Die n-te Wurzel (Übungsvideo)

Die n-te Wurzel (Übungsvideo) Übung

• Stelle die Wurzel oder den Kehrwert der Wurzel als Exponent mit positivem oder negativem Exponenten dar.

  Tipps

  Verwende die folgenden Gleichungen:

  • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
  • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

  Die $n$-te Wurzel kehrt das Potenzieren mit $n$ um.

  Wenn $3^4=81$ gilt, so ist $\sqrt[4]{81}=3$.

  Lösung

  Es werden die folgenden Gleichungen verwendet:

  • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
  • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

  1. $\sqrt[4]{10000}=10000^{\frac14}=10$, da $10^4=10000$ gilt.
  2. $\sqrt[3]{0,064}=0,064^{\frac13}=0,4$, da $0,4^3=0,064$ gilt.
  3. $\frac1{\sqrt[3]{1331}}=1331^{-\frac13}=\frac1{1331^{\frac13}}=\frac1{11}$, da $11^3=1331$ ist.
  4. $\frac1{\sqrt[2]{0,0001}}=0,0001^{-\frac12}=\frac1{0,0001^{\frac12}}=\frac1{0,01}=100$, da $0,01^2=0,0001$ ist.

• Berechne die Fallzeit in Sekunden.

  Tipps

  Forme die Gleichung $h=\frac12 \cdot g \cdot t^2$ so um, dass $t$ alleine steht.

  In die umgeformte Gleichung kannst du $h=20~m$ einsetzen.

  Du kannst auch direkt $h=20~m$ einsetzen und die Gleichung $20 \,m= \frac12 \cdot 10\,\frac{m}{s^2} \cdot t^2$ nach $t$ auflösen.

  Führe eine Probe mit deinem Ergebnis durch.

  Lösung

  Es muss die Gleichung $h=5\cdot t^2$ nach $t$ umgeformt werden:

  $\begin{align*} h&=\frac12 \cdot g \cdot t^2&|&:\frac{1}{2}\cdot g\\ t^2&=\frac {2\cdot h}g&|&\sqrt{~}\\ t&=\sqrt{\frac {2\cdot h}g}\\ \end{align*}$

  Nun kann die Fallhöhe $h=20\,m$ und $=10\,\frac{m}{s^2}$ eingesetzt werden und man erhält

  $\begin{align*} t&=\sqrt{\frac {2\cdot 20\,m}{10\,\frac{m}{s^2}}}\\ t&=\sqrt{4\,s^2}\\ t&=2\,s\\ \end{align*}$.

  Die Fallzeit aus einer Fallhöhe $20~m$ beträgt somit $2$ Sekunden.

• Ordne der Wurzelschreibweise die Potenzschreibweise sowie das Ergebnis zu.

  Tipps

  Verwende die Gleichungen

  • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
  • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$

  zur Umformung der Wurzeln in Potenzschreibweise.

  Du kannst die folgenden Regeln für das Rechnen mit Potenzen verwenden:

  • $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ sowie
  • $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Es gilt $5^4=625$.

  Lösung

  Zur Umformung in die Potenzschreibweise werden

  • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
  • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$

  verwendet.

  1. $\sqrt[5]{1024}=1024^{\frac15}=4$, da $4^5=1024$ ist.
  2. $\frac1{\sqrt[4]{0,0625}}=0,0625^{-\frac14}=\frac1{0,0625^{\frac14}}=\frac1{0,5}=2$, da $0,5^4=0,0625$ ist.

• Ermittle den Wert von $\sqrt[3]{1,728}$.

  Tipps

  Du kannst die Gleichung

  $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$

  verwenden.

  Verwende die Regel zum Rechnen mit Potenzen:

  $\left( \frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

  Es gilt $12^3=1728$.

  Lösung

  Man kann $\sqrt[3]{1,728}$ zunächst als Potenz mit positivem Exponenten schreiben:

  $\sqrt[3]{1,728}=1,728^{\frac13}$.

  Da $12^3=1728$ ist, gilt $1,2^3=(12\cdot 0,1)^3=12^3\cdot 0,1^3=1728\cdot 0,001=1,728$.

  Also ist $1,728^{\frac13}=\left(1,2^3\right)^{\frac13}=1,2^{3\cdot\frac13}=1,2^1=1,2$.

• Gib an, wie die $n$-te Wurzel und ihr Kehrwert als Potenz geschrieben werden kann.

  Tipps

  Es gilt $\left(a^{\frac1n}\right)^n=a$.

  Es gilt $\frac1{a^n}=a^{-n}$.

  Lösung

  Die Wurzel ist wie folgt definiert:

  Gilt $a≥0$ und $a\in \mathbb{R}$ und $n>0$, $n\in \mathbb{N}$, dann bezeichnet man mit $x=\sqrt[n] a$ diejenige nicht-negative Zahl $x$, welche mit $n$ potenziert $a$ ergibt.

  Dabei ist

  • $n$ der Wurzelexponent und
  • $a$ der Radikand, die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird.

  Wurzeln können auch als Potenzen geschrieben werden:

  • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
  • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

• Leite den Radius des Grundkreises eines Zylinders her.

  Tipps

  Du kennst die Formel zur Berechnung des Volumens.

  Überlege dir:

  • Was ist gegeben und
  • was ist gesucht.

  • Gegeben ist das Fassungsvermögen der Dose, also das Volumen und die Höhe,
  • gesucht ist der Radius der Dose.

  In der Volumenformel wird der Radius quadriert. Du musst also an einer Stelle die Wurzel ziehen.

  Lösung

  Es muss die Gleichung $330=\pi\cdot r^2\cdot 17$ nach $r$ umgeformt werden:

  $\begin{align*} 330&=\pi\cdot r^2\cdot 17&|&:(17\cdot \pi) \\ r^2& =\frac{330}{17\cdot \pi} &|&\sqrt{}\\ r&=\sqrt{\frac{330}{17\cdot \pi}}\\ &\approx 2,5. \end{align*}$

  Die Getränkedose hat also einen Radius von ungefähr $2,5~cm$.