Brüche und Anteile – Einführung

Brüche und Anteile – Einführung Übung

• Definiere die Komponenten, aus denen sich ein Bruch zusammensetzt.

  Tipps

  Der Nenner gibt an, ob es sich um Halbe, Drittel, Viertel und so weiter handelt.

  $\frac 58$ eines Ganzen bedeutet, dass wir das Ganze in $8$ gleiche Teile, also Achtel, teilen und $5$ solcher Teile zählen.

  Lösung

  Ein Bruch setzt sich aus drei Komponenten, nämlich dem Zähler, dem Nenner und dem Bruchstrich zusammen:

  • Die Zahl oberhalb des Bruchstrichs nennen wir Zähler. Dieser zählt die Teile, die wir betrachten.
  • Die Zahl unterhalb des Bruchstrichs nennen wir Nenner. Dieser benennt die Art eines Anteils.
  • In der Mitte des Bruchs steht der Bruchstrich, der einem Geteiltzeichen entspricht. So kannst du zum Beispiel den Bruch $\frac{3}{5}$ auch als $3:5$ schreiben.

  Mithilfe von Brüchen kannst du Anteile von Mengen herausfinden. Betrachtest du zum Beispiel $\frac 13$ einer Klasse mit $33$ Schüler*innen, so entspricht das einem Anteil mit $11$ Schüler*innen.

• Gib die markierten Anteile an.

  Tipps

  Sind $4$ von insgesamt $6$ Teilen markiert, so entspricht das einem Anteil von $\frac 46$ oder $\frac 23$. Der Zähler deines Bruchs hängt von dem Nenner ab. Dieser hängt wiederum davon ab, in wie viele Teile du das Ganze zerlegst.

  Teilst du $27$ Eiswürfel gleichmäßig auf $3$ Personen auf, bekommt jeder $27:3=9$ Eiswürfel.

  Lösung

  Wir betrachten zunächst die $27$ Eiswürfel. Im ersten Bild sind $9$ von $27$ Eiswürfeln markiert. Das entspricht einem Anteil von $\frac 13$, denn $27:9=3$. Das heißt, wenn du $27$ Eiswürfel in $3$ gleich große Mengen zerlegst, enthält jede Menge genau $9$ Eiswürfel. Demnach entsprechen $9$ Eiswürfel einem Drittel von $27$ Eiswürfeln. Daraus können wir wiederum schließen, dass $2 \cdot 9=18$ Eiswürfel dem doppelten Anteil von einem Drittel, also $\frac 23$ entsprechen.

  Nun sehen wir, dass zwei von vier Fischen markiert sind. Dieser Anteil entspricht genau der Hälfte, folglich $\frac 12$ der Gesamtmenge von $4$ Fischen.

  Im letzten Bild betrachten wir $330\ \text{ml}$ von insgesamt $440\ \text{ml}$. Wenn wir $440\ \text{ml}$ in vier gleich große Mengen zerlegen, erhalten wir $110\ \text{ml}$. Diese Menge entspricht also einem Viertel. Da $330 \ \text{ml}$ dreimal so groß ist, ist auch der jeweilige Anteil dreimal so groß, folglich $\frac 34$.

• Bestimme die Zeiten, welche die Kinder im Wasser verbracht haben.

  Tipps

  Um $\frac{3}{4}$ von $60$ Minuten zu berechnen, berechne erst, wie viele Minuten $\frac{1}{4}$ von $60$ Minuten sind und multipliziere dann mit $3$.

  Lösung

  • Lara war $\frac{4}{5}$ von zwei Stunden im Wasser. Zwei Stunden haben $120$ Minuten. $\frac{4}{5}$ von $120$ Minuten sind $\frac{4}{5} \cdot 120 = 96$ Minuten, da $\frac{1}{5}$ von $120$ Minuten $24$ Minuten sind und $4 \cdot 24 = 96$.
  • Jenny war $\frac{2}{5}$ von zwei Stunden im Wasser. $\frac{2}{5}$ von $120$ Minuten sind $\frac{2}{5} \cdot 120 = 48$ Minuten.
  • Michi war von $12$ Uhr bis $16$ Uhr im Freibad. In diesen vier Stunden war er die Hälfte der Zeit im Wasser. Damit war Michi zwei Stunden, also $120$ Minuten, im Wasser.
  • Matze war eine Stunde weniger als Michi im Wasser, also insgesamt eine Stunde bzw. $60$ Minuten.
  • Sandra war $20$ Minuten im Wasser.

• Bestimme die Anteile am Ganzen, welche durch die Brüche beschrieben werden.

  Tipps

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\frac 49$ von $36$

  Hier berechnest du zunächst den Anteil $\frac 19$ von $36$, indem du $36$ durch $9$ teilst. Das Ergebnis multiplizierst du dann mit $4$, um $\frac 49$ von $36$ zu erhalten.

