Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen

Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen Übung

• Bestimme den Flächeninhalt.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen.

  Multipliziere das Produkt $(a-b) \cdot (c-d)$ termweise aus.

  Beachte die Regel:

  Minus mal minus ergibt plus.

  Lösung

  Wilma webt ein rechteckiges Tuch der Seitenlängen $(a-b)$ und $(c-d)$. Der Flächeninhalt dieses Tuches ist das Produkt der Seitenlängen. Du kannst eine algebraische Formel für den Flächeninhalt berechnen, indem du das Produkt $(a-b) \cdot (c-d)$ ausmultiplizierst:

  $(a-b) \cdot (c-d) = ac -ad +ab +bd$

  Hierbei musst du beachten, dass $(-b) \cdot (-d) = bd$ gilt.

  Andererseits kannst du den Flächeninhalt auch geometrisch ausrechnen, indem du von dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $c$ die überflüssigen Teile abziehst. Diese überflüssigen Teile sind überdeckt durch die beiden Rechtecke mit den Seiten $b$ und $c$ (rechts) sowie $a$ und $d$ (unten). Ziehst du die Flächeninhalte $bc$ sowie $ad$ von dem Flächeninhalt $ac$ des großen Rechtecks ab, so erhältst du weniger als den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks mit den Seiten $(a-b)$ und $(c-d)$. Denn nun hast du den Bereich, in dem sich die abgezogenen Rechtecke überlagern, von dem Flächeninhalt $ac$ doppelt abgezogen. Du musst also noch den Flächeninhalt $bd$ dieses sich überlappenden Bereiches wieder addieren. So erhältst du wie zuvor die Formel:

  $(a-b) \cdot (c-d) = ac -ad +ab +bd$

• Berechne die Terme.

  Tipps

  Beachte beim Ausmultiplizieren der Terme die Vorzeichen.

  Du kannst die Klammer $a \cdot (b+c)$ auflösen, indem du den Faktor $a$ mit jedem Summanden in der Klammer multiplizierst und diese Produkte addierst:

  $a \cdot (b+c) = a\cdot b + a \cdot c$

  Fasse beim Ausmultiplizieren Terme der Form $x \cdot x$ zu $x^2$ zusammen und beachte, dass $x \cdot y = y \cdot x$ gilt.

  Lösung

  Du kannst Produkte von Summen oder Differenzen berechnen, indem du jeden Minuend und Subtrahend der linken Klammer jeweils mit Minuend und Subtrahend der rechten Klammer multiplizierst. Beachte dabei die Vorzeichen der Terme und bei der Multiplikation die Regel:

  Minus mal minus ergibt plus.

  So ist z.B. $a \cdot (b+c) = ab + ac$ und $-a \cdot (b-c) = -ab + ac$.

  Unter Berücksichtigung dieser Regeln erhältst du folgende Gleichungen:

  • $(a+b) \cdot (c-d) = a \cdot c - a \cdot d + b \cdot c - b \cdot d$

  • $(a-b) \cdot (c-d) = a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d$

  • $(4 \cdot x - 6 \cdot y) \cdot (8 \cdot x - 2 \cdot y) = 32x^2 + 12 y^2 - 56xy$

  • $(a-b) \cdot (a-c) \cdot (b-c) = a^2b-a^2c-ab^2+ac^2+b^2c-bc^2$

• Prüfe die Gleichungen.

  Tipps

  Fasse nach dem Ausmultiplizieren gleichartige Terme zusammen und lasse Terme weg, die einander aufheben.

  Lösung

  Bei der Multiplikation von Summen und Differenzen können leicht Vorzeichenfehler auftauchen. Wenn du keine solchen Fehler gemacht hast, findest du heraus, dass folgende Rechnungen korrekt sind:

  • $(2a^2+5a) \cdot (b-3b^2) = 2a^2b - 6a^2b^2 +5ab-15ab^2$

  Dies findest du direkt durch Ausmultiplizieren heraus.

