine Form einer linearen Gleichung untersuchen. Diese lautet $Ax+By+C=0$, wobei Folgendes gilt:

  • $A$ und $B$ dürfen nicht gleichzeitig gleich null sein.
  • Ist $A$ gleich null, während $B$ und $C$ ungleich null sind, so liegt eine zu der $x$-Achse parallele Gerade vor.
  • Ist $B$ gleich null, während $A$ und $C$ ungleich null sind, so liegt eine zu der $y$-Achse parallele Gerade vor.
  • Ist $C$ gleich null, während $A$ und $B$ ungleich null sind, so liegt eine Ursprungsgerade vor.

  Beispiel 1: $~ -x+2y=0$

  Da der Koeffizient $C$ gleich null ist, handelt es sich um eine Gerade, die durch den Ursprung $P(0\ \vert\ 0)$ verläuft. Da wir jetzt dadurch aber nur einen Punkt der Geraden kennen, berechnen wir uns noch einen weiteren Punkt auf der Geraden. Wir setzen beispielsweise für $x=2$ ein und erhalten $y=1$. Diese Punkte liegen auf der gelben Geraden.

  Beispiel 2: $~ 2y-4=0$

  Hier ist der Koeffizient $A=0$. Wir suchen also eine zur $x$-Achse parallele Gerade. Das bedeutet, dass wir einen konstanten, also einen gleich bleibenden Wert für die $y$-Koordinate haben, welchen wir durch Umstellen der Geradengleichung erhalten:

  $ \begin{array}{llll} 2y-4 &=& 0 && \vert +4 \\ 2y &=& 4 && \vert :2 \\ y &=& 2 && \end{array} $

  Es handelt sich hierbei um die orange Gerade.

  Beispiel 3: $~ 4x+2y-8=0$

  Nun sind alle Koeffizienten ungleich null. Also berechnen wir zwei Punkte auf der Geraden. Wir wählen hier die Achsenschnittpunkte. Zunächst bestimmen wir den $x$-Achsenschnittpunkt. Dafür ersetzen wir in der Gleichung die Variable $y$ mit der null.

  $ \begin{array}{llll} 4x+2\cdot 0-8 &=& 0 && \vert +8 \\ 4x &=& 8 && \vert :4 \\ x &=& 2 && \end{array} $

  Der $x$-Achsenschnittpunkt $S_x(2\ \vert\ 0)$ ist nun bekannt. Jetzt bestimmen wir den $y$-Achsenschnittpunkt und ersetzen hierfür die Variable $x$ mit null.

  $ \begin{array}{llll} 4\cdot 0+2y-8 &=& 0 && \vert +8 \\ 2y &=& 8 && \vert :2 \\ y &=& 4 && \end{array} $

  Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $S_y(0\ \vert\ 4)$. Diese Punkte liegen auf der violetten Gerade.

  Beispiel 4: $~ x+1=0$

  Da der Koeffizient $B$ gleich null ist, handelt es sich hierbei um eine zu der $y$-Achse parallele Gerade. Diese Gerade weist durchgehend denselben $x$-Wert auf, nämlich:

  $ \begin{array}{llll} x+1 &=& 0 && \vert -1 \\ x &=& -1 && \end{array} $

  Es handelt sich hierbei um die grüne Gerade.

  Die Graphen für die beiden Geradengleichungen $2y+4=0$ und $x-1=0$ sind hier nicht dargestellt. Trotzdem möchten wir einen Blick auf diese Gleichungen werfen:

  • $2y+4=0$.

  Es handelt sich hierbei um eine zur $x$-Achse parallele Gerade, wobei die $y$-Koordinate den konstanten Wert $-2$ hat.

  • $x-1=0$

  Es handelt sich hierbei um eine zur $y$-Achse parallele Gerade, wobei die $x$-Koordinate den konstanten Wert $1$ hat.

• Gib die allgemeine Form und deren Bedingung für eine lineare Gleichung an.

  Tipps

  Im Folgenden siehst du mögliche lineare Gleichungen in der allgemeinen Form.

  • $2x+3y-5=0$
  • $2x-5=0$
  • $3y-5=0$
  • $2x+3y=0$
  • $3y=0$
  • $2x=0$

  Die Gleichung muss mindestens eine der beiden Variablen enthalten.

  Lösung

  Eine lineare Gleichung kann in verschiedenen Formen angegeben werden. Dazu zählen

  • die Normalform $y=mx+b$,
  • die Punktsteigungsform $y=m(x-x_0)+y_0$ sowie
  • die allgemeine Form $Ax+By+C=0$.

  Die Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ beschreiben feste Werte. Dabei gilt, dass die Koeffizienten $A$ und $B$ nicht gleichzeitig $0$ sein dürfen.

• Bestimme die gesuchte lineare Gleichung in allgemeiner Form.

  Tipps

  Die allgemeine Form einer linearen Gleichung lautet:

  $Ax+By+C=0$.

  Dabei dürfen die Koeffizienten $A$ und $B$ nicht gleichzeitig gleich null sein.

  Fixkosten werden in der gesuchten linearen Gleichung als Konstante berücksichtigt.

  Die Einnahmen durch den Kartenverkauf kannst du wie folgt berechnen:

  Anzahl verkaufter Karten $\mathbf{\cdot}$ Preis pro Karte.

  Lösung

  Folgende Angaben sind uns bekannt:

  • Einnahmen durch $20\ €$- und $40\ €$-Karten
  • $4\ €$ Organisationskosten pro Karte
  • $2500\ €$ Fixkosten
  • $5000\ €$ Gewinn

  Außerdem nehmen wir Folgendes an:

  • $x$: Anzahl verkaufter $20\ €$-Karten
  • $y$: Anzahl verkaufter $40\ €$-Karten

  Nun stellen wir eine lineare Gleichung in allgemeiner Form auf, welche jede Kombination von verkauften $20\ €$- und $40\ €$-Karten für einen Gewinn von $5000\ €$ beschreibt.

  Nun stellen wir erst einmal den Term für die Einnahmen durch den Kartenverkauf auf:

  $20x+40y$.

  Davon ziehen wir die $4\ €$ Kosten pro verkaufte Karte ab:

  $20x+40y-4(x+y)$.

  Außerdem betrachten wir die Fixkosten:

  $20x+40y-4(x+y)-2500$.

  Und dieser Term entspricht einem Gewinn von $5000\ €$, also:

  $20x+40y-4(x+y)-2500=5000$.

  Da auf der rechten Seite der linearen Gleichung in der allgemeinen Form eine Null steht, formen wir diese noch um:

  $20x+40y-4(x+y)-7500=0$.

  Zuletzt werden noch alle gleichartigen Terme zusammengefasst, sodass eine lineare Gleichung in allgemeiner Form resultiert:

  $16x+36y-7500=0$.