  Lösung

  • Wir berechnen zunächst $\frac{1}{8}$ von $40~\text{kg}$, was $\frac{40}{8}~\text{kg} = 5~\text{kg}$ ergibt. Da nach $\frac{5}{8}$ und nicht nach $\frac{1}{8}$ gefragt ist, muss das Ergebnis mit $5$ multipliziert werden, da $5 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$ sind. Daraus ergibt sich, dass $\frac{5}{8}$ von $40$ Kilogramm gleich $5 \cdot 5~\text{kg} = 25~\text{kg}$ sind.

  • Wir ermitteln zunächst $\frac{1}{8}$ von $160$ Minuten. Dazu rechnen wir $160 : 8 = 20$. Da uns aber nicht $\frac{1}{8}$, sondern $\frac{7}{8}$ interessiert, multiplizieren wir noch $20$ Minuten mit $7$ und erhalten letztlich $140$ Minuten. $\frac{7}{8}$ von $160$ Minuten sind also $140$ Minuten. Anders ausgedrückt sind $\frac{7}{8}$ von $2$ Stunden und $40$ Minuten gleich $2$ Stunden und $20$ Minuten.

  • Nun wollen wir wissen, wie viel $\frac{4}{5}$ von $300$ Metern sind. Wir können zunächst berechnen, was $\frac{1}{5}$ von $300$ Metern ist. Dazu rechnen wir $300~\text{m} : 5 = 60~\text{m}$. Nun, da wir wissen, wie viel $\frac{1}{5}$ sind, müssen wir dies nur noch mit $4$ multiplizieren, da uns ja $\frac{4}{5}$ interessieren. So ergibt sich $4 \cdot 60~\text{m} = 240~\text{m}$.

  • Die Gesamtanzahl an Bonbons ist hier das Ganze. Gefragt ist nach $\frac{1}{6}$ von $24$. Teilen wir $24$ in $6$ gleich große Teile, so erhalten wir $4$. Somit sind $\frac{1}{6}$ von $24$ Bonbons gleich $4$ Bonbons.

• Berechne die jeweiligen Anteile.

  Tipps

  Teile zunächst $440\ \text{ml}$ durch $4$, um den Anteil von einem Viertel Sonnencreme zu berechnen.

  Multipliziere den Anteil für ein Viertel Sonnencreme mit $2$, um den Anteil für zwei Viertel Sonnencreme zu erhalten.

  Der Bruch $\frac 44$ entspricht der Rechnung $4:4$, die du als eine normale Division durchführen kannst.

  Lösung

  Insgesamt hat Bob $440\,\text{ml}$ Sonnencreme. Teilen wir diese Menge durch $4$, so erhalten wir $110\ \text{ml}$.

  • $\frac 14$ von $440\ \text{ml}$ sind also $110\ \text{ml}$.
  • $\frac 24$ von $440\ \text{ml}$ sind demnach $2\cdot 110\ \text{ml}=220\ \text{ml}$.
  • $\frac 34$ von $440\ \text{ml}$ sind $3\cdot 110\ \text{ml}=330\ \text{ml}$

  $\frac 44$ entspricht einem Ganzen, denn $4:4=1$. Damit sind $\frac 44$ von $440\ \text{ml}$ auch wieder $440\ \text{ml}$. Das ist also wieder das Ganze, da wir hier alle $4$ Teile, in die wir die Sonnencreme eingeteilt haben, betrachten.

• Bestimme die Anzahl der Kinder, die ihre Hausaufgaben gemacht haben.

  Tipps

  Berechne zunächst, wie viele Mädchen und Jungen in der Klasse sind.

  Summierst du die Anzahlen von Jungen und Mädchen, die du berechnet hast, solltest du $24$ erhalten.

  Überlege nun, von welchen Mengen du $\frac{3}{4}$ und $\frac{1}{2}$ berechnen möchtest.

  Lösung

  • Die Klasse besteht aus $24$ Schülern. $\frac{2}{3}$ der Schüler sind Mädchen. $\frac{1}{3}$ von $24$ sind $24~:~3 = 8$ und $\frac{2}{3}$ von $24$ sind $2~\cdot~8 = 16$. Somit gehören zur Klasse $16$ Mädchen.
  • Da die Klasse aus $24$ Schülern besteht, ist die Anzahl der Jungen $24 - 16 = 8$ Jungen. (Da wir wissen, dass $\frac{1}{3}$ der Klasse Jungen sind, könnten wir hier auch das Ergebnis für $\frac{1}{3}$ von $24$ von oben einsetzen: $24\,:\,3=8$.)
  • $\frac{3}{4}$ der $16$ Mädchen haben ihre Hausaufgaben gemacht. $\frac{1}{4}$ von $16$ errechnen wir, indem wir $16$ durch vier teilen. $16 ~:~4 = 4$. $\frac{3}{4}$ von $16$ Mädchen sind $3~\cdot~4 = 12$ Mädchen.
  • Die Hälfte der acht Jungen haben ebenfalls die Hausaufgaben gemacht. Damit haben $\frac{1}{2}~\cdot~8 = 8~:~2 = 4$ Jungen die Hausaufgaben gemacht.

  Insgesamt haben $12$ Mädchen und vier Jungen, also $12~+~4 = 16$ Schülerinnen und Schüler, die Hausaufgaben gemacht.