Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen

Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen Übung

• Beschreibe, wie du beim Ausklammern und Ausmultiplizieren vorgehst.

  Tipps

  Das Ausmultiplizieren ist die Umkehrung des Ausklammerns. Dabei wird eine Summe oder Differenz mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert.

  Das Volumen eines Quaders berechnen wir, indem wir die Grundfläche mit der Höhe multiplizieren. Bei einem Würfel sind alle drei Seiten gleich lang, also insbesondere die beiden der Grundfläche und die der Höhe.

  Lösung

  Beim Ausklammern entspricht der Faktor vor der Klammer dem größten gemeinsamen Faktor der Summanden oder des Minuenden und der Subtrahenden. Dabei handelt es sich also um den Faktor, der in allen Gliedern des gegebenen Terms vorkommt. Innerhalb der Klammern schreibt man dann die Summanden oder den Minuenden und die Subtrahenden, die mit diesem Faktor multipliziert wieder den alten Term ergeben würden.

  In unserem Beispiel ist der größte gemeinsame Faktor die Grundfläche der Quader, also $a^2$. Diesen klammern wir aus und erhalten:

  $a^3 +a^2\cdot b = a^2\cdot a+a^2\cdot b= a^2\cdot(a+b)$

  Das Ausmultiplizieren ist die Umkehrung des Ausklammerns. Dabei wird eine Summe oder Differenz mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert, indem man jeden einzelnen Summanden oder den Minuenden und die Subtrahenden innerhalb der Klammer mit dem Faktor außerhalb der Klammer multipliziert.

• Schildere den Ablauf beim Ausklammern des jeweiligen Terms.

  Tipps

  Wir schauen uns üblicherweise zunächst die Zahlen und dann die Potenzen an.

  Die Primfaktorzerlegung für $33$ sieht zum Beispiel so aus $33= 3\cdot 11$

  Lösung

  Wir betrachten nun folgenden Term:

  • $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2$

  Terme wie diesen können wir wie folgt ausklammern. Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $10$ und $15$ die Primfaktorzerlegungen an:

  • $10=2\cdot 5$
  • $15=3\cdot 5$

  Damit erhalten wir:

  • $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = 2\cdot \color{#669900}{5}\cdot x^3 \cdot y^5 - 3\cdot \color{#669900}{5} \cdot x^5 \cdot y^2$

  Wir erkennen, dass die $5$ in beiden Faktoren enthalten ist. Weiter geht es mit den Variablen. Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:

  • $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$

  Wir suchen für Potenzen mit gleicher Basis jeweils die Potenz mit dem kleinsten Exponenten und zerlegen die jeweils andere Potenz entsprechend obigem Gesetz. Für die Basis $x$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $x^3$. Die Potenz $x^5$ können wir dann wie folgt zerlegen:

  • $x^5=x^{3+2}=x^3 \cdot x^2$

  Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y^2$ sowohl im Minuenden als auch im Subtrahenden vorkommt und zerlegen $y^5$ wie folgt:

  • $y^5=y^{2+3}=y^2 \cdot y^3$

  Damit erhalten wir insgesamt:

  • $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = \color{#669900}{5 \cdot x^3 \cdot y^2 } \cdot (2\cdot y^3 - 3\cdot x^2)$

• Entscheide, welche Terme durch Ausklammern oder Ausmultiplizieren ineinander überführt werden können.

  Tipps

  Bei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen.

  Für $15a+21b$ gilt zum Beispiel:

  • $15=3\cdot 5$
  • $ 21=3\cdot 7$

  Wir können nun den gemeinsamen Faktor $3$ ausklammern, also:

  $15a+21b=3\cdot(5a+7b)$

  Bei den Potenzen ist es hilfreich, sie mit diesem Potenzgesetz zunächst sinnvoll umzuformen.

  Zum Beispiel kannst du bei $x^3y+x^2z$ schreiben:

  $x^3y+x^2z=x^{2+1}y+x^2z=x^2\cdot xy+x^2z$

  Damit siehst du, dass du $x^2$ ausklammern kannst.

  $x^3y+x^2z=x^2\cdot(xy+z)$

  Lösung

  Die folgenden Terme müssen ausgeklammert werden:

  Term 1: $~4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8$

  Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $4=2\cdot 2$ und $8=2\cdot 2\cdot 2$ und $32= 2^5$ die Primfaktorzerlegungen an, damit ist $2 \cdot 2 =4$ in jedem Summanden enthalten und wir können $4$ wie folgt ausklammern:

  • $4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = 4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)$

  Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:

  • $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$

  Wir suchen für Potenzen gleicher Basis jeweils die Potenz mit dem kleinsten Exponenten und zerlegen die jeweils andere Potenz entsprechend. Für die Basis $x$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $x^2$. Den zweiten Summanden können wir dann mit $x^3=x^{2+1}=x^2 \cdot x$ und den dritten mit $x^5=x^{2+3}=x^2 \cdot x^3$ umschreiben:

