Lineare Gleichungen grafisch lösen

Lineare Gleichungen grafisch lösen Übung

• Stelle die lineare Gleichung auf.

  Tipps

  Eigentlich ist es egal, in welcher Reihenfolge man Steigung und $y$-Achsenabschnitt einsetzt. In dieser Aufgabe setzt Dr. Evil aber zuerst die Steigung ein und dann den $y$-Achsenabschnitt.

  Dr. Evil möchte von der Normalform aller linearen Gleichungen zu einer speziellen linearen Gleichung kommen. Dazu trägt er nach und nach die passenden Zahlenwerte in die Normalform ein.

  Also schreibt Dr. Evil als Erstes die Normalform einer linearen Gleichung auf.

  Lösung

  Dr. Evil will von der Normalform aller linearen Gleichungen zu einer speziellen linearen Gleichung kommen. Also schreibt er zunächst die Normalform auf:

  $y = m\cdot x + b$

  Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt. Dr. Evil setzt zuerst die Steigung ein und dann den $y$-Achsenabschnitt. Eigentlich ist die Reihenfolge jedoch egal.

  Hier entspricht $m$ der Downloadgeschwindigkeit, denn diese gibt an, um wie viel sich das gespeicherte Datenvolumen auf „Speedy“ mit jeder Sekunde ändert. Da die $x$-Achse die verstrichenen Sekunden zählt, gibt die Downloadgeschwindigkeit genau die Veränderung mit jedem Schritt nach rechts auf der $x$-Achse an. Mit anderen Worten: Die Downloadgeschwindigkeit $1,25~\frac{\text{PB}}{\text s}$ gibt die Steigung $m$ der linearen Gleichung an.

  Eingesetzt in die Normalform ergibt dies:

  $y = 1,25 \cdot x + b$

  Der $y$-Achsenabschnitt $b$ entspricht hier dem bereits anfangs abgespeicherten Datenvolumen. Das ist das Programm, das am Anfang auf der Drohne installiert ist, also zum Zeitpunkt $x=0$. Dieser Zeitpunkt ist aber genau der Wert auf der $y$-Achse. Es handelt sich also um den $y$-Achsenabschnitt.

  Damit lautet die lineare Gleichung:

  $y = 1,25 \cdot x + 15$

  Der dazugehörige Graph ist im Koordinatensystem abgebildet.

• Bestimme die Lösungen der linearen Gleichungen.

  Tipps

  Die Normalform für eine lineare Gleichung lautet:

  $y = m \cdot x + b$

  Dabei gibt $m$ die Steigung des Graphen an und $b$ steht für den $y$-Achsenabschnitt.

  Die Downloadgeschwindigkeit gibt an, wie viele Petabytes pro Sekunde heruntergeladen werden können. Überlege dir, welcher Größe das in der allgemeinen Form einer linearen Gleichung entspricht.

  Das Hackerprogramm ist von vornherein, also auch schon zum Zeitpunkt $x=0$, auf den Drohnen gespeichert. Überlege dir, welcher Größe das in der allgemeinen Form einer linearen Gleichung entspricht.

  Lösung

  Die Normalform

  Wir gehen von der Normalform einer linearen Gleichung aus:

  $y=m \cdot x+b$

  Die Bedeutung der Koordinaten

  Hier bezeichnet die $x$-Koordinate die Zeit, in der die Drohne die Daten herunterlädt. Die $y$-Koordinate bezeichnet die Datenmenge, die auf der Drohne zu einem bestimmten Zeitpunkt gespeichert ist.

  Die Steigung

  Die Downloadgeschwindigkeit gibt an, wie viele Daten pro Sekunde heruntergeladen werden. Das entspricht der Steigung $m$, die ja beschreibt, um welchen Betrag sich die lineare Funktion bei einem Schritt in $x$-Richtung verändert.

  Der $y$-Achsenabschnitt

  Der $y$-Achsenabschnitt entspricht der Datenmenge, die zum Zeitpunkt $x=0$ schon auf den Drohnen gespeichert ist. Zu diesem Zeitpunkt ist aber nur das Hackerprogramm dort gespeichert.

  Die Drohne „Speedy“

  Die Drohne „Speedy“ hat eine Downloadgeschwindigkeit von $1,25~\frac{\text{PB}}{\text s}$ und auf ihr ist bereits das Hackerprogramm mit einer Größe von $15~\text{PB}$ gespeichert. Es werden $60$ Sekunden lang Daten heruntergeladen. Also ergibt sich für die lineare Gleichung:

  $y = 1,25 \cdot 60 + 15 = 90$

  Nach $60$ Sekunden Download sind auf der Drohne „Speedy“ demnach genau $90~\text{PB}$ Daten. Der dazugehörige Graph ist im Koordinatensystem pink eingezeichnet.

