Ähnlichkeitssätze für Dreiecke – Übung (2)

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke – Übung (2) Übung

• Ergänze den Ähnlichkeitssatz SSS.

  Tipps

  „SSS“ steht für „Seite Seite Seite“.

  Es existiert auch ein solcher Kongruenzsatz. Dieser besagt, dass zwei Dreiecke kongruent (deckungsgleich) sind, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.

  Deckungsgleiche Dreiecke sind auch ähnlich, aber ähnliche Dreiecke müssen nicht deckungsgleich sein.

  Ähnlich kann auch beschrieben werden als „maßstabgetreu“.

  Durch zentrische Streckung entstehen ähnliche Dreiecke.

  Lösung

  Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt:

  Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

  Die Seitenlängen jedes der beiden Dreiecke können geordnet werden. Dann muss das Verhältnis der längsten Seite des einen Dreiecks zu der längsten Seite des anderen Dreiecks genau so groß sein, wie das Verhältnis der zweit längsten Seite des einen Dreiecks zu der des anderen und auch gleich dem Verhältnis der kürzesten Seite des einen Dreiecks zu der des anderen.

  In dem Bild kannst du zwei ähnliche Dreiecke erkennen. Das Seitenverhältnis aller entsprechender Seite ist $2:1$.

• Bestimme die Seitenverhältnisse, um zu prüfen, ob die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

  Tipps

  Sortiere zunächst die Seitenlängen des ersten Dreiecks und dann die des zweiten.

  Bilde die jeweiligen Quotienten. Wenn diese übereinstimmen, so sind die beiden Dreiecke ähnlich zueinander.

  Lösung

  Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

  Zunächst können die Seitenlänge des jeweiligen Dreiecks der Größe nach geordnet werden.

  • Beim ersten Dreieck: $18~cm$, $15~cm$ und $12~cm$ und
  • bei dem zweiten: $24~cm$, $20~cm$ und $16~cm$.

  Und nun können die jeweiligen Quotienten gebildet werden:

  • $\large{\frac{24~cm}{18~cm}=\frac43}$,
  • $\large{\frac{20~cm}{15~cm}=\frac43}$ und
  • $\large{\frac{16~cm}{12~cm}=\frac43}$.

  Da alle Verhältnisse gleich sind, sind die beiden Dreiecke ähnlich zueinander.

• Prüfe, welche Dreiecke ähnlich zu dem Dreieck $ABC$ sind.

  Tipps

  Sortiere bei jedem der Dreiecke die Seitenlängen.

  Bilde jeweils die Quotienten der einander entsprechenden Seitenlängen.

  Stimmen diese Quotienten aller einander entsprechenden Seitenlängen überein, so sind die Dreiecke ähnlich.

  Drei Dreiecke sind ähnlich zu $ABC$ und zwei nicht.

  Lösung

  Die Seitenlängen des Dreiecks $ABC$ sind geordnet $20~cm$, $30~cm$ und $36~cm$.

  Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt, dass zwei Dreiecke ähnlich zueinander sind, wenn sie in allen Verhältnissen einander entsprechender Seiten übereinstimmen.

  Bei jedem der betrachteten Dreiecke können die Seitenlängen ebenfalls geordnet werden:

  • $\Delta_1$: $25~cm$, $37,5~cm$ und $45~cm$. Nun werden die jeweiligen Quotienten einander entsprechender Seitenlängen gebildet. Diese müssen für die Ähnlichkeit übereinstimmen:

  $\frac{45~cm}{36~cm}=\frac{37,5~cm}{30~cm}=\frac{25~cm}{20~cm}=1,25$. Also ist $\Delta_1$ ähnlich zu $ABC$.

  • $\Delta_2$: $16~cm$, $36~cm$ und $42~cm$.

  $\frac{42~cm}{36~cm}=\frac76\neq\frac65=\frac{36~cm}{30~cm}$. Also ist $\Delta_2$ nicht ähnlich zu $ABC$.

  • $\Delta_3$ mit den Längen $30~cm$, $45~cm$ und $54~cm$.

  $\frac{54~cm}{36~cm}=\frac{45~cm}{30~cm}=\frac{30~cm}{20~cm}=1,5$. Also ist $\Delta_3$ ähnlich zu $ABC$.

  • $\Delta_4$: $12~cm$, $14~cm$ und $20~cm$.

  $\frac{20~cm}{36~cm}=\frac59\neq\frac7{15}=\frac{14~cm}{30~cm}$. Also ist $\Delta_4$ nicht ähnlich zu $ABC$.

  • $\Delta_5$: $2~cm$, $3~cm$ und $3,6~cm$.

  $\frac{3,6~cm}{36~cm}=\frac{3~cm}{30~cm}=\frac{2~cm}{20~cm}=0,1$. Also ist $\Delta_5$ ähnlich zu $ABC$.

  Es müssen alle Verhältnisse der Seitenlängen übereinstimmen. Also reicht es umgekehrt, zwei Quotienten einander entsprechender Seitenlängen zu finden, welche nicht übereinstimmen, um nachzuweisen, dass die Dreiecke nicht ähnlich zueinander sind.

