Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung
Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video wirst du lernen, wie man Wurzeln als Potenzen schreibt. Du denkst das ist schwierig? Nein. Du wirst sehen, wie einfach das geht. Auch auf negative Exponenten wird hier eingegangen. Mit hilfe der Testfrage am Ende kannst du überprüfen, ob du wirklich alles verstanden hast. Wir wünschen dir viel Spaß!
Transkript Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung
Hallo. Vielleicht kannst du mir heute bei diesem Rätsel helfen? Lena und Rasmi denken sich eine natürliche Zahl aus und multiplizieren sie drei Mal mit sich selbst. Sie erhält 216. Welche Zahl haben sich die beiden ausgedacht?
Es wird eine unbekannte Zahl x dreimal mit sich selbst multipliziert - also: x mal x mal x. Das Ergebnis ist 216. Wir erhalten die Gleichung: x hoch drei gleich 216.
Natürlich kannst du diese Aufgabe sehr schnell durch Probieren lösen, indem du Zahlen für x einsetzt: 1 hoch 3, das geht noch ganz einfach, ergibt 1. 2 hoch 3 ergibt 8. 3 hoch 3 ergibt 27. 4 hoch 3 ergibt 64. 5 hoch 3 ergibt 125.
Und nun sind wir endlich soweit, 6 hoch 3 ergibt 216, weil 6 mal 6 mal 6 gleich 216 ist. Lena und Rasmi haben sich also die Zahl 6 ausgedacht.
Eine Aufgabe allein durch Raten und Probieren zu lösen, widerspricht natürlich dem, was du in der Schule gelernt hast. Deshalb zeige ich dir im Folgenden, wie du diese Aufgabe mit Hilfe von Potenzen und Wurzeln löst.
Die Suche nach einer Zahl x, die mit 3 potenziert 216 ergibt, nennen Mathematikerinnen und Mathematiker auch die Suche nach der dritten Wurzel von 216. Das Wurzelziehen ist die Umkehroperation vom Potenzieren. Wenn man die dritte Wurzel von 216 zieht, dann erhält man 6.
Die Wurzelschreibweise ist folgendermaßen definiert: x hoch n gleich b genau dann, wenn x gleich n-te Wurzel aus b.
Das Wurzelziehen ist die Umkehroperation vom Potenzieren. Das können wir formal durch folgenden Hilfssatz ausdrücken. Klammer auf n-te Wurzel aus b Klammer zu hoch n gleich n-te Wurzel aus b hoch n gleich b.
Die dritte Wurzel von 6 in Klammern hoch 3 ist also 6. Genauso ist die dritte Wurzel von 6 hoch drei gleich 6. Das leuchtet ein.
Wenn nun die Wurzel die Umkehrfunktion einer Potenz ist, kann man sie dann auch als Potenz ausdrücken? Diesen Zusammenhang wollen wir noch etwas genauer untersuchen.
Wir betrachten die Gleichung: die dritte Wurzel von a ist a hoch x. Wir möchten an diesem konkreten Beispiel herausfinden, ob man die dritte Wurzel auch als Potenz ausdrücken kann. Finden wir also eine Zahl für x, so dass die Gleichung aufgeht?
Um eine Antwort zu finden, potenzieren wir beide Seiten der Gleichung mit 3. Denn wegen des Hilfssatzes wissen wir, dass wir dadurch die Wurzel auflösen. Potenzieren wir die dritte Wurzel von a mit drei erhalten wir a.
Auf der rechten Seite müssen wir ein Potenzgesetz anwenden. Wenn man die Potenz a hoch x mit 3 potenziert, so muss man die Exponenten multiplizieren. Wir erhalten die Gleichung: a=a hoch 3 mal x.
Das a auf der linken Seite eigentlich als Potenz 1 hat, schreibt man normalerweise nicht auf. Wir tun es in diesem Fall trotzdem. Die Gleichung lautet dann: a hoch 1 gleich a hoch 3 mal x.
