Mit Anteil, Bruchteil und Ganzem rechnen – Überblick

Mit Anteil, Bruchteil und Ganzem rechnen – Überblick Übung

• Berechne den Bruchteil vom Ganzen.

  Tipps

  Wenn du von einem Kuchen als Ganzes ausgehst und den Bruchteil ${\frac{2}{3}}$ bestimmen willst, dividierst du zunächst durch ${3}$ und multiplizierst anschließend mit ${2}$.

  Wenn du von mehreren Kuchen als Ganzes ausgehst (also von einer Menge) und den Bruchteil ${\frac{2}{3}}$ bestimmen willst, dividierst du ebenfalls zuerst durch den Nenner ${3}$ und multiplizierst anschließend mit dem Zähler ${2}$.

  Lösung

  Um Dinge gerecht aufteilen zu können, ist es von Vorteil, wenn man weiß, wie man den Bruchteil vom Ganzen berechnen kann. Die Regel lautet, dass man zuerst das Ganze durch den Nenner dividiert und anschließend mit dem Zähler multipliziert.

  Rechnung:

  Das Ganze kann sich auch aus mehreren Dingen, also einer Menge zusammensetzen. In diesem Beispiel sind es $8$ Brote. Auch hier soll ein Anteil von ${\frac{3}{4}}$ betrachtet werden.

  Dazu dividieren wir durch den Nenner und teilen die $8$ Brote in ${4}$ gleich große Teile:

  ${8:4=2}$

  Das macht ${2}$ Brote pro Viertel. Dann nehmen wir ${3}$ Stücke davon, multiplizieren also mit dem Zähler:

  ${2\cdot{3}=6}$

  Der Bruchteil entspricht hier demnach ${6}$ Broten.

• Berechne das Ganze.

  Tipps

  Das Ganze ist größer als der Bruchteil.

  Beispiel:

  Der Bruchteil sind $8$ Hoodies.
  Dies sind ${\frac{2}{3}}$ vom Ganzen:

  $8$ : $2$ = ${4}$

  ${4}$ ${\cdot}$ ${3}$ = ${12}$

  Das Ganze sind ${12}$ Hoodies.

  Lösung

  Manchmal hat man nur den Bruchteil gegeben und möchte dann das Ganze berechnen. Hier gilt die Regel, dass du zuerst den Bruchteil durch den Zähler dividierst. Der Zähler ist die Zahl über dem Bruchstrich. In dieser Aufgabe musst du also Folgendes rechnen:

  ${8}$ : $4$ = $2$

  $\frac{1}{5}$ entspricht also $2$ Hoodies.

  Nun multiplizieren wir mit dem Nenner des Anteils. Der Nenner ist die Zahl unter dem Bruchstrich. Hier rechnest du demnach:

  ${2}$ ${\cdot}$ ${5}$ = ${10}$

  $\frac{5}{5}$ oder das Ganze sind in diesem Beispiel dann $10$ Hoodies.

• Berechne den Anteil.

  Tipps

  Beispiel:

  Bruchteil: ${4}$, Ganzes: ${5}$

  Anteil: ${\frac{4}{5}}$

  Anteil bestimmen:

  Man dividiert den Bruchteil durch das Ganze und kürzt, wenn möglich.

  Lösung

  Um den Anteil zu berechnen, dividiert man den Bruchteil durch das Ganze. Wenn möglich, muss man kürzen.

  Somit können wir folgenden Anteile berechnen:

  Anteil ${\frac{1}{4}}$:

  ${4}$ von ${16}$ $\rightarrow{4:16=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}}$

  Bruchteil: ${3}~\text{kg}$, Ganzes: ${12}~\text{kg}$ $\rightarrow{3 ~\text{kg}:12~\text{kg}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}}$

  ${46}$ von ${184}$ $\rightarrow{46:184=\frac{46}{184}=\frac{1}{4}}$

  Anteil ${\frac{1}{3}}$:

  Bruchteil: ${2}$, Ganzes: ${6}$ $\rightarrow{2:6=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$