• Leite die fehlenden Längen des Dreiecks her.

  Tipps

  Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in allen Verhältnissen der Seitenlängen einander entsprechender Seiten übereinstimmen.

  Bilde den Quotienten der bekannten längsten Seiten der beiden Dreiecke.

  Es muss gelten, dass das Verhältnis einer unbekannten Seitenlänge des Dreiecks $\Delta_1$ zu einer bekannten des Dreiecks $\Delta_2$ mit dem Quotienten der beiden bekannten längsten Seiten der beiden Dreiecke übereinstimmt.

  Lösung

  Die beiden längsten Seiten der beiden Dreiecks sind bekannt. Der entsprechende Quotient, das Längenverhältnis der beiden Seiten, ist

  $\frac{12~m}{8~m}=\frac32=1{,}5$.

  Das Verhältnis der übrigen Seiten zueinander muss mit diesem Wert übereinstimmen, damit die Dreiecke ähnlich zueinander sind.

  Sei $a$ die kürzeste Seite des Dreiecks $\Delta_1$, so gilt

  $\begin{align*} \frac{a}{4~m}&=\frac32 &|& \cdot 4~m\\ a&=6~m. \end{align*}$

  Ebenso erhält man für die mittlere Seite $c$

  $\begin{align*} \frac{c}{6~m}&=\frac32 &|& \cdot 6~m\\ c&=9~m. \end{align*}$

  Damit sind die fehlenden Seitenlängen berechnet.

• Berechne die fehlenden Längen $x$ und $y$.

  Tipps

  Da beide Dreiecke, das große und das kleine, rechteckig sind und einen weiteren Winkel gemeinsam haben, sind sie ähnlich zueinander.

  Wenn zwei Dreiecke ähnlich zueinander sind, so stimmen die Verhältnisse der zueinander gehörenden Seiten der beiden Dreiecke überein.

  Diese Aussage entspricht dem ersten Strahlensatz.

  In rechtwinkligen Dreiecken gilt der Satz des Pythagoas:

  $a^2+b^2=c^2$,

  wobei $a$ und $b$ Katheten und $c$ Hypotenuse sind.

  Lösung

  Gesucht sind die Seiten $x$ und $y$. Bekannt ist bereits die dritte Seite, welche sich als Summe von $12~cm$ und $4~cm$ also $16~cm$ ergibt.

  Da das kleine rechte rechteckige und das große äußere rechteckige Dreieck ähnlich sind, gilt

  $\large{\frac{x}{3~cm}=\frac{16~cm}{4~cm}}$.

  Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht $4$ und somit ist $x=12~cm$.

  Die fehlende Länge $y$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

  $y^2=(12~cm)^2+(16~cm)^2$.

  Durch Wurzelziehen erhält man die Lösung:

  $y=20~cm$.

• Bestimme die Höhe des Hauses.

  Tipps

  So könnte die Skizze aussehen.

  Beachte, dass die Körpergröße von Paul nicht zu dem Dreieck gehört.

  Das heißt, dass auf die berechnete Größe diese $1,60~m$ addiert werden müssen, um die Höhe des Hauses zu erhalten.

  Zur Vereinfachung der Rechnung werden sowohl der Kopf von Paul, als auch die Spitze des Straßenschildes und das Dach des Hauses als Punkte angenommen.

  Nach dem Ähnlichkeitssatz SSS sind zwei Dreiecke ähnlich, wenn sie in den Längenverhältnissen jeweils einander entsprechender Seiten übereinstimmen.

  Lösung

  Sei der Kopf von Paul der Punkt $P$, das Straßenschild in Höhe von $1,60~m$ $A$ und die Spitze $B$ sowie das Haus in Höhe von $1,60~m$ $C$ und die Spitze des Hauses $D$.

  Die Einschränkung mit der Höhe ist wichtig, da die waagerechten Abstände bekannt sind. Diese könnten ansonsten nicht direkt in die Skizze mit einbezogen werden.

  Es entstehen somit zwei ähnliche Dreiecke $PAB$ und $PCD$.

  In dem Dreieck $PAB$ sind die Längen der waagerechten Strecke $\overline{PA}$ $1~m$ und der senkrechten $\overline{AB}$ $2,20~m-1,60~m=0,60~m$ bekannt.

  In dem Dreieck $PCD$ ist die Länge der waagerechten Strecke $\overline{PC}$ $55~m$ bekannt. Die Länge der senkrechten Strecke $\overline{CD}$ ist unbekannt. Diese sei $x$.

  Da die Dreiecke ähnlich sind, gilt:

  $\frac{x}{0,6~m}=\frac{55~m}{1~m}$.

  Diese Gleichung muss mit $0,6~m$ multipliziert werden, um zu der Lösung $x=33~m$ zu gelangen.

  Die gesuchte Höhe ist $33~m+1,60~m=34,60~m$.