  Die Drohne „Summi“

  Die Drohne „Summi“ hat eine Downloadgeschwindigkeit von $1,75~\frac{\text{PB}}{\text s}$ und auf ihr ist bereits das Hackerprogramm mit einer Größe von $15~\text{PB}$ gespeichert. Es werden $60$ Sekunden lang Daten heruntergeladen. Also ergibt sich für die lineare Gleichung:

  $y = 1,75 \cdot 60 + 15 = 120$

  Nach $60$ Sekunden Download sind auf der Drohne „Summi“ demzufolge genau $120~\text{PB}$ Daten. Der dazugehörige Graph ist im Koordinatensystem türkis eingezeichnet. Die Datei, die Dr. Evil von General Gutmann stehlen will, ist $90~\text{PB}$ groß. Dazu kommen die $15~\text{PB}$ des Hackerprogramms auf jeder Drohne. Nach $60$ Sekunden müssen also insgesamt $105~\text{PB}$ auf der Drohne gespeichert sein. Deshalb entscheidet sich Dr. Evil für die Drohne „Summi“.

• Bestimme, welcher Graph zu der Drohne „Flitzi“ gehört.

  Tipps

  Fange beim Zeichnen mit dem $y$-Achsenabschnitt an.

  Der $y$-Abschnitt gibt an, wie viele Petabytes auf der Drohne „Flitzi“ von Anfang an belegt sind. Dies entspricht der Größe des vorinstallierten Hackerprogramms.

  Es ist hilfreich, die als Dezimalzahl gegebene Steigung in einen Bruch umzuwandeln. Dann steht der Zähler für die Zahl der Einheiten, die man nach oben geht, und der Nenner für die Zahl der Einheiten, die man nach rechts geht.

  Dr. Evil stellt folgende lineare Gleichung auf:

  $y = 1,5x + 20$

  Welcher Graph gehört zu dieser Gleichung?

  Lösung

  Um die lineare Gleichung zu der Drohne „Flitzi“ aufzustellen, hat Dr. Evil zuerst die Gleichung in der Normalform aufgeschrieben:

  $y = m \cdot x + b$

  Er beginnt mit dem $y$-Achsenabschnitt: Der $y$-Abschnitt gibt an, wie viele Petabytes auf der Drohne „Flitzi“ von Anfang an belegt sind. Dies entspricht der Größe des vorinstallierten Hackerprogramms, also:

  $b = 20 ~\text{PB}$

  Als Nächstes sieht sich Dr. Evil die Steigung $m$ an: Die Steigung zeigt, welche Datenmenge die Drohne in einer Sekunde herunterlädt. Dieser Wert entspricht folglich der Downloadgeschwindigkeit. Die Downloadgeschwindigkeit beträgt $1,5~\frac{\text{PB}}{\text s}$. Dr. Evil notiert sich:

  $m = 1,5$

  So kann er diese lineare Gleichung aufstellen:

  $y = 1,5 x + 20$

  Nun prüft er, welche der Graphen den passenden $y$-Achsenabschnitt und die angegebene Steigung haben. Die Steigung $m = 1,5$ wandelt Dr. Evil in den Bruch $m = \frac{3}{2}$ um. Er überprüft, bei welchen Graphen die Gerade für $2$ Einheiten nach rechts (Nenner) genau $3$ Einheiten nach oben geht (Zähler). Der hier abgebildete Graph gehört zu der linearen Gleichung.

  Und siehe da: Nach $60$ Sekunden hat „Flitzi“ genau $110~\text{PB}$ heruntergeladen. Das entspricht dem Hackerprogramm $\left(20~\text{PB}\right)$ und den Daten von General Gutmann $\left(90~\text{PB}\right)$. Dr. Evils Plan hat also doch noch eine Chance.

• Bestimme, wie weit Familie Meier gefahren ist.

  Tipps

  „Insgesamt gefahren“ bedeutet von zu Hause aus, also Anfahrtsweg zur Autobahn $+$ Strecke auf der Autobahn selbst.

  Eine Einheit, die erzeugt wird, indem zwei andere Einheiten ins Verhältnis gesetzt werden, beschreibt eine Veränderung.

  Ein Beispiel für eine solche Einheit ist $5~\frac{\text m}{\text s}$.

  Der zugehörige Wert $5$ gibt an, wie viele Meter in einer Sekunde zurückgelegt werden.

  Hier siehst du den Graphen, der zu der linearen Gleichung gehört.

  Lösung

  Die Normalform

  Zunächst stellen wir die Normalform der linearen Funktion auf. Dabei entspricht die Geschwindigkeit der Steigung. Denn die Geschwindigkeit sagt aus, um wie viel sich die zurückgelegte Wegstrecke in einer Zeiteinheit ändert. Hier sind das $90~\text{km}$ in einer Stunde.

  Der $y$-Achsenabschnitt sind die $20~\text{km}$, die Familie Meier bis zur Autobahn schon zurückgelegt hat. Dieser Wert wird nämlich immer unverändert zu den gefahrenen Kilometern hinzuaddiert, egal, wie weit Familie Meier auf der Autobahn gefahren ist.

  Die lineare Gleichung lautet daher:

  $y= 90 \cdot x + 20$

  Wie weit ist Familie Meier gefahren?