  • $4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)=4(x^2y + 2x^2xy^2 + 16x^2x^3 y^8)=4x^2(y + 2xy^2 + 16x^3 y^8)$

  Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y$ in allen drei Summanden vorkommt und wir es daher ausklammern können. Es ergibt sich:

  • $4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = \color{#99CC00}{4x^2y} (1+2xy+8x^3y^7)$

  
  

  Term 2: $~3x^5z^2y-7zy^6x^5$

  Auch bei Differenzen können wir auf diese Art und Weise vorgehen:

  • $3x^5z^2y-7zy^6x^5= 3 \cdot x^5 \cdot y \cdot z \cdot z - 7 \cdot x^5 \cdot y \cdot y^5 \cdot z = \color{#99CC00}{x^5yz (3z-7y^5)}$

  Die folgenden Terme müssen ausmultipliziert werden:

  
  

  Term 3: $~4x^2y^5(3x^3+6yz)$

  Dazu wird jeder Summand in der Klammer einzeln mit dem Faktor multipliziert:

  • $4x^2y^5(3x^3+6yz)= 4x^2y^5\cdot 3x^3+6yz\cdot 3x^3 = \color{#99CC00}{12x^5y^5+24x^2y^6z}$

  
  

  Term 4: $~(x-1)y^2z$

  Das Gleiche gilt auch bei Differenzen innerhalb der Klammer. Also:

  • $(x-1)y^2z= x\cdot y^2z-1\cdot y^2z = \color{#99CC00}{xy^2z-y^2z}$

• Prüfe, an welcher Stelle der Rechnung zum ersten Mal ein Fehler auftritt.

  Tipps

  Gehe Zeile für Zeile vor. Überprüfe zunächst die Primfaktorzerlegung der Zahlen und dann, ob die Potenzgesetze korrekt angewendet wurden.

  Lösung

  Term 1: $~15x^2y+45xyz $

  Hier wurde beim Ausklammern die $3$ vergessen. Die Primfaktorzerlegung der Zahlen $15$ und $45$ lautet wie folgt:

  • $15=3\cdot 5$
  • $45=3\cdot 3 \cdot 5$

  Wir können also $15$ ausklammern. Der Faktor $3$ bleibt aber bestehen. Es folgt dann:

  • $15(x^2y+\color{#669900}{3}xyz)=15xy(x+\color{#669900}{3}z)$

  Aufgabentyp: Ausklammern

  Term 2: $~(17xy+2x^2a-3az)\cdot (-3x^5y^2)$

  Der Faktor außerhalb der Klammer ist negativ, damit ändert sich für jeden Summanden (oder Subtrahenden und Minuenden) das Vorzeichen. Wir erhalten also:

  • $-17xy \cdot 3x^5y^2\color{#669900}{- 2x^2a \cdot 3x^5y^2}+ 3az \cdot 3x^5y^2$

  Im nächsten Schritt wurde das Potenzgesetz $u^v \cdot u^w = u^{v+w}$ nicht beachtet. Es gilt nämlich:

  • $\color{#669900}{-51x^6y^3} + 6x^7ay^2+ 9azx^5y^2$

  Aufgabentyp: Ausmultiplizieren

  Term 3: $~33x^3y-45x^8y^3z-3x^2x^2y^2$

  Man klammert zunächst die $3$ aus:

  • $3(11x^3y - 15x^8y^3z - x^2x^2y^2)$

  Hier könnte zunächst in der Klammer $x^2x^2$ zu $x^4$ zusammengefasst und dann $x^3y$ ausgeklammert werden:

  • $= 3x^3y (11-15x^5y^2z-\color{#669900}{xy})$

  Also ist der Fehler im letzten Teil gemacht worden.

  Aufgabentyp: Ausklammern

• Bestimme, welche Faktoren du bei den gegebenen Termen ausklammern kannst.

  Tipps

  Bei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen.

  Für $14a+35b$ gilt zum Beispiel:

  • $14=2\cdot 7$
  • $ 35=5\cdot 7$

  Wir können nun den gemeinsamen Faktor $7$ ausklammern, also:

  $14a+35b=7\cdot(2a+5b)$

  Dieses Potenzgesetz hilft dir zu erkennen, welche Potenzen du ausklammern kannst.

  Achte beim Ausklammern von Potenzen mit gleichen Basen darauf, dass vor der Klammer die Potenz mit dem kleinsten Exponenten steht und in der Klammer nur noch Potenzen, die um den kleinsten Exponenten vermindert wurden.