  • $(4a+3b)^2 - (-3b+4a)^2 = 48ab$

  Der Term kann auch wie folgt umgestellt werden: $(4a+3b)^2 - (4a-3b)^2 $

  Da es sich um zwei Binome handelt, können die erste und die zweite binomische Formel zur Hilfe gezogen werden. Da die Summanden der Binome gleich sind, können sie nach dem Auflösen der Klammern leicht miteinander verknüpft werden:

  $(4a+3b)^2 = 16a^2 +24 ab +9b^2$

  $(4a-3b)^2 = 16a^2 - 24ab +9b^2$

  Subtrahiert man nun den zweiten Term vom ersten, so erhält man:
  $16a^2 +24 ab +9b^2 - (16a^2 - 24ab +9b^2) = 24ab+24ab = 48 ab$

  Diese Rechnungen dagegen sind falsch:

  • $(4c^2-3a) \cdot (2b-3d) =8c^2b+12c^2a-6ab+9ad$

  Direktes Ausmultiplizieren, bei dem du jedes Glied in der einen Klammer mit jedem Glied aus der anderen Klammer multiplizierst, ergibt hier: $(4c^2-3a) \cdot (2b-3d) =8c^2b-12c^2d-6ab+9ad$.

  • $(2x-4y) \cdot (5y+3x) \cdot (-y+x) =9x^3-23xy^2-6x^2y+20y^3$

  Richtig wäre hier:

  $\begin{array}{rcl} (2x-4y) \cdot (3x-5y) \cdot (x-y) &=& (2x \cdot 3x + 2x \cdot (-5y) -4y \cdot 3x - 4y \cdot (-5y)) \cdot (x-y) \\ &=& (6x^2 - 10xy - 12xy + 20y^2) \cdot (x-y) \\ &=& (x-y) \cdot (6x^2 -22xy +20y^2) \\ &=& x \cdot 6x^2 + x \cdot (-22xy) + x \cdot 20y^2 -y \cdot 6x^2 - y \cdot (-22xy) \\ && -y \cdot 20y^2 \\ &=& 6x^3 - 22x^2y +20xy^2 -6x^2y + 22xy^2 -20y^3 \\ &=& 6x^3-28xy^2+42x^2y-20y^3 \\ \end{array}$

• Erschließe die Terme.

  Tipps

  Du kannst bei einem Produkt immer die Reihenfolge der Faktoren vertauschen. Es sind aber immer die Vorzeichen zu beachten.

  $(a-b) \cdot (c-d) \cdot (e-f) = (a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d) \cdot (e-f) $
  $= (e-f) \cdot (a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d) = e \cdot a \cdot c - e \cdot a \cdot d ...$

  Lösung

  Um zwei Klammern auszumultiplizieren, multiplizierst du jedes Glied in der Klammer mit jedem Glied in der anderen Klammer und addierst deine Produkte. Danach kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.

  Du erhältst hier die folgenden Rechnungen:

  $\begin{array}{rcl} (3x+5y) \cdot (2x-y) &=& 3x \cdot 2x - 3x \cdot y + 5y \cdot 2x - 5y \cdot y \\ &=& 6xx- 3xy + 10xy - 5yy \\ &=& 6 x^2 +7xy - 5y^2\\ \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} (4x-8y) \cdot (6x-2y) &=& 4x \cdot 6x - 4x \cdot 2y - 8y \cdot 6x + 8y \cdot 2y \\ &=& 24xx- 8xy - 48xy + 16yy \\ &=& 24 x^2 -56xy + 16y^2\\ \end{array}$

  Du kannst die Produkte ausrechnen, indem du zunächst zwei Klammern ausmultiplizierst und dieses Ergebnis dann mit der dritten Klammer multiplizierst. Die Wahl der Reihenfolge kann die Rechnung etwas abkürzen.

  $\begin{array}{rcl} (7a-4b) \cdot (b-3a) \cdot (2b-2a) &=& (7a \cdot b +7a \cdot (-3a) - 4b \cdot b - 4b \cdot (-3a)) \\ && \cdot (2b-2a) \\ &=& (7ab -21aa - 4bb + 12ba) \cdot (2b-2a)\\ &=& (2b-2a)\cdot (-21a^2 +19ab - 4b^2)\\ &=& 2b \cdot (-21a^2) +2b \cdot 19 ab +2b \cdot (-4b^2) \\ && -2a \cdot (-21a^2) -2a \cdot 19 ab -2a \cdot (-4b^2) \\ &=& 42a^3 -38a^2b +8ab^2-42a^2b+38ab^2-8b^3 \\ &=& 42a^3 - 80a^2b +46ab^2-8b^3 \end{array}$

• Berechne die Produkte.

