Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo)

Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo) Übung

• Schreibe den Term als Potenz.

  Tipps

  Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent nicht geschrieben.

  Es ist $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

  Für Potenzen mit negativem Exponenten gilt:

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Lösung

  Zunächst kann die Quadratwurzel mit dem Wurzelexponenten $2$ geschrieben werden:

  $\sqrt3=\sqrt[2]3$.

  Damit ist $\sqrt3=3^{\frac12}$.

  Da für Potenzen mit negativem Exponenten gilt

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$,

  kann weiter umgeformt werden zu

  $\frac1{\sqrt3}=3^{-\frac12}$.

  Paula hat also beide Male Recht gehabt, Peter nur mit seiner zweiten Aussage.

• Berechne den Wert der Wurzel.

  Tipps

  Verwende $\sqrt[3]a=a^{\frac13}$.

  Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird:

  $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  Lösung

  Die Wurzel aus einer Wurzel sieht erst einmal sehr kompliziert aus: Man kann jede der Wurzeln als Potenz schreiben und beginnt dabei mit der äußeren Wurzel:

  $\sqrt[3]a=a^{\frac13}$.

  Damit ist

  $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\left(\sqrt{64}\right)^{\frac13}$.

  Nun lässt sich auch die Quadratwurzel als Potenz schreiben:

  $\sqrt{64}=64^{\frac12}$.

  Insgesamt ergibt sich

  $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\left(64^{\frac12}\right)^{\frac13}$.

  Nun kann man die Regel verwenden, dass Potenzen potenziert werden, in dem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird:

  $\left(64^{\frac12}\right)^{\frac13}=64^{\frac12\cdot\frac13}=64^{\frac16}=\sqrt[6]{64}$.

  Da $64=2^6$ ist, kann nun der gesuchte Wert angegeben werden:

  $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=2$.

• Ordne dem Potenzterm den Wurzelterm zu.

  Tipps

  Verwende die Regeln

  • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ und
  • $a^{-\frac1n}=\frac1{\sqrt[n]a}$.

  Beachte, dass es keine negativen Wurzelexponenten gibt.

  Lösung

  Es werden die beiden Regeln

  • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ und
  • $a^{-\frac1n}=\frac1{\sqrt[n]a}$

  verwendet:

  • $u^{\frac15}=\sqrt[5]u$,
  • $u^{-\frac15}=\frac1{\sqrt[5]u}$,
  • $(12a)^{\frac14}=\sqrt[4]{12a}$ und
  • $(12a)^{-\frac14}=\frac1{\sqrt[4]{12a}}$.

• Berechne den Wert des Terms.

  Tipps

  Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:

  $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  Für Potenzen mit negativen Exponenten gilt:

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Lösung

  Um $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}$ zu berechnen wird zunächst die innere Wurzel als Potenz geschrieben:

  $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}=\left(0,0625^{\frac12}\right)^{-\frac12}$.

  Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird. Die Exponenten sind in diesem Fall $\frac12$ und $-\frac12$. Das Produkt dieser beiden ist $-\frac14$.

  Somit ist

  $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}=0,0625^{-\frac14}$.

  Die Potenz mit dem negativen Exponenten kann wie folgt umgeformt werden:

  $0,0625^{-\frac14}=\frac1{0,0625^{\frac14}}$.

  Da $0,5^4=0,0625$ ist, gilt umgekehrt, dass

  $0,0625^{\frac14}=0,5$ ist.

  Zusammen gilt dann:

  $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}=\frac1{0,5}=2$.

• Gib die Regeln an, wie Wurzeln als Potenzen geschrieben werden können.

  Tipps

  Es gilt $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Wenn du die $n$-te Wurzel mit $n$ potenzierst, erhältst du

  $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.

  Das bedeutet, dass die $n$-te Wurzel die $n$-te Potenz umkehrt.

  Es gilt die Potenzregel:

  $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  Lösung

  Es gilt

  $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

  Was ist mit Potenzen mit negativen rationalen Exponenten?

  Hierfür wird die Regel:

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$

  verwendet. Somit ist also

  $a^{-\frac1n}=\frac1{a^{\frac1n}}=\frac1{\sqrt[n]a}$.

• Berechne die Kantenlängen des Quaders.

  Tipps

  Berechne die Kantenlänge des Würfels.

  Es ist $b=h=2a$ und $l=3a$.

  Verwende die Volumenformel für einen Würfel $V=a^3$.

  Lösung

  Da der Quader aus $12$ Würfeln besteht, von denen jeder das Volumen $V=a^3$ hat, gilt

  $12\cdot a^3=1500~cm^3$.

  Durch Division durch $12$ auf beiden Seiten erhält man

  $a^3=125~cm^3$.

  Es muss die dritte Wurzel gezogen werden: $a=\sqrt[3]{125~cm^3}$. Da $125=5^3$ ist, gilt $a=5~cm$.

  Dieses $a$ benötigt man für die Berechnung der Kantenlängen des Quaders. Wie in dem Bild zu erkennen ist, beträgt

  • die Länge des Quaders das Dreifache von $a$, also $l=3\cdot 5~cm=15~cm$ und
  • die Breite sowie Höhe das Doppelte von $a$ und somit $b=h=2\cdot 5~cm=10~cm$.