Betrachten wir diese Gleichung nun einmal genauer. a hoch 1 soll also dasselbe sein wie a hoch 3 mal x. Für welches x geht diese Gleichung auf. Ein sogenannter Exponentenvergleich ergibt: 1 gleich 3x. Diese Gleichung können wir durch bloßes Hinsehen lösen: x muss ein Drittel sein. Denn 3 mal ein Drittel gleich 1. Unsere Gleichung lautet also: Die dritte Wurzel von a ist gleich a hoch ein Drittel.
Wir haben damit herausgefunden, dass die dritte Wurzel aus a gleichbedeutend ist mit der Potenz a hoch ein Drittel. Der Wurzelexponent 3 kann also durch den gebrochenen Exponenten ⅓ als Potenz ausgedrückt werden.
Analog gilt dies für alle anderen ganzzahligen Wurzeln. Der Beweis hierfür geht genauso wie der der dritten Wurzel. Die zweite Wurzel ist gleichbedeutend mit dem Exponenten ein halb. Die vierte Wurzel ist gleichbedeutend mit dem Exponenten ein viertel. Die fünfte Wurzel ist gleichbedeutend mit dem Exponenten ein fünftel. Und dies geht immer so weiter.
Deshalb kann man dies auch allgemeiner schreiben: die n-te Wurzel ist gleichbedeutend mit dem Exponenten 1/n. n steht dabei für eine beliebige natürliche Zahl - also: 1, 2, 3, 4 und so weiter...
Damit haben wir heute ja bereits einiges neu gelernt. Vielleicht fragst du dich aber noch, wie das mit negativen Bruchzahlen im Exponenten ist. Kann man die auch als Wurzel darstellen?
Zum Beispiel a hoch minus ein Drittel. Naja eine minus dritte Wurzel gibt es nicht. Denn der Wurzelexponent darf nicht negativ sein. Um die Potenz trotzdem als Wurzel zu schreiben, wendet man einfach ein Potenzgesetz an und formt a hoch minus ⅓ in 1 durch a hoch ein Drittel um. Das kann man dann umformen in 1 durch die dritte Wurzel von a.
So, das war’s jetzt aber auch. In diesem Video hast du nun gelernt, wie du Wurzeln als Potenzen schreiben kannst. Die n-te Wurzel von a ist gleich a hoch 1 durch n. Natürlich gibt es noch mehr zu diesem Thema zu lernen. Wie kann man beispielsweise a hoch zwei Drittel als Wurzel ausdrücken? Das werden wir aber in einem anderen Video behandeln. Bis dahin, Tschüss!
Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung Übung
-
Fasse die Eigenschaften der Wurzel zusammen.
-
Gib an, wie die dritte Wurzel von als Potenz geschrieben werden kann.
-
Prüfe die Aussagen.
-
Berechne den Wert der Wurzel.
-
Beschreibe wie das dreifache Multiplizieren einer Zahl als Potenz geschrieben werden kann.
-
Ermittle die einzelne Kantenlänge, die gesamte Kantenlänge sowie den Oberflächeninhalt des Würfels.
9.152
sofaheld-Level
6.601
vorgefertigte
Vokabeln
8.069
Lernvideos
37.109
Übungen
33.424
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebezeichnungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Zehnerzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
- Quadrat
- Zahlen sortieren – Übungen
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Zahlen bis 1000 ordnen – Übungen
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Terme mit Variablen aufstellen – Übungen
- Prisma
- Die Grundrechenarten – Übungen
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Zahlen runden – Übungen
- Satz Des Pythagoras
- Ziffern und Stellenwerte – Übungen
- Dreieck Grundschule
- Koordinatensystem – Übungen
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Termumformungen – Übungen
- Volumen Kugel
- Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übungen
- Zahlen In Worten Schreiben
- Meter
- orthogonal
Ich finde nichts zum Thema wurzel ziehen und dieses Video konnte ich nicht angucken wegen eines fehlers
Wirklich ein sehr hilfreiches Video.
Nur dein ''a'' ähnelt sehr einer ''2'' finde ich, was ein bissen verwirrend ist. Aber hast es super erklärt :)