  Tipps

  Um einen Term der Form $x \cdot (y-z)$ zu berechnen, musst du den Faktor $x$ jeweils mit dem Minuenden und Subtrahenden in der Klammer multiplizieren und diese Produkte summieren.

  Es gilt $x \cdot (-z) = (-x) \cdot z = -(x \cdot z)$.

  Die Multiplikation ist kommutativ, d.h. $y \cdot x = x \cdot y$.

  Lösung

  Beim Ausmultiplizieren der Klammern musst du genau auf die Vorzeichen achten. Das Produkt zweier Faktoren mit gleichen Vorzeichen bekommt das Vorzeichen $+$, das Produkt zweier Faktoren mit verschiedenen Vorzeichen bekommt das Vorzeichen $-$.

  Damit erhältst du folgende Gleichungen:

  • $a \cdot (b+c) = ab + ac$

  • $(a+b) \cdot c = ac + bc$

  • $a \cdot (b-c) = ab - ac$

  • $(-a+b) \cdot c = -ac +bc = bc -ac$

  Zu den Termen $ac -bd$ und $bc -ad$ ist in der Aufgabe keine passende Multiplikation angegeben.

• Beschreibe die Berechnung des Produktes.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner Länge und Breite. Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner Länge, Breite und Höhe.

  Beachte beim Ausmultiplizieren die Vorzeichen und die Regel minus mal minus ergibt plus.

  Für die Multiplikation gilt das Kommutativ- und Assoziativgesetz, d.h., bei der Multiplikation dreier Terme kannst du die Reihenfolge der Produkte beliebig vertauschen.

  Lösung

  Felix' Nest hat die Form eines Quaders. Ein Quader ist das dreidimensionale Analogon eines Rechtecks. Seine sechs Kanten bestehen aus drei Paaren zueinander paralleler Kanten. An jeder Ecke des Quaders stoßen drei Kanten senkrecht aufeinander. Das Volumen des Quaders ist das Produkt der Maße dieser drei Kanten, ganz analog zum Flächeninhalt eines Rechtecks als Produkt der beiden senkrechten Kanten.

  Felix flechtet sein Nest aus Stöckchen der Maße $2a \text{ cm}$, $4b \text{ cm}$ und $3c \text{ cm}$. Da diese Maße nicht zu dem Bauplan seines Nestes passen, muss er sie verkürzen bzw. verlängern. Das fertige Nest soll die Höhe $2a+4b$ haben. Dazu muss Felix die Stöckchen der Maße $2a \text{ cm}$ und $4b \text{ cm}$ hintereinander legen. In der Breite stehen die Stöckchen vom Maß $4b \text{ cm}$ noch um $3 \text{ cm}$ über. Die Breite des Nestes beträgt demnach $4b-3$. Die Stöckchen des Maßes $3c$ muss er um $a \text{ cm}$ kürzen, um auf die gewünschte Längen $3c-a$ zu kommen.

  Nun rechnet Felix das Volumen seines Nestes aus. Das Volumen eines Quaders ist das Produkt aus Höhe, Breite und Länge. Die Formel für das Volumen von Felix' Nest lautet daher:

  $V =(2a +4b)\cdot (4b-3) \cdot (3c-a)$.

  Um das Volumen auszurechnen, kannst du die Klammern ausmultiplizieren. Dabei musst du immer die Vorzeichen beachten. Das Produkt von Faktoren mit denselben Vorzeichen erhält das Vorzeichen $+$, das Produkt von Faktoren verschiedener Vorzeichen erhält das Vorzeichen $-$.

  Ob Felix zuerst die beiden vorderen Klammern ausmultipliziert oder zuerst die beiden hinteren, macht für das Ergebnis gar keinen Unterschied. Denn für die Multiplikation gilt das Assoziativgesetz. Ebenso spielt nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren Höhe, Breite und Länge keine Rolle für den Wert des Volumens.

  Berechnen wir also zuerst das Produkt der Höhe und Breite:

  $(2a +4b)\cdot (4b-3) = 8ab -6a +16b^2 - 12b $

  Beide Seiten der Gleichung müssen wir nun noch mit der Länge $(3c-a)$ multiplizieren, um das Volumen zu erhalten:

  $V = 24abc- 18ac +48b^2c - 36bc- 8a^2b +6 a^2 -16ab^2 +12ab$