  Bruchteil: ${5}$, Ganzes: ${15}$ $\rightarrow{5:15=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}$

  ${16}~\text{g}$ von ${48}~\text{g}$ $\rightarrow{16~\text{g}:48~\text{g}=\frac{16}{48}=\frac{1}{3}}$

  Anteil ${\frac{1}{5}}$:

  Bruchteil: ${4}$, Ganzes: ${20}$ $\rightarrow{4:20=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}}$

  Bruchteil: ${20}~\text{m}$, Ganzes: ${100}~\text{m}$ $\rightarrow{20~\text{m}:100~\text{m}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}}$

• Berechne den Bruchteil, den Anteil oder das Ganze.

  Tipps

  Der Anteil wird berechnet, indem man den Bruchteil durch das Ganze dividiert. Wenn möglich, muss man kürzen!

  Um den Bruchteil zu berechnen, dividiert man das Ganze durch den Nenner des Anteils und multipliziert mit dem Zähler des Anteils.

  Um das Ganze zu berechnen, dividiert man den Bruchteil durch den Zähler des Anteils und multipliziert mit dem Nenner.

  Lösung

  Die Regeln zu den Berechnungen sind in der Grafik aufgeführt. Wir müssen in der Aufgabe beachten, dass immer eine Spalte eine Aufgabe bildet.

  In der ersten Spalte wird das Ganze folgendermaßen berechnet:

  ${14 : 7 = 2}$

  ${2 \cdot 10 = 20}$

  In der zweiten Spalte wird der Bruchteil so berechnet:

  ${9 : 3 = 3}$

  ${3 \cdot 2 = 6}$

  In der dritten Spalte wird der Anteil wie folgt berechnet:

  ${25 : 45 = \frac{25}{45}}$

  ${\frac{25}{45} = \frac{5}{9}} = 5:9$

• Fasse die Regeln in puncto Anteil, Bruchteil und Ganzes zusammen.

  Tipps

  Beispiel zu Das Ganze:

  Anteil: ${\frac{1}{2}}$, Bruchteil: ${6}~\text{kg}$ Mehl

  Rechnung:

  ${6}~\text{kg}$ : ${1}$ = ${6}~\text{kg}$

  ${6}~\text{kg}$ ${\cdot}$ ${2}$ = ${12}~\text{kg}$

  Beispiel zu Der Bruchteil:

  Ganzes: ${5}~\ell$ Milch, Anteil: ${\frac{1}{2}}$

  Rechnung:

  ${5}~\ell $ : ${2}$ = ${2,5}~\ell$

  ${2,5}~\ell$ ${\cdot}$ ${1}$ = ${2,5}~\ell$

  Beispiel zu Der Anteil:

  Ganzes: ${8}~\text{kg}$, Bruchteil: ${2}\text{kg}$

  Rechnung:

  ${2}$ : ${8}$ = ${\frac{2}{8}}$ = ${\frac{1}{4}}$

  Lösung

  Um Dinge aufzuteilen oder wenn man den Anteil von etwas wissen möchte, muss man die Begriffe „Anteil“, „Bruchteil“ und „Ganzes“ kennen.

  Der Anteil kann als Bruch oder Dezimalbruch angegeben werden. Hier ist es geschickt, wenn man den Bruch, wenn möglich, kürzt.

  Ganzes: ${32}~\text{kg}$, Bruchteil: ${8}\text{kg}$

  ${8}$ : ${32}$ = ${\frac{8}{32}}$ = ${\frac{1}{4}}$

  Der Anteil beträgt ${\frac{1}{4}}$.

  Der Bruchteil ist kleiner als das Ganze und kann als Zahl mit oder ohne Maßeinheit angegeben werden.

  Ganzes: ${16}~\ell$ Wasser, Anteil ${\frac{1}{4}}$

  ${16}~\ell $ : ${4}$ = ${4}~\ell$

  ${4}~\ell$ ${\cdot}$ ${1}$ = ${4}~\ell$

  Der Bruchteil ist ${4}~\ell$.