  Zum Beispiel: $3\cdot x^2+7\cdot x^4=x^2 \cdot (3+7x^2)$

  Lösung

  Wir schauen uns die Terme nacheinander an:

  Erster Term: $a^2\cdot a+a^2\cdot b$

  • Hier können wir leicht erkennen, dass in beiden Summanden $a^2$ vorkommt, also:

  $\color{#99CC00}{a^2}\color{black}{~\cdot ~a+~}\color{#99CC00}{a^2}\color{black}{~\cdot ~b=~}\color{#99CC00}{a^2}\color{black}{~\cdot ~(a+b)}$

  $~$

  Zweiter Term: $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2$

  • Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $10=2\cdot 5$ und $15=3\cdot 5$ die Primfaktorzerlegungen an:

  $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = 2\cdot \color{#99CC00}{5}\color{black}{~\cdot ~x^3 \cdot y^5 - 3~\cdot~} \color{#99CC00}{5} \color{black}{~\cdot ~x^5 \cdot y^2}$

  Dabei erkennen wir, dass die $5$ in beiden Faktoren enthalten ist.

  • Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:

  $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$

  • Wir suchen für Potenzen gleicher Basis, jeweils die mit dem kleinsten Exponenten und schreiben dann unsere Summanden so um, dass dieser in jedem auftaucht. Für die Basis $y$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $y^2$, für $x$ ist es $x^3$. Den Minuend können wir dann mit $y^5 = y^{3+2} = y^3 \cdot y^2$, den Subtrahend mit $x^5=x^{3+2}=x^3 \cdot x^2$ umschreiben:

  $2\cdot 5 \cdot x^3 \cdot y^5 - 3\cdot 5 \cdot x^5 \cdot y^2 = 2\cdot 5\cdot \color{#99CC00}{x^3} \color{black}{~\cdot ~y^3 ~\cdot~} \color{#99CC00}{y^2} \color{black}{~- ~3 ~\cdot~} \color{#99CC00}{x^3} \color{black}{~\cdot ~x^2 ~\cdot~} \color{#99CC00}{y^2}$

  • Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y^2$ sowohl im Minuend als auch im Subtrahend vorkommt und wir es daher ausklammern können. Es ergibt sich:

  $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = \color{#99CC00}{5 \cdot x^3 \cdot y^2 } \color{black}{~\cdot ~(2\cdot y^3 - 3\cdot x^2)}$

  $~$

  Dritter Term: $4\cdot m^2 \cdot n^3 + 8\cdot m^2\cdot n^4$

  $4\cdot m^2 \cdot n^3 + 8\cdot m^2\cdot n^4 = \color{#99CC00}{4\cdot m^2 \cdot n^3} \color{black}{~\cdot~ (1+2n)}$

• Entscheide, ob die Termumformungen korrekt sind.

  Tipps

  Beachte die Potenzgesetze:

  • $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$
  • $u^{-1}=\frac 1 u$

  Lösung

  Term 1: $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3} = 4+5y^2x^{-3}$ $\checkmark$

  $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3}$

  • $y^0=1$ können wir weglassen. Ausmultiplizieren ergibt:

  $4x^3\cdot x^{-3}+5y^2\cdot x^{-3}$

  • Mit $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ können wir vereinfachen:

  $4x^{3+(-3)}+5y^2 x^{-3} = 4x^0+5y^2 x^{-3}= 4+5y^2x^{-3}$

  $~$

  Term 2: $x^b+6y^2x^{b+3}+7x^{b-1}za^a= x^{b-1}(x^1+6y^2x^{4}+7za^a)$ $\checkmark$

  • Die einzige Basis, die in allen Summanden zu finden ist, ist $x$. Vorausgesetzt $b$ ist positiv, so ist der kleinste zu findende Exponent bei $x$ das $b-1$. Da wir $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ anwenden können, gilt:

  $x^b = x^{b-1+1} = x^{b-1} \cdot x^1 = x^{b-1} \cdot x$

  $x^{b+3} = x^{b-1+1+3} = x^{b-1} \cdot x^{4}$

  • Benutzen wir diese Umstellungen für $x^b$ und $x^{b+3}$, so können wir den Term wie folgt umstellen:

  $x^b+6y^2x^{b+3}+7x^{b-1}za^a = x^{b-1}x+6y^2x^{b-1}x^4+7x^{b-1}za^a$

  • Nun können wir $x^{b-1}$ als Faktor vor die Klammer schreiben und in die Klammer alle Summanden, die um diesen Faktor verringert wurden.

  Term 3: $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3} = 5y^2x^{-3}$ Falsch, siehe Term 1.

  $~$

  Term 4: $(9x^ay^{m-n}+5x^2)\cdot 3y^{n}x^{-3} = 15 x^{-1} \cdot y^n + 27x^{a-3}y^m$ $\surd$

  • Zunächst wird ausmultipliziert:

  $(9x^ay^{m-n}+5x^2)\cdot 3y^{n}x^{-3} = 9x^ay^{m-n}\cdot 3y^{n}x^{-3} +5x^2\cdot 3y^{n}x^{-3}$

  • Mit $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ können wir vereinfachen:

  $9x^ay^{m-n}\cdot 3y^{n}x^{-3} +5x^2\cdot 3y^{n}x^{-3}= 27x^{a-3}y^{m-n+n}+15x^{2-3}y^n = 15x^{-1}y^n + 27x^{a-3}y^{m}$