  Du kannst nun den Graphen der Funktion zeichnen. Den Verlauf siehst du auf dem Bild. Jetzt kannst du die drei gesuchten Punkte einfach am Graphen ablesen. Dazu suchst du den entsprechenden Zeitpunkt auf der $x$-Achse und fährst senkrecht nach oben, bis du auf den Graphen triffst. Danach gehst du waagerecht nach links, bis du auf die $y$-Achse triffst. Dieser $y$-Wert sagt dir, wie viele Kilometer Familie Meier zu diesem Zeitpunkt bereits zurückgelegt hat.

  Nach einer halben Stunde auf der Autobahn sind sie insgesamt $65~\text{km}$ weit gefahren.

  Nach einer ganzen Stunde auf der Autobahn sind sie insgesamt $110~\text{km}$ weit gefahren.

  Nach zwei Stunden auf der Autobahn sind sie insgesamt $200~\text{km}$ weit gefahren.

• Gib an, welche Aussagen über lineare Gleichungen wahr sind.

  Tipps

  In der Normalform einer linearen Gleichung wird die Steigung mit der $x$-Koordinate multipliziert. Der $y$-Achsenabschnitt wird addiert.

  Die Steigung und der $y$-Achsenabschnitt können alle möglichen Werte annehmen. Es gibt also viele unterschiedliche lineare Gleichungen. Was bedeutet das für die Graphen der linearen Gleichungen?

  Lösung

  Lineare Gleichungen

  Die Normalform einer linearen Gleichung lautet:

  $y= m\cdot x+b$

  Linear bedeutet dabei, dass das $x$ nur mit einem Vorfaktor (nämlich der Steigung $m$) und einer Konstante (dem $y$-Achsenabschnitt $b$) versehen ist. Für den Graphen der Funktion bedeutet das, dass wir eine gerade Linie erhalten, die keine Kurven oder Knicke macht.

  Die Steigung $m$ beschreibt, um welchen Betrag sich der $y$-Wert der Funktion verändert, wenn man den $x$-Wert um $1$ erhöht. Das Vorzeichen besagt dabei, ob der Graph der Funktion steigt (bei positivem Vorzeichen) oder fällt (bei negativem Vorzeichen).

  Der $y$-Achsenabschnitt gibt an, an welcher Stelle der Graph der linearen Gleichung die $y$-Achse schneidet. Ist $b=0$, so läuft der Graph durch den Koordinatenursprung. Jedes $b\neq 0$ sorgt dann für eine Verschiebung des Graphen nach oben oder unten.

  Die einzelnen Aussagen

  • Alle linearen Gleichungen haben im Koordinatensystem den gleichen Graphen.

  Das ist unwahr. Denn wie wir oben gesehen haben, verändert sich die Steigung des Graphen mit der Veränderung von $m$ und auch die Veränderung von $b$ verschiebt den Graphen nach oben oder unten. Damit erhalten wir unzählige unterschiedliche Graphen.

  • Die Normalform einer linearen Gleichung lautet $y= m \cdot x+b$.

  Das ist wahr und entspricht der Definition der Normalform.

  • Dabei steht $m$ für den $y$-Achsenabschnitt und $b$ für die Steigung.

  Das ist unwahr. Es ist genau andersherum.

  • Der $y$-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt des Graphen der linearen Gleichung mit der $y$-Achse.

  Das ist wahr.

• Ermittle, welche Punkte auf den Graphen der gegebenen linearen Gleichungen liegen.

  Tipps

  Fange beim Zeichnen mit dem $y$-Achsenabschnitt an: Der gegebene $y$-Achsenabschnitt ist die Stelle, an der der Graph die $y$-Achse schneidet. Das ist der erste Punkt bei $x=0$.

  Wenn die Steigung $m$ einen negativen Wert annimmt, dann fällt die Gerade. Das bedeutet, dass die $y$-Werte immer kleiner werden, je größer der $x$-Wert wird.

  Punkte werden stets in der Form $(x \vert y)$ gegeben. Links steht also der $x$-Wert und rechts der $y$-Wert.

  Lösung

  Das Bild zeigt die Graphen der vier linearen Gleichungen. Die Punkte sind eingetragen und können einfach abgelesen und den Gleichungen zugeordnet werden. Es ergibt sich:

  Auf dem Graphen zu der linearen Gleichung $y= -x +4$ liegen diese Punkte:

  $({1}\vert{3})~~({2}\vert{2})~~({3}\vert{1})$

  Auf dem Graphen zu der linearen Gleichung $y= x +4$ liegen diese Punkte:

  $({-1}\vert{3})~~({-2}\vert{2})~~({-3}\vert{1})$

  Auf dem Graphen zu der linearen Gleichung $y= x -4$ liegen diese Punkte:

  $({1}\vert{-3})~~({2}\vert{-2})~~({3}\vert{-1})$

  Auf dem Graphen zu der linearen Gleichung $y= -x -4$ liegen diese Punkte:

  $({-1}\vert{-3})~~({-2}\vert{-2})~~({-3}\vert{-1})$