  Das Ganze kann ein Stück, aber auch eine Menge sein.

  Anteil: ${\frac{3}{4}}$, Bruchteil: ${12}~\text{kg}$ Sand

  ${12}~\text{kg}$ : ${3}$ = ${4}~\text{kg}$

  ${4}~\text{kg}$ ${\cdot}$ ${4}$ = ${16}~\text{kg}$

  Das Ganze sind ${16}~\text{kg}$ Sand.

• Entscheide, ob richtig gerechnet wurde.

  Tipps

  Beispiel:

  Bruchteil: ${8}$

  Ganzes: ${14}$

  Anteil: ${\frac{8}{14} = \frac{4}{7}}$

  Um zu überprüfen, ob eine Aufgabe korrekt ist, empfiehlt es sich, die einfachste Rechnung zu wählen: Du kannst den Bruchteil durch das Ganze dividieren (kürzen nicht vergessen) und mit dem Anteil vergleichen. Stimmt dieser Quotient mit dem Anteil überein, so ist die Aufgabe richtig.

  Lösung

  Die Regeln zur Berechnung in puncto Anteil, Bruchteil und Ganzes sind in der Grafik dargestellt.

  Diese Rechnungen sind richtig:

  • Beispiel 1:$\qquad$ Bruchteil: ${15}\qquad$ Ganzes: ${21}\qquad$ Anteil: ${\frac{15}{21}=\frac{15:3}{21:3}=\frac{5}{7}}$
  • Beispiel 2:$\qquad$ Bruchteil: ${12}\qquad$ Ganzes: ${36}\qquad$ Anteil: ${\frac{12}{36}=\frac{12:12}{36:12}=\frac{1}{3}}$
  • Beispiel 3:$\qquad$ Bruchteil: ${52}\qquad$ Ganzes: ${117}\qquad$ Anteil: ${\frac{52}{117}=\frac{52:13}{117:13}=\frac{4}{9}}$

  Diese Rechnungen sind falsch:

  • Beispiel 4:$\qquad$ Bruchteil: ${16}\qquad$ Ganzes: ${24}\qquad$ Anteil: ${\frac{16}{24}=\frac{2}{3}{\neq}\frac{3}{4}}$

  Der Anteil wird berechnet, indem man den Bruchteil = $16$ durch das Ganze = $24$ berechnet. Man erhält den Bruch ${\frac{16}{24}}$, der gekürzt ${\frac{2}{3}}$ ergibt. Das entspricht nicht den angegebenen ${\frac{3}{4}}$.

  • Beispiel 5:$\qquad$ Bruchteil: ${33}\qquad$ Ganzes: ${46}\qquad$ Anteil: ${\frac{33}{46}{\neq}\frac{11}{16}}$

  Der Anteil wird berechnet, indem man den Bruchteil = $33$ durch das Ganze = $46$ berechnet. Man erhält den Bruch ${\frac{33}{46}}$, den man nicht weiter kürzen kann. Das entspricht nicht den angegebenen ${\frac{11}{16}}$.

  • Beispiel 6:$\qquad$ Bruchteil: ${26}\qquad$ Ganzes: ${72}\qquad$ Anteil: ${\frac{36}{13}{\neq}\frac{13}{36}}$

  Der Anteil wird berechnet, indem man den Bruchteil = $26$ durch das Ganze = $72$ berechnet. Man erhält den Bruch ${\frac{26}{72}}$, der gekürzt ${\frac{13}{36}}$ ergibt. Das entspricht nicht den angegebenen ${\frac{36}{13}}$. Zähler und Nenner wurden hier vertauscht.

  Hinweis: Zur Kontrolle der Angaben kann auch aus dem Bruchteil und dem Anteil das Ganze berechnet und überprüft werden, ob das Ergebnis mit der Angabe übereinstimmt. Alternativ kann auch aus dem Ganzen und dem Anteil der Bruchteil berechnet und überprüft werden, ob das Ergebnis mit der Angabe übereinstimmt.